新高考数学一轮复习基础巩固9.3 利用导数求极值最值（精练）（含解析）

9.3 利用导数求极值最值（精练）（基础版）

1．（2022太原期中）若 是函数 的极值点，则函数（　　） 

A．有最小值 ，无最大值               B．有最大值 ，无最小值

C．有最小值 ，最大值             D．无最大值，无最小值

【答案】A

【解析】由题设 且 ， ∴ ，可得 .

∴ 且 ，

当 时 ， 递减；当 时 ， 递增；

∴ 有极小值 ，无极大值.

综上，有最小值 ，无最大值。故答案为：A

2．（2022湖北期中）已知函数 ( 且 ， )的一个极值点为2，则 的最小值为（　　） 

A． B． C． D．7

【答案】B

【解析】对 求导得： ，因函数 的一个极值点为2，则 ，

此时， ， ，

因 ，即 ，因此，在2左右两侧邻近的区域 值一正一负，2是函数 的一个极值点，则有 ，又 ， ，

于是得 ，当且仅当 ，即 时取“=”，所以 的最小值为 .故答案为：B

3．（2021高三上·三门峡期中）“ ”是“函数 在 上有极值”的（　　） 

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】 ，则 ，

令 ，可得 ，

当 时， ，当 时， ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，

所以，函数 在 处取得极小值，

若函数 在 上有极值，则 ， ，

因为 ，但是由 推不出 ，

因此 是函数 在 上有极值的必要不充分条件．

故答案为：B．

40．（2022·镇江 ）已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ， 和 是函数 的极值点，则 （　　）  

A．－38 B．38 C．－17 D．17

【答案】A

【解析】由题意，函数 ，其中 ，

可得

令 ，解得 或 ，

又 和 是函数 的极值点，且公差 ，所以 ， ，

所以 ，解得 ，

所以 .

故答案为：A.

1．（2022·淮北模拟）函数 的最大值为（　　）  

A． B． C． D．3

【答案】B

【解析】因为

所以

令

则

则

令 ，得 或

当 时， ； 时

所以当 时， 取得最大值，此时

所以

故答案为：B

2．（2022高三上·安徽开学考）函数的值域是　         　．

【答案】[2，+∞)

【解析】，

令，易得当时，且为增函数.

记，则，

易知当时．为减函数；当时．为增函数．

∴，∴的值域为[2，+∞)．

故答案为：[2，+∞)

3．（2021·全国高考真题）函数的最小值为______.

【答案】1

【解析】由题设知：定义域为，

∴当时，，此时单调递减；

当时，，有，此时单调递减；

当时，，有，此时单调递增；

又在各分段的界点处连续，

∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；

∴

故答案为：1.

4．（2021·江西高三二模）已知函数，则在上的最大值是__________．

【答案】

【解析】由题意可知，，

，．

当时，，

函数在区间上单调递增，则．

故答案为：

5（2021·湖南）函数的最小值为_________.

【答案】

【解析】当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为

6．（2022·西藏 ）设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是         

【答案】

【解析】由题得.设切点，

则;

则切线方程为

即

又因为是曲线的切线

所以

则.

令.

则.

则有时，在上递减;

时，在上递增﹐

所以时，取最大值

即的最大值为.

7．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数在上单调递减，则实数的最小值是          

【答案】

【解析】由在上单调递减，

得，

即，

令，则，

当时， ，则，

所以，即，

所以在是单调递减函数，，

得，的最小值为.

8．（2021·天津）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为      .

【答案】

【解析】因为，

且函数在区间上存在最大值，

故只需满足，

所以，，

解得．

1．（2022·莆田三模）已知函数的最小值是4．则（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【解析】由题，，，所以单调递增，

又，所以，，

故为最小值点，即，解得，故答案为：A

2．（2021高三上·湖北期中）若函数（为常数）有两个不同的极值点，则实数取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，函数（为常数）有两个不同的极值点，

等价于函数与的图象有两个不同的交点，

，因为为增函数，且，

则，，为减函数，

，，为增函数，

所以，故.

故答案为：C

3．（2022湖南）已知f(x)＝ x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（　　） 

A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞)

C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)

【答案】C

【解析】由 得 ，

根据题意得 ，解得 。故答案为：C

4．（2022辽宁月考）已知函数 在 上恰有两个极值点，则 的取值范围是（　　） 

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】 ，

根据题意得 在 有2个变号零点，

当 时，显然不合题意，

当 时，方程 等价于 ，

令 ，

，令 ，因为 ，解得 ，

可得 在 单调递减，在 单调递增，

又因为 ， ， ，

要使 与 的图像有2个不同的交点，

需要满足 ，解得 。

故答案为：D．

5．（2022河南月考）已知函数 （ ， ）存在极大值和极小值，且极大值与极小值互为相反数，则（　　） 

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

设 是方程 的两个实数根，根据题意可知 ，不妨设

则 ，且 ，即

化简得：

将 代入化简计算得

， ，B符合题意，ACD不符合题意

故答案为：B.

6．（2021高三上·邢台月考）若函数 在区间 有最小值，则实数 的取值范围为（　　） 

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】 ，①当 时，可得函数 的增区间为 ， ，

减区间为 ，若函数 在区间 有最小值，必有 ，

有 ，由 ，有 ， ，不合题意；

②当 时，此时函数 的增区间为 ， ，减区间为 ， 在区间 最小值为 ，符合题意；

③当 时，此时函数 的增区间为 ， ，减区间为 ，

只需要 ，得 ；

④当 时， 在区间 单调增，不合题意，

故实数 的取值范围为 ．

故答案为：D

7．（2022·桂林模拟）若函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（　　） 

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意， 有两个变号零点，

令 ，即 ，则 ，

显然 ，则 ，

设 ，则 ，

设 ，则 ，

∴ 在 上单调递减，

又 ，

∴当 时， ， ， 单调递增，

当 时， ， ， 单调递减，

∴ ，且 时， ， 时， ，

∴ ，解得 ．

故答案为：B．

8．（2022·江西模拟）若函数 在 处取极值0，则 （　　） 

A．0 B．2 C．-2 D．1

【答案】A

【解析】 ，

则 ，

若 在 处取极值0，

则 ，解得： ，

故 ，

故答案为：A．

9．（2021·铁岭模拟）若 ，“ ”是“函数 在 上有极值”的（　　）．  

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由题意，函数 ，则 ，

令 ，可得 ，

当 时， ；当 时， ，

所以函数 在 处取得极小值，

若函数 在 上有极值，则 ，解得 ．

因此“ ”是“函数 在 上有极值”的充分不必要条件．

故答案为：A．