新高考数学一轮复习基础巩固9.3 利用导数求极值最值（精讲）（含解析）

9.3 利用导数求极值最值（精讲）（基础版）

考点一 极值

【例1-1】（2022·崇左模拟）函数的极小值是　     　．

【答案】2

【解析】由题意可得．由，得或；由，得，则在和上单调递增，在上单调递减，则． 故答案为：2

【例1-2】（2022·辽阳二模）设函数 ，则下列不是函数 极大值点的是（　　） 

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可得 ，

令 ，得 或 ， ，

则当 时， ，

当 时， ，

所以函数 在 ， ， 上单调递增，在 ， ， 上单调递减，

故不是函数 极大值点的是 .

故答案为：D.

【例1-3】（2022·安康模拟）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，得.

因为函数有两个极值点，

所以有两个不同的解，

即有两个不同的解转化为   与   的图象有两个交点；

设，则，令 ，即 ，解得  

当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减.

分别作出函数与   的图象，如图所示

由图可知，0   ，解得   .

所以实数   的取值范围为   .

故答案为：D.

【一隅三反】

1（2022高三上·襄阳期末）已知函数，，则所有极值点的和为（　　）

A． B．13π C．17π D．

【答案】D

【解析】，令，得，

因为在两侧异号，所以是函数的极值点，

又，所以极值点，

所以所有极值点的和为，故答案为：D.

2．（2022·昆明模拟）若是函数的极值点，则的极大值为（　　）

A．-1 B． C． D．1

【答案】C

【解析】因为，

故可得，

因为是函数的极值点，故可得，

即，解得，

此时

令，解得，

由可得或；由可得，

所以在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，

故的极大值点为，

则的极大值为。

故答案为：C.

3（2022·河西模拟）若函数在处取得极值，则　     　．

【答案】1

【解析】，

因为函数在处取得极值，

所以，，解得，

此时，，

故当时，，单调递减；

当和时，，单调递增；

所以，函数在处取得极小值，满足题意，

所以，

所以故答案为：1

考点二 最值

【例2】（2021·浙江）已知函数，则的最大值是_____，最小值是______．

【答案】；    .   

【解析】，，

又，令，得；令，得.

在上单调递减，在上单调递增，

，的最大值是2；最小值是.故答案为：；.

【一隅三反】

1．（2021·全国专题练习）函数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数的定义域为，则令，解得，

当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减，

则当时，函数有最大值，为，故选:D.

2（2021·江苏）已知函数，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题得，

所以当时，单调递增；

当时，单调递减.

所以取得最小值时，，此时，

当时，；

当时，；

所以的最小值是.

故选：C

3．（2021·甘肃兰州市）函数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

因为，

所以函数的最大值为，故选：B

考点三 已知极值最值求参数

【例3-1】（2022·新疆三模）若函数在处有极值10，则（　　）

A．6 B．-15 C．-6或15 D．6或-15

【答案】B

【解析】，

又 时 有极值10

，解得 或

当 时，

此时 在 处无极值，不符合题意

经检验， 时满足题意

故答案为：B

【例3-2】（2022·凉山模拟）函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，函数，可得，

若时，当时，可得，在上单调递减，

此时函数在没有最小值，不符合题意；

当时，令，即，即与的交点，

画出函数与的图象，如图所示，

结合图象，可得存在，使得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

此时函数在上有最小值，符合题意，

综上可得，实数a的取值范围是.

故答案为：A.

【例3-3】（2022高三上·开封开学考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，

当时，，，

当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，

，，则在上值的集合为，

因函数的值域为，于是得，则，解得，

所以实数的取值范围是.

故答案为：D

【一隅三反】

1（2021高三上·江西月考）设函数若无最大值，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为

作出函数与直线的图象，

它们的交点是，，，

由，则令，可得或，

当或时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

所以是的极大值点，是的极小值点，

由图象可知，当时，有最大值或，

当时，有，此时无最大值，

故实数的取值范围为.

故答案为：A.

2．（2022金台月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意有两个不等实根，

即有两个不等实根，

设，则，

当时，，递增，

当时，，递减，

时，为极大值也是最大值，时，，且，

当时，，

所以当，即时，直线与的图象有两个交点，

即有两个不等实根．

故答案为：B

3（2022潍坊期中）若函数 在 上无极值，则实数 的取值范围（　　） 

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由 可得

，

恒成立， 为开口向上的抛物线，

若函数 在 上无极值，

则 恒成立，所以 ，

解得： ，

所以实数 的取值范围为 ，

故答案为：D.

4．（2021·全国高三专题练习）若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，，

令，解得或；令，解得.

故的单调递增区间为和，单调递减区间为，

所以，函数在处取得极小值，

由于函数在区间内取到最小值，则，

由可得，可得,

即，解得.

因此，实数的取值范围是.故选：C.