新高考数学一轮复习基础巩固8.5 奇偶性（精讲）（含解析）

8.5 奇偶性（精讲）（基础版）

考点一 奇偶性的判断

【例1】（2022·广东）判断下列函数的奇偶性：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【答案】（1）奇函数

（2）既不是奇函数也不是偶函数

（3）既是奇函数又是偶函数

（4）奇函数

【解析】（1）由，得，且，

所以的定义域为，关于原点对称，

所以.

又，所以是奇函数.

（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.

（3）对于函数，，其定义域为，关于原点对称.

因为对定义域内的每一个，都有，所以，，

所以既是奇函数又是偶函数.

（4）函数的定义域为，定义域关于原点对称.

①当时，，

所以，，所以；

②当时，，所以；

③当时，，所以.

综上，可知函数为奇函数.

【一隅三反】

1．（2022·黑龙江）下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于A，定义域，但，为奇函数，且在上单调递减，故A错误；

对于C，为偶函数，且在上既有增区间，也有减区间，所以在上不单调，故B正确；

对于C，在单调递减，不符合题意，故C错误；

对于D，在单调递增，不符合题意，故D错误.

故选：B

2．（2022·湖南衡阳·高二期末）设函数，则下列函数中为偶函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】，则，因为是偶函数，故为偶函数.

故选：A

3．（2022南京）判断下列函数的奇偶性．

(1)；

(2)；

(3)

【答案】(1)非奇非偶函数

(2)奇函数

(3)偶函数

【解析】(1)函数f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数．

(2)f(x)的定义域为，关于原点对称．，所以为奇函数．

(3)的定义域为，且关于原点对称，

当时，，则；

当时，，则，故是偶函数．

考点二 利用奇偶性求解析式

【例2-1】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知是上的偶函数，当时，，则时，（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为是上的偶函数，当时，，则.

故选：C.

【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】当时，则，所以，

又因为函数是奇函数，所以，

所以当时．故选：B

【一隅三反】

1．（2022·湖南）若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】当时，，由奇函数的定义可得.

故选：D.

2．（2022·河南安阳）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．

【答案】

【解析】时，，是奇函数，

此时

故答案为：

考点三 已知奇偶性求参数

【例3-1】（2022·全国·高一课时练习）若函数为奇函数，则（       ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】由函数为奇函数，可得，

所以，

所以，化简得恒成立，

所以，即,

经验证，定义域关于原点对称，且满足，故；

故选:A．

【例3-2】．（2022·全国·长垣市 ）已知函数，若，则（       ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】B

【解析】，

，

，又，

.

.故选：B.

【一隅三反】

1．（2022·湖北·高三开学考试）若函数是偶函数，则________.

【答案】

【解析】由题意知：，同乘以得，故，

故答案为：

2．（2022福建）若函数的图象关于轴对称，则常数 _______.

【答案】

【解析】可知函数为偶函数，定义域为R，则，即，解得，

则，显然满足题意，则．

故答案为：.

3．（2022·重庆巴蜀中学 ）若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______．

【答案】4

【解析】因为为定义域上的奇函数，

，

所以恒成立解得.

故答案为：4.

4．（2022·云南）已知函数是偶函数，则常数的值为__．

【答案】

【解析】易知函数定义域为

函数是偶函数对定义域内每一个都成立

，，

对定义域内每一个都成立，即 .

考点四 利用奇偶性单调性解不等式

【例4-1】（2022·全国·高一课时练习）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】，在上单调递减，又为偶函数，

，，，解得：或，

的解集为.

故选：D.

【例4-2】．（2022·全国·课时练习）定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵是偶函数，

，

故可变形为，

∵在区间上单调递减，

故.

故选：C.

【一隅三反】

1．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数，则使得成立的的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为的定义域为R，

又，

所以函数是偶函数，

又函数在是增函数，

所以函数在是增函数，

由，可得．

所以.

故选：A．

2．（2022·辽宁抚顺）定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为奇函数在上单调递增，所以在上单调递增，

因为，所以，

所以，解得．

故选：C.

3．（2022·云南 ）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】当时，，则在上单调递增，

又函数是上的偶函数，且，

所以，不等式，

解得或

所以不等式的解集为，

故选：D

4．（2022·河南商丘·高二期末（文））已知偶函数的定义域为，且当时，，则使不等式成立的实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，，所以在上单调递增，

且，不等式即为.

又因为是偶函数，所以不等式等价于，

则，所以，，解得.

综上可知，实数的取值范围为，

故选：A.

5．（2022·全国· 课时练习）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为函数为奇函数，

所以，又，，

所以不等式，可化为，

即，

又因为在上单调递增，

所以在R上单调递增，

所以，

解得.

故选：D.

6．（2022·山西运城 ）已知函数，则关于的不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】构造函数，

，则函数为偶函数，且该函数在上为减函数，

由可得，即，

所以，，可得，即，解得.

因此，不等式的解集为.

故选：D.

考点五 利用奇偶性单调性比较大小

【例5】（2022·北京亦庄实验中学）设偶函数 在区间 上单调递增， 则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题意为偶函数，则，

又由函数 在区间 上单调递增，且,

所以，

所以，

故选：B．

【一隅三反】

1．（2022·福建省福州第二中学 ）设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（       ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由，即，注意到，由，故，即，又根据指数函数性质，是上的减函数，故，即，于是，又是上递减的偶函数，则.

故选：B

2．（2022·陕西）已知偶函数在上单调递减，若，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】依题意，，而偶函数在上单调递减，

则，而，即，

所以.

故选：C

3．（2022·陕西 ）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，对任意的不相等实数总有成立，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为当时，对任意的不相等实数总有成立，故当时为减函数，又偶函数，且，，故，故

故选：D

4．（2022·内蒙古 ）函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由偶函数知，又，，，

显然，又在单调递增，则.

故选：C.