新高考数学一轮复习基础巩固10.2 圆的方程（精讲）（含解析）

10.2 圆的方程（精讲）（基础版）

考点一 圆的方程

【例1-1】（2021白云期末）已知圆的方程为，则圆心的坐标为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】圆的标准方程为，圆心的坐标为. 故答案为：A.

【例1-2】（2022成都）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，则圆的标准方程为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意设圆心坐标为，

再由圆与轴的交点分别为，可得，解得，

则圆心坐标为，半径．

该圆的标准方程是．故答案为：B．

【一隅三反】

1．（2022·江西模拟）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若方程表示圆，则，解得：；

，，甲是乙的充分不必要条件.故答案为：A.

2．（2022和平）圆心在轴上，半径为2，且过点的圆的方程为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，设圆的标准方程为 ， 将代入，求得 ，

则圆的标准方程为，故答案为：B.

3．（2022杭州）过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】过点作直线的垂线，垂足为，

则以为直径的圆为直线相切的半径最小的圆，

其中，设，

则，解得：，

故的中点，即圆心为，即，

故该圆为故答案为：B

考点二 直线与圆的位置关系

【例2-1】（2022高二下·玉溪期末）已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直线经过点，且与圆相切，则，

故直线的方程为，即。故答案为：A.

【例2-2】（2022·温州）已知直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为直线与圆有两个不同的交点，

所以圆心到直线的距离，即，解得，

所以实数的取值范围是，故答案为：B.

【例2-3】（2022·柳州模拟）已知直线 与圆 相交于A，B两点 ，则k＝（　　） 

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】圆的圆心C（2，1） ， 半径r=2，

 所以圆心C（2，1）到直线 的距离，

 而 ，所以 ，解得： .故选：B

【一隅三反】

1．（2022·秦皇岛二模）直线被圆截得的弦长为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】将圆的方程化为：，则圆的圆心为，半径为4，因为圆心到直线的距离为：，所以直线被圆截得的弦长为. 答案为：B.

2．（2022·呼和浩特模拟）直线l： 与函数 的图象有两个公共点，则k的取值范围为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】直线l： 过点 ，

函数 变形为 其图象如图所示：

由图象知： ， ，

因为直线l： 与函数 的图象有两个公共点，

所以 ，故答案为：C

3．（2022·贵阳模拟）已知直线和与圆都相切，则圆的面积的最大值是（　　）

A．2π B．4π C．8π D．16π

【答案】A

【解析】由题，互相平行，且，故圆的直径为间的距离，令，则，，故当，即时取得最大值，此时圆的面积为故答案为：A

4．（2022·鞍山模拟）（多选）已知M为圆C：上的动点，P为直线l：上的动点，则下列结论正确的是（　　）

A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离

C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为

【答案】B,D

【解析】圆C：得圆心，半径

∵圆心到直线l：得距离∴直线l与圆C相离

A不正确，B符合题意；

C不正确，D符合题意；故答案为：BD．

考点三 圆与圆的位置关系

【例3-1】（2022高一下·汉中期中）已知，，那么它们的位置关系是（　　）

A．外离 B．相切 C．相交 D．内含

【答案】C

【解析】方程可化为，得，，

方程可化为，得，，，

，故两圆相交。故答案为：C.

【例3-2】（2022·吉林模拟）已知两圆方程分别为和．则两圆的公切线有（　　）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】C

【解析】两圆的圆心分别为和，半径分别为2和3，圆心距，则两圆外切，公切线有3条． 故答案为：C

【一隅三反】

1．（2022·石家庄模拟）（多选）已知圆与圆，则下列说法正确的是（　　）

A．若圆与x轴相切，则

B．若，则圆与圆相离

C．若圆与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为

D．直线与圆始终有两个交点

【答案】B,D

【解析】因为圆，

所以若圆与x轴相切，则有，A不符合题意；

当时，，两圆相离，B符合题意；

由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，

C不符合题意；

直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，D符合题意.

故答案为：BD

2．（2022·徐汇期末）已知圆和圆内切，则m的值为　     　．

【答案】

【解析】圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，所以两圆的圆心距，

又因为两圆内切，有，解得.故答案为：.

3（2022广安期末）若圆平分圆的周长，则直线被圆所截得的弦长为　     　．

【答案】6

【解析】两圆相减得公共弦所在的直线方程为

由题知两圆的公共弦过圆的圆心，所以

即，又，所以

到直线的距离

所以直线被圆所截得的弦长为故答案为：6

考点四 切线问题

【例4-1】（2022·天津市模拟）过点作圆的切线，则的方程为（　　）

A． B．或

C． D．或

【答案】C

【解析】

即 在圆上则过 点的切线方程为 整理得 故答案为：C

【例4-2】（2022·湖北模拟）若圆关于直线对称，则从点向圆作切线，切线长最小值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】C

【解析】由圆，可得，

∴圆心，又圆关于直线对称，

∴，即，由点向圆所作的切线长为：

，

即切线长最小值为4.故答案为：C.

【一隅三反】

1．（2022·朝阳模拟）过点作圆的切线，则切线方程为（　　）

A． B．

C． D．或

【答案】C

【解析】由圆心为，半径为， 斜率存在时，设切线为，则，可得，所以，即，

斜率不存在时，显然不与圆相切；综上，切线方程为.故答案为：C

2．（2022·广西模拟）过圆上一点A作圆的切线，切点为B，则的最小值为（　　）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】设圆与圆的圆心分别为O，C，则，当最小时，最小，由于点A在圆O上，则的最小值为，所以的最小值为. 故答案为：B.

3．（2022高二下·番禺期末）写出与圆和圆都相切的一条切线方程　                            　.

【答案】y=1或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0

【解析】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4， 圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，

易得切线的方程为y=1，

因为，且，所以，设，即，

则到的距离，解得（舍去）或，所以，

可知和关于对称，联立，解得在上，

在上任取一点，设其关于的对称点为，

则，解得，

则，所以直线，即24x+7y+25=0，

综上所述，切线方程为y=1或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0。

故答案为：y=1或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0。