新高考数学一轮复习基础巩固10.4 双曲线（精讲）（含解析）

10.4 双曲线（精讲）（基础版）

考点一 双曲线的定义及应用

【例1-1】（2022·潮州二模）若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（　　）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由题意可知，，，，

若，则，或1（舍去），

若，，或13，

故“”是“”的充分不必要条件．故答案为：A．

【例1-2】（2022·成都模拟）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（　　）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵双曲线，

∴，又点P在双曲线C的右支上，，

所以，，即，

又，∴面积为.故答案为：B.

【例1-3】（2022常州期中）已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（　　）

A．  B．  C．  D．

【答案】B

【解析】曲线右焦点为，周长 要使  周长最小，只需 最小，如图： 

当 三点共线时取到，故l=2|AF|+2a= 故答案为：B

【例1-4】（2021河北月考）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为（　　）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【解析】因为方程表示双曲线，

所以当，即时，，可得；

当，即时，，可得.

综上所述，实数的取值范围为或。故答案为：C

【一隅三反】

1．（2022高三上·广东开学考）“k<2”是“方程表示双曲线”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】∵方程为双曲线，∴，

∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件，故答案为：A.

2．（2022·运城模拟）已知双曲线的左右焦点，，是双曲线上一点，，则（　　）

A．1或13 B．1 C．13 D．9

【答案】C

【解析】根据双曲线定义可得，又， 所以或，

又，解得，即，

又，所以.故答案为：C

3．（2022红塔月考）已知 是双曲线 的左焦点，点 ， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为（　　）

A．9 B．5 C．8 D．4

【答案】A

【解析】设右焦点为F'，则F'(4，0)， 依题意，有PF|=|PF'|+4，

 |PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9(当P在线段AF'上时，取等号)

 故|PF|+|PA|的最小值为9.故答案为：A

 4（2022广东）已知，分别是双曲线的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且.则的面积为（　　）

A．8 B． C．16 D．

【答案】C

【解析】因为P是双曲线左支上的点，所以，

两边平方得，

所以.

在中，由余弦定理得，

所以，所以。故答案为：C

考点二 双曲线的离心率及渐近线

【例2-1】（2022龙岗期中）双曲线 的渐近线方程是（　　） 

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】 表示焦点在y轴上的双曲线，且a2=3，b2=1，则

则渐近线为，即 .故答案为为：A

【例2-2】（2022长春月考）在   中， ， .若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双曲线的离心率为 (　　) 

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为a，c，因为   ，所以AC>BC，

 因为以A，B为焦点的双曲线经过点C所以AC-BC=2a，AB=BC=2c，

 在三角形ABC中由余弦定理得，即，解得AC2=12c2，所以，所以，所以.

 故选：C

【例2-3】（2022·重庆市模拟）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点在轴上，为等边三角形，且线段的中点恰在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【解析】如图所示，设 ， ，设线段 的中点为 ，则 在双曲线C的右支上，

又 为等边三角形，所以 ，所以 ，所以

连接 ，则在等边三角形 中 ，且 ，

所以 ，所以 ，即双曲线 的离心率为 .

故答案为：C.

【一隅三反】

1．（2022·湖南模拟）已知O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，O，则双曲线C的渐近线方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知，点的坐标为，故，

因为以F为圆心的圆经过点A，O，所以，则△为等边三角形，

所以，则，所以双曲线C的渐近线方程为.故答案为：A

2．（2022高三上·广西开学考）已知 ， 是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且 ；则C的离心率为（　　） 

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】 。 故答案为：B

3．（202怀仁期末）设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使 （为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，

设，则，

因为，所以可得，

因为，所以，则，

所以，

故答案为：D

4（2022德州月考）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，曲线 上一点 到 轴的距离为 ，且 ，则双曲线 的离心率为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】作 轴于 ，如图，依题意 ， ，则 ，

令 ，由 得： ，

由双曲线定义知 ，而 ，

在 中，由余弦定理得： ，

解得： ，即 ，又因为离心率 ，于是有 ，

所以双曲线 的离心率为 。

故答案为：B

5．（2022辽宁期中）（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，，是双曲线上一点，若，则该双曲线的离心率可以是（　　）

A． B． C． D．2

【答案】A,B

【解析】是双曲线右支上一点，则有，又，

则有，即，则双曲线的离心率取值范围为

AB符合题意；CD不符合题意.故答案为：AB

考点三 双曲线的标准方程

【例3-1】（2022·海宁模拟）已知双曲线C的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（　　）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【解析】渐近线方程为的双曲线为，即，故，故， 故答案为：C．

【例3-2】（2022·河西模拟）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线上的一点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为的焦点为，故双曲线的焦点在轴上， 故设双曲线方程为，则；由双曲线定义知：，解得；故可得；则双曲线方程为：.

故答案为：C.

【一隅三反】

1．（2022·河南模拟）已知双曲线的一条渐近线过点，是的左焦点，且，则双曲线的方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，点在一条渐近线上，如图示：

所以，则，且两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°，则 ，

又，（为坐标原点），所以为等边三角形，从而，

由，，解得，，所以双曲线的方程为，

故答案为：A.

2（2021高三上·宁波期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线， 且它们的离心率不相同， 则下列方程中有可能为双曲线的标准方程的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】双曲线中，，则渐近线方程为，离心率为。

对于A，，则离心率，故A错误；

对于B，，则渐近线方程为，故B错误；

对于C，，则离心率，故C错误；

对于D，，则渐近线方程为，离心率，故D正确。

故选：D

3（2022南山期末）已知双曲线C过点 且渐近线为 ，则双曲线C的方程是（　　） 

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可设双曲线的方程为，即3x2-y2=λ

将点 代入上式，得则双曲线的方程为3x2-y2=1 故答案为：A

4．（2022商丘）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】方程可化为，它表示双曲线，则，解得.

故答案为：A．

5．（2021肇东月考）以 ， 为焦点且过点 的双曲线方程是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意得，

则， 则 双曲线方程是 ， 故答案为：A

考点四 直线与双曲线的位置关系

【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（       ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】D

【解析】当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；

当斜率存在时，设直线为，联立，得①.

当，即时，①式只有一个解；

当时，则，解得；

综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.

故选：D.

【例4-2】（2022·全国·专题练习）若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可得直线斜率存在，设直线的方程为，

设交点，联立可得，

由题意可得解得：，故选：D．

【一隅三反】

1．（2022·安徽）直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】联立直线和双曲线：，消去得，

当，即时，此时方程为，解得，此时直线与双曲线有且只有一个交点；

当，此时，

解得或，所以时直线与双曲线无交点；

故选：A

2．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线的一个顶点为A，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为(       )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】斜率为，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，

则该直线与双曲线的渐近线平行，且过双曲线右顶点(a，0)，

故=，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距为2c=．故选：D．

考点五 弦长与中点弦

【例5-1】（2021·江西省）已知双曲线x2－y2＝a2（a＞0）与直线y＝x交于A、B两点，且｜AB｜＝2，则a ＝_____

【答案】3

【解析】由题设，不妨设，则，且，

所以，可得.

故答案为：3

【例5-2】（2022·河南·模拟预测（文））已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，，，

则，两式作差，并化简得，

，

所以，

因为为线段的中点，即

所以，

即，由，得.

故选：B.

【一隅三反】

1．（2021·全国·高二课时练习）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：

设，则，所以，解得，

则，.

弦长|MN|.

故选：D.

2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【解析】设、，则，，

两式相减可得，

为线段的中点，，，

，又，，

，即，，

故选：D.

3．（2022·山东烟台·三模）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【解析】妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令

由，整理得

则，

则，由，可得

则有，即，则双曲线的离心率

故选：D

4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(       )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．

∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．

设双曲线C的方程为，则．

设，，则，，．

由，得，

即，∴，易得，，，

∴双曲线C的离心率．

故选：B．

5．（2022·四川省）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|．

【答案】(1)y2＝1(2)2

【解析】(1)由已知得a，c＝2，再由c2＝a2+b2，得b2＝1，所以双曲线C的方程为y2＝1．

(2)由直线与双曲线联立得2x2+12x+15＝0，解得x＝﹣3±,

,∴|AB|2．