高考数学三轮冲刺卷：直线与平面垂直关系的判定（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：直线与平面垂直关系的判定（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 设 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是
A. 若 ，，则 B. 若 ，，则
C. 若 ，，则 D. 若 ，，则

2. 如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直的是
A. ①③B. ②C. ②④D. ①②④

3. 过一条直线与一个平面垂直的平面有
A. 个B. 个C. 无数个D. 个或无数个

4. “直线 与平面 内的无数条直线垂直”是“直线 与平面 垂直”的
A. 充分条件B. 必要条件
C. 充要条件D. 既非充分条件又非必要条件

5. 若直线 ， 与直线 所成的角相等，则 ， 的位置关系是
A. 异面B. 平行
C. 相交D. 相交、平行、异面均有可能

6. 给定空间中的直线 及平面 ，条件“直线 与平面 内两条相交直线都垂直”是结论“直线 与平面 垂直”的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件

7. 在正方体 的六个平面中，与 垂直的面的个数是
A. B. C. D.

8. 已知平面 及 外一条直线 ，则下列命题正确的有
①若 垂直于 内的两条平行线，则 ；
②若 垂直于 内的所有直线，则 ；
③若 垂直于 内的两条相交直线，则 ；
④若 垂直于 内的任意一条直线，则 ．
A. 个B. 个C. 个D. 个

9. 在下列四个正方体中，能得出 的是
A. B.
C. D.

10. 若平面 与平面 不垂直，那么平面 内能与平面 垂直的直线有
A. 条B. 条C. 条D. 无数条

11. 已知 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题中正确的是
A. 若 ，，则 B. 若 ，，则
C. 若 ，，则 D. 若 ，，则

12. 设 ，， 为不同的平面，，， 为不同的直线，则 的一个充分条件为
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，

13. 设 ，，，，， 都是非零实数，不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ，则“”是“”的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件

14. 如图甲所示，在正方形 中， 、 分别是边 、 的中点， 是 的中点，现沿 、 及 把这个正方形折成一个几何体（如图乙所示），使 、 、 三点重合于点 ，则下面结论成立的是 ．
A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面

15. 如图，三棱柱 中，，，过 作 ，垂足为 ，则 必在
A. 直线 上B. 直线 上C. 直线 上D. 内部

16. 如图， 垂直于以 为直径的圆所在平面， 为圆上异于 ， 的任意一点， 垂足为 ，点 是 上一点，则下列判断中不正确的是
A. B.
C. D.

17. 过平面 外一点 引线段 ， 以及垂段 ，若 与 所成角是 ，，，则线段 长的范围是
A. B. C. D.

18. 如图，正方体 绕其体对角线 旋转 之后与其自身重合，则 的值可以是
A. B. C. D.

19. 关于直线 ， 以及平面 ，，下列命题中正确的是
A. 若 ，，则 B. 若 ，，则
C. 若 ，，则 D. 若 ，，则

20. 在正方体 中， 是底面 的中心， 分别是棱 ， 的中点，则直线
A. 是 和 的公垂线B. 垂直于 ，但不垂直于
C. 垂直于 ，但不垂直于 D. 与 ， 都不垂直

二、填空题（共5小题；）
21. 在四棱锥 中，底面 是矩形，，，又侧棱 ，则当 时，．

22. 空间四边形 的四条边相等，则对角线 与 的位置关系为 ．

23. 在正方体 中， 是底面 的中心，，，， 分别是 ，，， 的中点，请写出一个与 垂直的平面： ．

24. 已知平面 ， 和直线 ，给出条件：；；；．当满足条件 时，有 ．

25. 如图梯形 中，，，，， 分别是 ， 的中点，将四边形 沿直线 进行翻折，给出四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
在翻折过程中，可能成立的结论是 ．（填写结论序号）

三、解答题（共5小题；）
26. 在四面体 中，，， 分别为 ， 的中点，且 ，，求证：．

27. 已知 ，，．求证：．

28. 如图，在正方体 中， 是 的中点， 是线段 上一点，且 ．
（1）求证：；
（2）若 ，求 的值．

29. 如图，在棱长为 的正方体 中，点 是棱 的中点，点 是棱 上的动点．试确定点 的位置，使得 ．

30. 如图，在三棱锥 中，， 是 的中点，且 ．
（1）求证：；
（2）若 ，求证：．
答案
第一部分
1. B
2. A【解析】①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两直线有可能是平行的．
3. D【解析】当直线与已知平面垂直时，过该直线有无数个平面与已知平面垂直，当直线与已知平面不垂直时，有且只有一个过该直线的平面与已知平面垂直．
4. B【解析】因为直线 在平面 内，也可以与平面 内的无数条直线垂直，
所以“直线 与平面 内的无数条直线垂直”不是“直线 与平面 垂直”的充分条件；
若直线 与平面 垂直，则直线 与平面 内的所有直线都垂直，
所以“直线 与平面 内的无数条直线垂直”是“直线 与平面 垂直”的必要条件．
5. D
6. C
7. B
8. D【解析】②③④正确．
9. A【解析】第一个正方体中易得
10. A
【解析】若存在 条，则 ，与已知矛盾．
11. D【解析】由题意，A中，若 ，，则 或 与 异面，所以不正确；
B中，若 ，，则 或 与 相交或异面，所以不正确；
C中，若 ，，则 或 与平面 斜交或平行，所以不正确；
D中，若 ，，则 是正确的，故选D．
12. D【解析】对于选项A，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件 ，故不正确；
对于选项B，因为 与 可能平行，也可能相交，所以 与 不一定垂直，故不正确；
对于选项C，因为 与 可能平行，也可能相交，所以 与 不一定垂直，故不正确；
对于选项D，由 ，，可得 ，而 ，则 ，故正确
13. B
14. C
15. A
【解析】
如图所示，连接 ，
因为 ，
所以 ．
又 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
所以 ．
又 ，
所以平面 与平面 是同一个平面．
所以 必在直线 上．
16. C【解析】对于A， 垂直于以 为直径的圆所在平面，而 底面圆面，则 ，
又由圆的性质可知 ，且 ，
则 ．所以A正确；
对于B，由A可知 ，由题意可知 ，且 ，所以 ，
而 ，所以 ，所以B正确；
对于C，由B可知 ，因而 与 不垂直，所以 不成立，所以C错误；
对于D，由A，B可知，，，由面面垂直的性质可得 ．所以D正确；
综上可知，C为错误选项．故选：C．
17. C【解析】如图，
，则 ，又 ，
所以 ，则 ，
在 中，由已知可得 ，
则在平面 中，要使 是以 为斜边的直角三角形，
则 ．
18. C【解析】如图，
正方体 中，对角线 垂直于平面 ，且三角形 为等边三角形，正方体绕对角线旋转 能与原正方体重合．
19. D
20. A
第二部分
21.
22. 垂直
【解析】取 中点 ，连 、 ．
由 得 ．
同理 ，所以 面 ．
因此，．
23. 平面 （平面 、平面 、平面 均可，答案不唯一）
24.
25. ②③
【解析】因为 ， 与 相交不垂直，所以 与 不垂直，则①错误；
设点 在平面 上的射影为点 ，当 时就有 ，而 ，可使条件满足，所以②正确；
当点 落在 上时，，从而 ，所以③正确；
因为点 的投影不可能在 上，所以 不成立，即④错误．
第三部分
26. 取 的中点 ，连接 ，．
易证 ，
所以 ．
又因为 ，，
所以 ．
27. 方法一：在 内取一点 ，作 垂直于 与 的交线，垂足为 ，作 垂直于 与 的交线，垂足为 ，
因为 ，，
所以 ，，
因为 ，
所以 ，，
因为 ，，，
所以 ．
方法二：在 内作直线 垂直于 与 的交线，在 内作直线 垂直于 与 的交线，
因为 ，，
所以 ，，
所以 ，
又 ，
所以 ，
又 ，，
所以 ，
所以 ．
28. （1） 连接 ，
因为 ，
所以 ，
又 ，，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
同理可证 ，
又因为 ，
所以 ．
（2） 连接 ，
因为 为 的中点，
所以在 中，，
又因为 ，，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
要使 ，只需 ，即需 （因为 ，所以 ），
设 ，则 ，
所以在 中，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
29. 连接 ，，
则 ，，又 ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
因为 ，
连接 ，则 是 在底面 内的射影．
所以 ．
因为四边形 是正方形， 是 的中点，
所以当且仅当 是 的中点时，，
即当点 是 的中点时，．
30. （1） 因为 ， 是 的中点，
所以 ．
在 中，，
由已知 ，
所以 ，
所以 ．
又 ，，
所以 ．
（2） 因为 ， 为 的中点，
所以 ．
由（）知 ．
又因为 ，，
所以 ．