新高考数学一轮复习基础巩固8.8 对数运算及对数函数（精练）（含解析）

8.8 对数运算及对数函数（精练）（基础版）

1．（2022镇江月考）计算：

（1） . 

（2）已知 ， ，求实数 的值. 

【答案】（1）（2）1

【解析】（1）原式 ， 

.

（2）因为 ， ， 

所以 ，

解得 或-2(舍)，

所以 .

2．（2022上海月考）已知 ，求 的值. 

【答案】9

【解析】因为 ， 

所以 ，

化简得 ，即 ，

解得

3（2022莲湖期中）        

（1）计算 ； 

（2）若 ，求 的值． 

【答案】见解析

【解析】（1）由题意， ；

（2）因为 ，所以 ， ， 

所以 ， ，

所以 .

4．（2021海安月考）计算：

（1） ； 

（2） ． 

【答案】（1）2（2）22

【解析】（1）解：原式

．

（2）解：原式

．

5．（2022高一上·中山月考）求值或化简：

（1） ； 

（2） . 

（3） .  

（4）

（5） .  

（6） .

【答案】见解析

【解析】（1）

（2）

＝

＝ ＝ ＝

（3）

=2

（4）

（5）原式

.

（6）(方法一)原式

.

(方法二)原式

=13

1．（2022·重庆模拟）函数 定义域为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以函数的定义域为 故答案为：C

2．（2022·东莞月考）函数的定义域为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】依题意，， 所以的定义域为.故答案为：D

3．（2022河南）函数f(x)＝ 的定义域为（　　）  

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】函数 中， 令 ，得 ，

解得 ，所以函数 的定义域为 .故答案为：A.

4．（2022开封期中）已知函数 且 在区间 上的最大值与最小值的差为1，则实数 的值为（　　）  

A．2 B．4 C． 或4 D． 或2

【答案】C

【解析】令 ，由 ，得 ， 函数可化为 ， ，
①当 时，函数 在 上单调递增，
其最大值与最小值的差为 ，解得 ；
②当 时，函数 在 上单调递减，
其最大值与最小值的差为 ，解得 ，

所以实数 的值为4或 ，故答案为：C.

5．（2022浦城）已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　)

A．0＜k＜1 B．0≤k＜1 C．k≤0或k≥1 D．k＝0或k≥1

【答案】C

【解析】因为函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R， 所以 ，

解不等式得k≤0或k≥1。故答案为：C

1．（2022高三上·西宁期末）已知（且）恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（　　）

A． B．8 C． D．4

【答案】C

【解析】当x=2时，loga(x−1)+1=1恒成立，

故f(x)=loga(x−1)+1(a>0且a≠1)恒过定点M(2，1)，

∵点M在直线 (m>0，n>0)上，故，则：

，

当且仅当时等号成立.即m+n的最小值为.故答案为：C.

2．（2020·新课标Ⅱ·理）设函数 ，则f(x)（　　）

A．是偶函数，且在 单调递增

B．是奇函数，且在 单调递减

C．是偶函数，且在 单调递增

D．是奇函数，且在 单调递减

【答案】D

【解析】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，

又 ，

为定义域上的奇函数，可排除AC；

当 时， ，

在 上单调递增， 在 上单调递减，

在 上单调递增，排除B；

当 时， ，

在 上单调递减， 在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D符合题意.

故答案为：D.

3（2022集宁月考）函数y=log （5+4x-x2）的单调递增区间为(　　)  

A．(2,  5) B．(-1, 2) C．(-∞, 2) D．(2,+∞)

【答案】A

【解析】 ，解得

内层函数 在 上单调递增，在 上单调递减。

外层函数 单调递减

所以 的单调递增区间

故答案为：A

4．（2022长治期中）函数 的增区间为（　　）  

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，可知 为定义域上的单调递增函数，

又由函数 在 单调递减，在 上单调递增，

根据复合函数的单调性判定“同增异减”，

可得函数 的单调递增区间为 ，

故答案为：B.

5（2022广东）．已知 是(−∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是（　　）

A．(0,1) B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得 ，∴ .故答案为:C.
6．（2022九江开学考）函数y= sin（ ﹣2x）的一个单调递减区间是（　　） 

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】∵y=log0.5t为减函数， 

y=log0.5sin（ ﹣2x）单调减区间即为t=sin（ ﹣2x）=﹣sin（2x﹣ ）的单调增区间

由于真数必须为正，故令     k∈Z解得 

当k=﹣1时，有 故选A．

7．（2022绍兴）若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间（0， ）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是（　　） 

A．（﹣∞，﹣ ） B．

C． D．（0，+∞）

【答案】C

【解析】当x∈（0， ）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1， 

∵函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=logat和t=2x2+x复合而成，

0＜a＜1时，f（x）=logat在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．

t=2x2+x＞0的单调递减区间为 ，∴f（x）的单调增区间为 ，

故选C．

8．（2022连城期中）函数f（x）=x3+bx2+cx+d图象如图，则函数 的单调递减区间为（　　） 

A．（﹣∞，﹣2） B．[3，+∞）

C．[﹣2，3] D．[ ）

【答案】A

【解析】∵f（x）=x3+bx2+cx+d∴f'（x）=3x2+2bx+c 

由函数f（x）的图象知，f'（﹣2）=0，f'（3）=0

∴b=﹣ ，c=﹣18

∴ =log2（x2﹣x﹣6）的定义域为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）

令z=x2﹣5x﹣6，在（﹣∞，﹣2）上递减，在（3，+∞）上递增，且y=log2z

根据复合函数的单调性知，

函数 的单调递减区间是（﹣∞，﹣2）

故选A．

9．（2022重庆）已知y=loga（2﹣ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（　　） 

A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．（2，+∞）

【答案】B

【解析】∵f（x）=loga（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数，  ∴f（0）＞f（1），即loga2＞loga（2﹣a）．

∴ ，∴1＜a＜2．故答案为：B．

10（2022保定期末）已知，，，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为 ，所以函数单调递减，所以， 即；

因为，所以函数单调递增，所以，即；

因为，所以函数单调递减，所以，

即.所以，A，B，D不符合题意.故答案为：C.

11．（2022咸宁期末）已知，，，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为在上单调递增，， 所以，即，

又因为，所以．故答案为：C

12．（2022湖北期末）已知，，，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，，

所以.故答案为：D.

13．（2022南充期末）函数的图象恒过一定点是　         　．

【答案】（2，2）

【解析】对数函数过定点，令，此时，所以过定点（2，2）

14．（2022河南月考）已知函数 ，则关于x的不等式 的解集为　          　.  

【答案】

【解析】由题意可知，定义域为R，设 ，

，

由函数 在R上的增函数，

在 为增函数，

且 ，

所以 关于 对称，故 在 为增函数，

且 在 处连续， 在 上的增函数，

故函数 在R上递增，

，

且 在R上递增，

原不等式等价于

则 ，解得 .

故答案为： .

1．（2022昭阳期末）若函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 （　　） 

A．10 B．-1 C．2 D．-2

【答案】C

【解析】 与 关于 对称 为 的反函数

∴有 故答案为：C

2．（2022虹口期末）若函数的反函数为，则关于x的不等式的解集为　          　．

【答案】

【解析】观察可得在上单调递增，值域为R，

则其反函数在R上也为单调递增函数，

又，则，

，即，，

即关于x的不等式的解集为。

故答案为：。

3．（2022湖南）设 为定义在 上的奇函数， 与 关于直线 对称，若当 时， ，则 　     　.  

【答案】-1

【解析】 的图象与 的图象关于直线 对称，则 与 互为反函数，得 ，又 为定义在 上的奇函数，且当 时， ，则 ，得 ， ，则 ，
故答案为：-1。
4．（2022河北）若函数 （ 且 ）的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是　        　.

【答案】(0，-2)

【解析】令 得 ，此时 ，所以函数 过定点 ，

所以函数 （ 且 ）的反函数的图象都过点(0，-2).

故答案为：(0，-2)

5（2020·上海模拟）已知函数 ，其反函数为 ，则 　     　

【答案】1

【解析】 ，取 ，解得 ，故 .

故答案为： .