高考数学三轮冲刺卷：正态分布（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：正态分布（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 在某次数学测试中，学生成绩 服从正态分布 ，若 在 内的概率为 ，则 在 内的概率为
A. B. C. D.

2. 已知随机变量 服从正态分布 ，，则
A. B. C. D.

3. 已知随机变量 ，且 ，则
A. B. C. D.

4. 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
A. B. C. D. 与 的值有关

5. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，若随机变量 ，则 等于
A. B. C. D.

6. 已知 ，且 ，则
A. B. C. D.

7. 射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是 ，若枪内只有 颗子弹，则他射击次数的数学期望是
A. B. C. D.

8. 若随机变量 的概率分布列如下表：
则 等于
A. B. C. D.

9. 已知某公司生产的一种产品的质量（单位：千克）服从正态分布 ．现从该产品的生产线上随机抽取 件产品，其中质量在区间 内的产品估计有
附：若 ，则 ，．
A. 件B. 件C. 件D. 件

10. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，，则 等于
A. B. C. D.

11. 某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩 近似服从正态分布 ，且 ．该市某校有 人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于 分的人数为
A. B. C. D.

12. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 等于
A. B. C. D.

13. 随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 的值为
A. B. C. D.

14. 设 ，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
A.
B.
C. 对任意正数 ，
D. 对任意正数 ，

15. 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 的值为
A. B. C. D.

16. 淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共 份，其中购买了下列四种商品的人数统计为：服饰鞋帽 人；家居用品 人；化妆品 人；家用电器 人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了 份，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为
A. B. C. D.

17. 某班有 名学生，一次数学考试的成绩 服从正态分布 ，已知 ，估计该班学生数学成绩在 分以上的人数为
A. B. C. D.

18. 据统计，夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布 ，则在此期间的某一天，该旅游景点的人数不超过 的概率为
附：若 ，则：，，．
A. B. C. D.

19. 下列三个判断：
①某校高三（1）班的人数和高三（2）班的人数分别是 和 ，某次数学测试平均分分别是 ，，则这两个班的数学平均分为 ；
②从总体中抽取的样本 ，，，，则回归直线 必过点 ；
③已知 服从正态分布 ，且 ，则 其中正确的个数有
A. 个B. 个C. 个D. 个

20. 已知随机变量 服从正态分布 ， 且 ， 则
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 已知某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布 ，那么该电子元件的使用寿命超过 小时的概率为

22. 年中国汽车销售量达到 万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗泊量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了 名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里 ，并且汽车的耗油量 服从正态分布 ，已知耗油量 的概率 ，那么耗油量大于 的汽车大约有 辆．

23. 设随机变量 ，若 ，则 ．

24. 某地区举行高中数学竞赛，全体参赛学生的比赛成绩 近似服从正态分布 ，（ ），参赛学生共 名．若 在 内的取值概率为 ，那么 分以上（含 分）的学生人数为 ．

25. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 平均数为 ，标准差为 的正态分布在各区间的概率如图所示，试利用正态分布表验证该图的正确性．

27. 在某次数学考试中，考生的成绩 服从正态分布 ．
（1）试求考生成绩 位于区间 内的概率；
（2）若这次考试共有 名考生参加，试估计成绩在 内的考生大约有多少人?

28. 年 月 日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全 民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了 名学生每周阅读时间 （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．
参考数据：，．若 ，则 ．
（1）求这 名学生每周阅读时间的样本平均数 和样本方差 （同一组的数据用该组区间中点值代表）；
（2）由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ．
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若 ，令 ，则 ，且 ．
利用直方图得到的正态分布，求 ．
②该高校的学生中随机抽取 名，记 表示这 名学生中每周阅读时间超过 小时的人数，
求 （结果精确到 ）以及 的均值．

29. 在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正态分布，即
（1）求考试成绩X位于区间 内的概率
（2）若这次考试共有 名考生，试估计考试成绩在 内的考生大约有多少人?

30. 某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取 件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．参考数据，若 ，则 ，．
（1）求直方图中 的值；
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ，试计算数据落在 上的频率；
（3）设生产成本为 ，质量指标为 ，生产成本与质量指标之间满足函数关系 ，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．
答案
1. B【解析】由题意，得 ，，
所以 ．
2. A【解析】随机变量 落在指定的两个数 之间的概率就是对应的正态曲线在 两直线之间的曲边梯形的面积，而 ，由 ，．
3. B【解析】因为随机变量 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B．
4. C
5. C
6. D【解析】因为 ，所以 ，
所以 ．
7. D【解析】记射击次数为随机变量 ，则 的可能取值为 ，，．
，
，
，
所以 ．
8. A【解析】据题意，得 ，
所以 ．
故选：A．
9. A【解析】依题意，产品的质量 （单位：千克）服从正态分布 ，得 ，，
所以 ，
所以质量在区间 内的产品估计有 件．
10. B
【解析】随机变量 服从正态分布 ，所以曲线关于 对称，且 ．
由 ，可知 ，所以 ．
11. D【解析】因为 近似服从正态分布 ，，
所以 ，
所以该校数学成绩不低于 分的人数为 ．
故选：D．
12. B
13. A
14. C【解析】正态分布密度曲线图象关于 对称，
所以 ，从图中容易得到 ．
故选：C．
15. A
16. B
17. B【解析】因为数学考试的成绩 服从正态分布 ，
所以数学考试的成绩 的密度曲线关于直线 对称，
因为 ，
所以 ，
所以该班数学成绩在 分以上的人数为 ．
18. D【解析】因为夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布 ，，
所以 ，所以 ，所以 ．
19. B
20. B
【解析】由于随机变量 服从正态分布 ，又 ，所以 ，
．
21.
22. 辆
【解析】由题意可知 ，
故正态分布曲线以 为对称轴．
又因为 ，
故 ，
所以 ．而 ，
所以 ，
故耗油量大于 的汽车大约有 （辆）．
23.
【解析】因为 ，，
所以 ，，
所以 ．
24.
【解析】因为比赛成绩 近似服从正态分布 ，（ ），
所以比赛成绩 关于 对称，
因为 在 内的取值概率为 ，
所以 分以上（含 分）的概率为 ，
所以 分以上（含 分）的人数为 ．
25.
【解析】由题意得，相应的正态曲线关于直线 对称，于是有 ，，．
26. 略．
27. （1） 因为 ，
所以 ，．
由于正态分布 在区间 内取值的概率约是 ，而在该正态分布中，，，于是考生成绩 位于区间 内的概率约为 ．
（2） 由于 ，，
所以 ，．
由于正态分布 在区间 内取值的概率约为 ，所以考生成绩 位于区间 内的概率约是 ．
一共有 名考生，成绩在 内的概率约为 ，所以在这 名考生中，成绩在 内的人数大约为 ．
28. （1）
（2） ① 由题意知 ，，
所以 ，


②由①知 ，
可得 ，

的均值 ．
29. （1） 因为 ，所以 ，．
因为正态变量在区间 内取值的概率是 ，而该正态分布中，，，
所以考试成绩 位于区间 内的概率是
（2） 由 ，，得 ，
因为正态变量在区间 内取值的概率是 ，
所以考试成绩 位于区间 内的概率是
因为一共有 名考生，
所以考试成绩在 内的考生大约有 （人）．
30. （1） ．
（2） 所以 ，
故 上的频率为 ．
（3） 设生产成本为 ，质量指标为 ，生产成本与质量指标之间满足函数关系 ，
则