新高考数学一轮复习基础巩固4.4 求和方法（精练）（含解析）

4.4 求和方法（精练）（基础版）

1．（2022·安徽滁州·二模）已知数列满足：，设，．则__________．

【答案】

【解析】依题意，，

所以数列是首项，公比为的等比数列，所以，.

，也满足，

所以，，

所以.故答案为：

2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n，设数列{}的前n项和为Kn，则K20的值为 __．

【答案】

【解析】当n＝1时，b1＝S1＝2﹣1＝1，

当n≥2时，，

且当n＝1时，4n﹣3＝1＝b1，故数列{bn}的通项公式为：bn＝4n﹣3，

则，

则．故答案为：．

3．（2022·宁夏石嘴山·一模）已知为等比数列，前n项和为，，.

(1)求的通项公式及前n项和；

(2)若，求数列的前100项和.

【答案】(1)；(2)

【解析】(1)解：设公比为，

∵，，∴，∴，∴；

(2)解：∵，∴，

∴.

4．（2022·陕西·西安工业大学附中）设数列的前n项积为，且.

(1)求证数列是等差数列；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】(1)因为数列的前n项积为，且，

∴当n=1时，，则，.

当n≥2时，，∴，

所以是以为首项，为公差的等差数列；

(2)由（1）知数列，则由得，

所以，

所以.

5．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知数列的前项和为，若（为非零常数），且.

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前项和，并证明：.

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】(1)数列的前项和为 时, ,解得0 ①

当时，   ②①-②得 ,则即 (常数)

所以数列是以为首项,为公比的等比数列.则

又，则，所以或（舍）故.

(2)由于所以=

则

因为，所以，所以

又所以随的增大而减小

所以当时，取得最大值故

6．（2022·黑龙江·哈九中二模）已知数列满足，．

(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(2)记，求的前n项和

【答案】(1)证明见解析，(2)

【解析】(1)当时，，得，

当时，有，，相除得

整理为：，即，

∴为等差数列，公差，首项为；

所以，整理为：.

(2)，

7．（2022·广东梅州·二模）已知是数列的前项和，，___________.

①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：

(1)求；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)条件选择见解析，(2)

【解析】(1)解：选条件①：，，得，所以，，

即数列、均为公差为的等差数列，

于是，

又，，，所以；

选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，

得，所以，

所以的公差为，

得到，则，

当，.

又满足，所以，对任意的，.

(2)解：因为，

所以

.

8．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，.

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前n项和.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)解：由，可得，即，

所以当时，，，，，

将上述式子进行累加得，-

将代入可得，即.

当时也满足上式，

所以数列的通项公式.

(2)解：由（1）得，

则.

1．（2022·安徽黄山·二模）已知等差数列和等比数列满足，若数列的前项和为，且.

(1)求数列，的通项公式；

(2)若数列满足：，求数列的前n项和.

【答案】(1)，;(2).

【解析】(1)由①，可得（）②，

由①②得（）             

又也符合上式，所以，

由得，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则有

，

令，有，

令，有             

解得，或者

取，有，检验得（舍去）

所以，；

(2)由得，                    

所以

则

两式相减得，                    

2．（2022·安徽黄山·二模）已知数列、满足，若数列是等比数列，且 ．

(1)求数列、的通项公式；

(2)令，求的前项和为.

【答案】(1)，(2)

【解析】(1)        

当时，， ，又，∴       

是以为首项，为公比的等比数列，                  

∴当时，

由累加法可得：，

又当时，也适合上式，∴

(2)     

∴①

∴②

①-②得：                    

∴

3．（2022·安徽合肥·二模）记为数列的前项和，已知，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．

从①   ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】(1)①，

当时，，；当时，②①-②得，即

又，∴数列是从第2项起的等比数列，即当时，．．

(2)若选择①：，

．

若选择②，则③，④，

③-④得，．

4．（2022·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知数列，，．

(1)求，，，并求出数列的通项公式；

(2)记为数列的前项和，求．

【答案】(1)，，，；(2)

【解析】(1)解：由题意，数列中，，，

所以，，，

两边同除，可得，即，

设，可得，

令，解得，所以，

因为，所以，

所以，可得，

所以数列的通项公式为.

(2)解：由，可得，

则，

可得，

两式相减得到，

所以.

5．（2022·天津·芦台二中模拟预测）设数列的前项和为，为等比数列，且

(1)求数列和的通项公式；

(2)设，求数列前项和.

【答案】(1)，；(2).

【解析】（1）对数列，由，，

当时，，也满足，

对数列，设其公比为，，由可得，解得，故.

(2)因为，

故

，

故，

，

.

6．（2022·安徽宣城·二模）数列的前n项和为，且，记为等比数列的前n项和，且，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)设数列满足，求数列的前n项和．

【答案】(1)，；(2).

【解析】(1)解：当时，．

当时，也满足上式，故数列的通项公式为．

设的公比为q，当时，由题意可知，，显然不成立．

当时，依题意得，解得，所以．

(2)解：由（1）得，则

①，

②

①—②得：

，

所以

7．（2022·陕西·模拟预测）已知等比数列为递增数列，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前n项和为，证明：．

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】(1)解：由题意，，解得或，

因为等比数列为递增数列，所以，所以；

(2)解：由（1）知，

所以数列的前n项和为，①

，②

① ② 得，

所以，

又因为，所以，所以.

8．（2022·海南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，公比为的等比数列满足.

(1)求数列、的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)，(2)

【解析】(1)解：设等差数列的公差为，则，解得，

所以，，，则.

(2)解：因为，则，①

，②

①②得，

因此，.

9．（2022·云南·昆明一中）已知数列的前n项和.

(1)判断数列是否为等比数列，说明理由；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)不是等比数列，证明见解析(2)

【解析】(1)当时，，因为，

所以数列的通项公式：，

所以，，所以，所以不是等比数列.

(2)由（1）得：，所以，

当时，

当时，，①

，②

由①-②得：，

所以，当时，也满足所以

10．（2022·河南濮阳·一模（理））已知等差数列中，，，数列的前n项和满足．

(1)求数列，的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)，(2)

【解析】(1)设等差数列的公差为d．

由，得．解得.

故．

当时，，得．

当时，由，得，两式相减得，

所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，所以．

(2)依题意，，所以，，

两式相减，得 解得．

11．（2022·湖南常德·一模）设各项非负的数列的前项和为，已知，且成等比数列.

(1)求的通项公式；

(2)若，数列的前项和.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)当时，，

当时，①，②.

①-②得，即，

∵，∴，

∴数列从第2项起是公差为1的等差数列.

∴，

又，，成等比数列，∴，即，

解得，∴，

∵，∴，适合上式，

∴数列的通项公式为.

(2)，

∴数列的前项的和为

③

④

③-④得，∴.

1．（2022·陕西商洛·一模）已知正项等比数列{}满足

(1)求{}的通项公式：

(2)求数列{}的前n项和.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)由，得，解得：

又，所以，因为，所以，所以

(2)

2．（2022·广东·翠园中学）已知数列是公比为2的等比数列，是和的等差中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前n项和．

【答案】(1)；(2)．

【解析】(1)由题意，且公比所以，，，

所以；

(2)由（1），

．

3．（2022·重庆巴蜀中学）已知等差数列中，公差d为整数，其前n项和为．满足，且是和的等比中项．

(1)求的通项公式；

(2)设的前n项和为，求．

【答案】(1)，(2)

【解析】(1)由题：，∴

由于是和的等比中项，故

则，又d为整数，解得，所以

∴，；

(2)；

∴．

4．（2022·河北唐山·二模）已知等比数列满足，，．

(1)求的通项公式；

(2)记，，求数列的前n项和．

【答案】(1)(2)

【解析】(1)解：因为等比数列满足，，设公比为，

所以，解得，

所以；

(2)解：由（1）知，，

所以数列的前n项和.

5．（2022·福建省福州第一中学）已知等差数列中，．

(1)求；

(2)设，求的前项和．

【答案】(1)(2)

【解析】(1)设等差数列的公差为，∵，所以，

可得，两式相减可得：，所以

所以可得：；

(2)由（1）知：，所以，

6．（2022·浙江·杭州市余杭中学）已知为等差数列，为等比数列，，，．

(1)求和的通项公式；

(2)记的前项和为，求证：；

(3)对任意的正整数，设，求数列的前项和．

【答案】(1)，(2)证明见解析(3)

【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为．

∵，，可得．∴．

∵，，且，可得，解得，∴．

(2)由题可知，

故，，

作差得：，因此，.

(3)由题可知，

故当为奇数时，，

故记.

当偶数时，

记，，

故，

因此，；

故所求

.

7．（2022·广东韶关·二模）已知数列前项和为，

(1)证明：

(2)设 求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】(1)解：由题可知，

当时，解得，所以

又因为，

将其与两式相减得：，

因为，有.

当时，上式也成立，

综上，.

(2)解：当n为大于1的奇数时，

有，，，…，

累加得

又满足上式，所以n为奇数时；

当n为大于2的偶数时，有，，，…，

累加得，满足上式，又，

综上可知

.

8．（2022·北京市房山区房山中学）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且满足，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)令，求数列的前项的和．

【答案】(1)，；(2).

【解析】(1)由题设，

所以，而，则，

由，则，故.

综上，，.

(2)由（1）知：，

所以.

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．

【答案】

【解析】因为，所以．因为数列是等比数列，所以，即．设 ①，又＋…＋ ②，①+②，得，所以．

2．（2022·山西）设函数，数列满足，则______.

【答案】

【解析】由题得,，

两式相加得，

考虑一般情况，设,

则

所以

故答案为：

3．（2022·河南）已知，等差数列的前项和为，且，则的值为___________.

【答案】

【解析】因为等差数列的前项和为，且，

所以，解得：，

则，（且）

因为，则，

所以

设，

则，

由上述两式相加得：

，

则

故答案为：1009.

4（2022·陕西）已知函数，数列满足，则数列的前2019项和为______.

【答案】

【解析】依题意，函数，，所以，

数列满足，

所以，.，

设此数列前2019项的和，则有：

，

，

所以，即.

故答案为：.

5．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数,,,则______.

【答案】

【解析】函数，，可得，

即有：，

又，

可得：，，

即有.故答案为：.