高考数学三轮冲刺卷：空间几何体（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：空间几何体（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 如图，模块（1）~（5）均由 个棱长为 的小正方体构成，模块（6）由 个棱长为 的小正方体构成，现从模块（1）~（5）中选出三个放到模块（6）上，使得模块（6）成为一个棱长为 的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为
A. 模块（1）（2）（5）B. 模块（1）（3）（5）
C. 模块（2）（4）（5）D. 模块（3）（4）（5）

2. 如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为 的正方形，其侧视图中的曲线为 圆周，则该几何体的体积为
A. B. C. D.

3. 把由曲线 和 围成的图形绕 轴旋转 ，所得旋转体的体积为
A. B. C. D.

4. 如图， 为正三角形，， 平面 ，且 ，则多面体 的正视图（也称主视图）是
A. B.
C. D.

5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
A. B. C. D.

6. 正四面体 的体积为 ， 为其中心，正四面体 与正四面体 关于点 对称，则这两个正四面体的公的体积为
A. B. C. D.

7. 三棱锥 中，，若 ，则该三棱锥外接球的表面积为
A. B. C. D.

8. 正方体的内切球和外接球的表面积之比为
A. B. C. D.

9. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为
A. B. C. D.

10. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于 的有
A. 个B. 个C. 个D. 个

11. 已知三棱锥 中，，，，，，则三棱锥 的体积是
A. B. C. D.

12. 正四棱锥的侧棱长为 ，底面边长为 ，则该棱锥的体积为
A. B. C. D.

13. 如图所示是—个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段 ，， 和 在原正方体中不相交的线段的对数为
A. B. C. D.

14. 如图所示的几何体，其表面积为 ，下部圆柱的底面直径与该圆柱的高相等，上部圆锥的母线长为 ，则该几何体的主视图的面积为
A. B. C. D.

15. 在正三棱柱 中，若 ，，则点 到平面 的距离为
A. B. C. D.

16. 三棱锥 的四个顶点均在同一球面上，其中 是正三角形，，，则该球的体积为
A. B. C. D.

17. 设 ，，， 是同一个半径为 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为
A. B. C. D.

18. 如图， 是圆锥底面中心 到母线的垂线， 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为
A. B. C. D.

19. 一矩形的一边在 轴上，另两个顶点在函数 的图象上，如图所示，则此矩形绕 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是
A. B. C. D.

20. 若正数 ， 满足 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 设地球半径为 ，在北纬 圈上有甲、乙两地，它们的经度差 ，则甲乙两地的最短纬线长为 ，甲、乙两地的球面距离为 ．

22. 已知圆锥的顶点为 ，底面圆周上的两点 ， 满足 为等边三角形，且面积为 ，又知圆锥轴截面的面积为 ，则圆锥的表面积为 ．

23. 在直三棱柱 内有一个与其各面都相切的球 ，若 ，，，则球 的表面积为 ．

24. 如图，球 的半径为 ，圆 是一小圆，，， 是圆 上两点，若 ，则 ， 两点间的球面距离为 ．

25. 在正三棱锥 中，底面边长为 ，侧棱长等于 ．则正三棱锥 的体积 ；正三棱锥 的外接球的半径 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 已知地球的半径约为 千米，上海的位置约为东经 、北纬 ，大连的位置约为东经 、北纬 ．若飞机以平均速度 千米/小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行髙度忽略不计，结果精确到 小时）?

27. 用斜二测画法作出宽为 ，长为 的矩形的直观图．

28. 如图所示，在四棱锥 中，，，， 是 的中点， 是 上的点，且 ， 为 中 边上的高．求证：
（1）．
（2）．

29. 如图，在三棱锥 中，，，，，， 为 的中点．
（1）求证：；
（2）求三棱锥 的表面积．

30. 底面边长为 的正三棱锥 ，其表面展开图是三角形 ，如图，求 的各边长及此三棱锥的体积 ．
答案
1. A【解析】A先将（5）放入（6）中的空缺，然后上面可放入（1）（2），其余选项可以验证不合题意．
2. B
3. D【解析】曲线 和 围成图中阴影部分的平面图形，其旋转体为一个圆柱 （底面半径为 、高为 ） 挖去两个相同的共顶点的圆锥 （底面半径为 、高为 ），所以所得旋转体的体积为
4. D
5. D
6. B
7. C【解析】由于 ，则 是边长为 的等边三角形，
由正弦定理知， 的外接圆半径 满足：，
由于 ，所以该三棱锥的外接球半径 满足 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 ．
8. D【解析】正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是 ．
，，，，
所以 ．
所以正方体的内切球和外接球的表面积之比为 ．
9. B
10. C
11. C【解析】由 ，，且 ，得 ；
又由 ，，且 ，得 ．
因为 ，从而知 ，即 ，
又 ，所以 ．
又由于 ，
从而 ．
12. B
13. C
14. B
15. B
【解析】利用等体积代换法：由 ，可求点 到平面 的距离．
16. B
17. B
18. D【解析】设圆锥的高为 ，底面半径为 ，上部分是由共底的两个圆锥构成的，设其体积为 ，过 向轴作垂线，垂足为 ，如图，
则 ，，
从而 ，．
得到 ．
19. A【解析】旋转后所得几何体为圆柱，如图所示．
设矩形的一条边所在直线为 ，，．
联立 与 得，，
由此可得 ，．
所以 ，
即圆柱的高为 ，圆柱的底面半径为 ，
所以其体积为 ，
当且仅当 ，即 时，其体积有最大值 ．
20. D
【解析】设 ，则 ，则 ，
即 ，解得 ．
又注意到 ，得 ，解得 或 ，故得 ．
21. ，
22.
【解析】
设圆锥母线长为 ，由 为等边三角形，且面积为 ，
所以 ，解得 ；
又设圆锥底面半径为 ，高为 ，
则由轴截面的面积为 ，得 ；
又 ，解得 ，
（或设轴截面顶角为 ，则由 ，求得 ，可得圆锥底面直径 ）
所以圆锥的表面积为 ．
23.
【解析】由题意知内切球的半径为 与底面三角形的内切圆的半径相等，
而三角形 为直角三角形，，，，
所以 ，
设三角形内切圆的半径为 ，由面积相等可得：，
所以 ，
所以内切球的表面积 ．
24.
【解析】由题可得 ，结合 ，可得 ，所以 ，设 ， 两点间的球面距离为 ，则 ．
25. ，
【解析】如图所示，在正三棱锥 中， 在平面 内的投影 为等边 的中心．
底面边长为 ，则 ，
在 中，利用勾股定理得到 ，．
如图所示，正三棱锥 的外接球的球心在 上，设为 ，
，，，
利用勾股定理得到 ，
所以 ．
26. 设地球的球心为 ，上海、大连分别为 ， 点．
因为 ，地球半径 ，
所以 两点的球面距离为 ．
所以 小时，
所以从上海到大连的最短飞行时间约为 小时．
27. 采用斜二测画法，即在已知图形所在的空间中取水平平面，作 轴， 轴，使 ，然后依据平行投影的有关性质逐一作图（如图）．
（i）在矩形 中取 ， 所在边分别为 轴与 轴，相交于点 （ 与 重合），画对应的 轴， 轴，使 ．
（ii）在 轴上取 ，，使 ，在 轴上取 ，使 ，过 作 平行 轴的直线，且等于 长．
（iii）连接 ，所得四边形 就是矩形 的直观图．
28. （1） 因为 ，，
所以 ．
因为 为 中边 上的高，
所以 ．
因为 ，，，
所以 ．
（2） 如图，取 的中点 ，连接 ，．
因为 是 的中点，
所以 ，．
又因为 ，，
所以 ，，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，，，
所以 ，
所以 ．
29. （1） 因为 ，，
所以 ，故 ．
因为 ， 为 的中点，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
（2） 的面积 ，
的面积 ，
的面积 ，
因为 ，
所以 ，
所以 的面积 ．
所以三棱锥 的表面积为 ．
30. 在 中，
所以 是 的中位线，故
同理
所以 是等边三角形，且边长为 ．
设 是 的中心，则 平面 ，所以
因此