新高考数学一轮复习基础巩固8.9 幂函数（精讲）（含解析）

8.9 幂函数（精讲）（基础版）

考点一 幂函数的三要素

【例1-1】（2022·四川省）幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.

【答案】1

【解析】有图象可知：该幂函数在单调递减，所以，解得，,故可取，又因为该函数为偶函数，所以为偶数，故故答案为：

【例1-2】（2022课时练习）（1）函数的定义域是________，值域是________；

（2）函数的定义域是________，值域是________；

（3）函数的定义域是________，值域是________；

（4）函数的定义域是________，值域是________．

【答案】（1）         （2）          

（3）          （4）     

【解析】（1）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,

（2）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,

（3）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,

（4）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,

故答案为：（1）;,

（2）;,

（3）;,

（4）;.

【一隅三反】

1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知为幂函数， 且， 则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为为幂函数，

设，则，

所以，可得，则.

故选：B

2．（2022·全国·模拟预测（文））设，则“函数的图象经过点”是“函数在上递减”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】函数的图象经过点，则，

因为，所以，所以，

所以在上递减，

而在上递减，函数的图象不一定经过点，

如：.

所以“函数的图象经过点”是“函数在上递减”的充分不必要条件.

故选：A.

3．（2022·河北·邢台市第二中学高三阶段练习）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，，

当且仅当时，等号成立；

即当时，函数的最小值为，

当时，，

要使得函数的最小值为，则满足，解得，

即实数的取值范围是.

故选：A.

4．（2022·河北）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数在上单调递减，其函数值集合为，

当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，

当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，

因函数的值域为，则有，解得，

所以实数的取值范围为.故选：D

考点二 幂函数的性质

【例2-1】（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（   ）

A． B．

C．或 D．

【答案】A

【解析】因为函数既是幂函数又是的减函数，所以解得：.

故选：A.

【例2-2】（2022·广西）已知，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题得，，，，因为函数在上单调递增，所以．又因为指数函数在上单调递增，所以．故选:D．

【例2-3】（2022·云南）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．

当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；

当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．

不等式化为，

函数在和上单调递减，

故或或，解得或．

故应选：D．

【一隅三反】

1．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高三开学考试）下列关于幕函数的命题中正确的有（    ）

A．幂函数图象都通过点

B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限

C．当幂指数时，幂函数是增函数

D．若，则函数图象不通过点

【答案】B

【解析】对于A，当时，幂函数图象不通过点，A错误；

对于B，幂指数时，幂函数分别为 ，三者皆为奇函数，

图象都经过第一、三象限，故B正确；

对于C，当时，幂函数在上皆单调递减，C错误；

对于D，若，则函数图象不通过点，通过点，D错误，故选：B

2．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在x（0，+∞）上是减函数，则m＝（    ）

A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1

【答案】A

【解析】∵幂函数，

∴m2﹣m﹣1＝1，

解得m＝2，或m＝﹣1；

又x（0，+∞）时f（x）为减函数，

∴当m＝2时，m2+m﹣3＝3，幂函数为y＝x3，不满足题意；

当m＝﹣1时，m2+m﹣3＝﹣3，幂函数为，满足题意；

综上，．

故选：A．

3．（2022·全国·高三专题练习）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【解析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，

则，解得：，当时，，，

则，所以函数为奇函数，即充分性成立；

“函数为奇函数”，

则，即，

解得：，故必要性不成立，

故选：A．

4．（2022·全国课时练习）如图所示是函数(且互质)的图象，则（    ）

A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且

C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且

【答案】C

【解析】函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，

在第一象限内，函数是凸函数，故，故选：C.

5．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知，则a，b，c大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为.所以.

因为.所以.所以.故选：A.

考点三 二次函数根的分布

【例3-1】（2022·全国·高一课时练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】方程对应的二次函数设为：

因为方程恰有一根属于，则需要满足：

①，，解得：；

②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，

把点代入，解得：，

此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去

把点代入，解得：，

此时方程为，两根为，，而，故符合题意；

③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，

，解得，

当时，方程的根为，不合题意；

若，方程的根为，符合题意

综上：实数m的取值范围为

故选：D

【例3-2】（2022·湖北·华中师大一附中 ）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】当时，即为，不符合题意；

故，即为，

令，

由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，

则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，

故时，，即，解得，故，故选：D

【一隅三反】

1．（2022·江苏）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】令

由题可知：

则，即

故选：C

2．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数，若关于的方程有两个不同的实根， 则实数的取值范围为（    ）

A．  B．   C．  D．

【答案】A

【解析】当时，函数是增函数，函数值集合是，当时，是减函数，函数值集合是，

关于的方程有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，

在坐标系内作出直线和函数的图象，如图，

观察图象知，当时，直线和函数的图象有两个交点，即方程有两个不同的实根，所以实数的取值范围为.故选：A

3（2022·江苏）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】由题意，方程的两根都大于，

令，

可得，即，解得．

故答案为：.

4．（2022贵州）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．

【答案】

【解析】令，图象恒过点，

方程0在区间内有两个不同的根，

，解得.

故答案为：