高考数学三轮冲刺卷：利用导数研究函数的极值（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：利用导数研究函数的极值（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 函数 有
A. 极小值 ，极大值 B. 极小值 ，极大值
C. 极小值 ，极大值 D. 极小值 ，极大值

2. 已知 是函数 的极值点，则实数 的值是
A. B. C. D.

3. 已知 是函数 的极值点，则实数 的值是
A. B. C. D.

4. 已知函数 和 的导函数 ， 图象分别如图所示，则关于函数 的判断正确的是
A. 有 个极大值点B. 有 个极小值点
C. 有 个极大值点和 个极小值点D. 有 个极大值点和 个极小值点

5. 设函数 在 上可导，其导函数为 ，且函数 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
A. 有极大值 B. 有极小值
C. 有极大值 D. 有极小值

6. 函数 的定义域为 ，导函数 的图象如图所示，则函数
A. 无极大值点、有四个极小值点B. 有三个极大值点、一个极小值点
C. 有两个极大值点、两个极小值点D. 有四个极大值点、无极小值点

7. 函数 的极值是
A. B. C. D.

8. 已知函数 有极大值和极小值，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.

9. 已知 为函数 的极小值点，则 等于
A. B. C. D.

10. 函数 的导函数为 ，若不等式 的解集为 ， 的极小值等于 ，则 的值是
A. B. C. D.

11. 已知函数 在 处有极值 ，则 等于
A. 或 B. C. D. 或

12. 设函数 在 上可导，其导函数为 ，且函数 在 处取得极大值，则函数 的图象可能是
A. B.
C. D.

13. 若 是函数 的极值点，则 的极小值为
A. B. C. D.

14. 已知函数 ，则 的极大值点为
A. B. C. D.

15. 若函数 有极值点，则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.

16. 已知函数 ，则“”是“函数 在 处取得极小值”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

17. 若 ，，且函数 在 处有极值，则 的最大值等于
A. B. C. D.

18. 若函数 在 上有小于 的极值点，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.

19. 已知 有极大值和极小值，则 的取值范围为
A. B.
C. 或 D. 或

20. 设函数 ，则
A. 为 的极大值点B. 为 的极小值点
C. 为 的极大值点D. 为 的极小值点

二、填空题（共5小题；）
21. 函数 的极小值为 ．

22. 函数 在 处取到极大值．

23. 函数 在 时取得极值，则实数 ．

24. 已知函数 有极大值且有极小值，则实数 的取值范围是 ．

25. 已知函数 ．
①当 时，函数 极大值是 ；
②当 时，若函数 有且只有一个极值点，则实数 的取值范围是 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 已知函数 ，求函数 的极值．

27. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
（2）求函数 的极值．

28. 已知函数 ，求函数 的极值．

29. 设函数 ，，求 的单调区间和极值．

30. 已知 ．
（1）求证：当 时 取得极小值；
（2）是否存在满足 的实数 ，，当 时， 的值域为 ?若存在，求 ， 的值；若不存在，请说明理由．
答案
1. D【解析】提示：，令 可得 或 ，于是可得函数在 单调递减， 单调递增， 单调递减，所以当 时，函数取得极小值 ；当 时，函数取得极大值 ．
2. A【解析】， 为 的极值点，因此 ．
3. A【解析】， 为 的极值点，因此 ．
故选A．
4. D
5. A
6. C
7. C【解析】因为 ，当 时，解得 ；当 时，解得 ，所以 时， 取到极大值，．
故选C．
8. B【解析】提示： 有两相异实根．
9. D【解析】因为 ，所以 ，
令 ，得 ，．
当 时，，则 单调递增；
当 时，，则 单调递减，
所以 的极小值点为 ．
10. C
【解析】由已知可得 ，
由 的解集为 可知 ，
且 ， 是方程 的两根，
则由根与系数的关系知 ，，
所以 ，，此时 ，
当 时，， 为增函数；
当 时，， 为减函数；
当 时，， 为增函数，
所以 为 的极小值，且 ，
解得 ．
11. C【解析】因为函数 在 处有极值 ，
所以 ，且 ，
即 解得 或
而当 时，函数在 处无极值，故舍去．
所以 ，所以 ．
12. D【解析】因为函数 在 上可导，其导函数 ，且函数 在 处取得极大值，
所以当 时，；当 时，；当 时，．
所以当 时，；当 时，；当 时，．
13. A【解析】函数 ，
可得 ，
是函数 的极值点，
可得：．
解得 ．
可得

函数的极值点为：，．
当 或 时，，函数是增函数；
当 时，，函数是减函数，
当 时，函数取得极小值：．
14. C【解析】由 ，
得：．
由 ，得 ，或 ．
由 ，得：．
所以，函数 的增区间为 ，．函数 的减区间为 ．
所以， 是函数的极大值点， 是函数的极小值点．
故选：C．
15. D
16. A【解析】若 在 处取得极小值，．
令 ，得 或 ．
①若 ，．
故 在 上单调递增， 无极小值；
②若 ，，
故当 时，， 单调递增，
当 时，， 单调递减，
当 时，， 单调递增．
故 在 处取得极小值．
综上，函数 在 处取得极小值 ．
所以“”是“函数 在 处取得极小值”的充分不必要条件．
17. D【解析】，，即 ，又 ，，所以 ，当且仅当 时等号成立．
18. B
19. D【解析】函数 ，
所以 ，
因为函数有极大值和极小值，
所以方程 有两个不相等的实数根，即 有两个不相等的实数根，
所以 ，即 ，
解得 或 ．
20. D
【解析】因为 ，所以 ，．
当 时，， 为增函数；
当 时，， 为减函数，
所以 为 的极小值点，故选D．
21.
【解析】求导得：，得 ，当 时，函数 取得极小值 ．
22.
23.
24.
25. ，
26. 因为 ，
所以 ，
令 ，得 ，列表：
所以 是 的极小值点， 的极小值为 ，无极大值．
27. （1） 函数 的定义域为 ，．
当 时，，，
所以 ，，
所以 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2） 由 ， 可知：
①当 时，，函数 为 上的增函数，函数 无极值；
②当 时，由 ，解得 ；
因为 时，， 时，，
所以 在 处取得极小值，且极小值为 ，无极大值．
综上：当 时，函数 无极值，当 时，函数 在 处取得极小值 ，无极大值．
28. 因为 ，
所以 ．
①当 时，因为 ，且 ，
所以 对 恒成立，
所以 在 上单调递增， 无极值．
②当 时，令 ，解得 ，（舍去）．
所以当 变化时，， 的变化情况如表：
所以当 时， 取得极小值，且 ，无极大值．
综上，当 时，函数 在 上无极值．
当 时，函数 在 处取得极小值 ，无极大值．
29. 由 ，得 且 ，由 ，解得 （负值舍去）．
与 在区间 上的情况如下：
所以， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ， 在 处取得极小值 ，无极大值．
30. （1） 由已知得 的定义域为 ．
当 时，．
设 ，则 ．
当 时， 是单调递增函数， 也是单调递增函数．
所以当 时， 单调递增．
所以当 时，，当 时，．
所以当 时，， 单调递减，
当 时，， 单调递增．
所以当 时， 取得极小值．
（2） 由（1）知 在 上是单调递增函数，若存在满足 的实数 ，，当 时， 的值域为 ，则 ，，
即 在 上有两个不等的实根 ，．
所以 在 上有两个不等的实根 ，．
设 ，
则 ．
当 时，，，
所以 ．
所以 在 上是单调递增函数，
即当 时，．
所以 在 上没有实数根．
所以不存在满足条件的实数 ，．