新高考数学一轮复习基础巩固10.5 抛物线（精讲）（含解析）

10.5 抛物线（精讲）（基础版）

考点一 抛物线的定义及应用

【例1-1】（2022·北京·高三开学考试）已知点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，则____________．

【答案】2

【解析】抛物线的焦点为，准线为，

因为点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，

所以，得，故答案为：2

【例1-2】（2022·广西贵港 ）已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由抛物线的定义可知，，所以．故选：C.

【一隅三反】

1．（2022·河北）若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则______．

【答案】5

【解析】由题意，知抛物线的准线方程为，点A到准线的距离为，

因为点在抛物线上，故的长度等于点A到准线的距离，

所以,故答案为：5

2．（2022·吉林）抛物线上任意一点P到点的距离最小值为___________.

【答案】

【解析】设，则，

因为，所以，当时取得最小值4，

故答案为：4

3．（2022·河南）已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．

【答案】      

【解析】易知点在抛物线内部，设抛物线的准线为，则的方程为，过点作于点，则，当，即，，三点共线时，最小，最小值为，此时点的纵坐标为2，代入，得，所以此时点的坐标为．

故答案为：；．

考点二 抛物线的标准方程

【例2-1】（2022·湖南）顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为______．

【答案】

【解析】由抛物线的焦点在x轴上，设其方程为，

因为通径长为6，所以，所以，所以所求抛物线方程为．故答案为：．

【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．

【答案】

【解析】

如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，

在直角三角形中，因为，，所以，从而得，

设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.

故答案为：.

【一隅三反】

1．（2022·西藏）已知抛物线过点，则抛物线的标准方程为______．

【答案】或

【解析】∵抛物线过点，且点在第四象限，∴抛物线的开口向右或向下．

若开口向右，则设方程为，

∵过点，∴，∴抛物线的标准方程为；

若开口向下，则设方程为，

∵过点，∴，

∴抛物线的标准方程为．

综上，抛物线的标准方程为或．

2．（2022北京）已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为______．

【答案】或

【解析】由于抛物线的准线方程是，而点到准线的距离为6，所以点的横坐标是，

于是，代入，得，解得或，

故该抛物线的标准方程为或．

故答案为：或．

3．（2022·全国·课时练习）下列条件中，一定能得到抛物线的标准方程为的是______（填序号）（写出一个正确答案即可）．

①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为3；④焦点到准线的距离为4；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为．

【答案】①③（答案不唯一）

【解析】若要得到抛物线的方程为，则焦点一定在x轴上，故①必选，②不选．

若选①③，由抛物线的定义可知，得，则抛物线的方程为．

若选①⑤，设焦点，，，，由，得，解得，故抛物线的方程为．

由④可知，故还可选择①④．

故答案可为①③或①⑤或①④．

故答案为：①③（答案不唯一）

考点三 直线与抛物线的位置关系

【例3】（2022·西安）已知抛物线的方程为，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，

代入抛物线方程，消去并整理，得．

当时（当直线斜率存在时，需要讨论斜率是否为），显然满足题意；

当时，，

解得或．

综上，，

故选：A．

【一隅三反】

1．（2022·黄石市）（多选）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于，两点，若，则直线l的斜率为（    ）

A． B．2 C． D．-2

【答案】BD

【解析】设直线的方程为，联立得，

所以,，，,

由题得.

因为，

所以.

满足.

故选：BD

2．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（       ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】A

【解析】由题可得，因为，所以，，

所以为坐标原点)的面积是.故选：A.

3．（2022·广东高三开学考试）过点的两条直线与抛物线C：分别相切于A，B两点，则三角形PAB的面积为（    ）

A． B．3 C．27 D．

【答案】A

【解析】抛物线，即，故，

设两点的坐标为，则有，整理得，

同理

故直线的方程为，

由得，

故，

因为点到直线的距离为，

故三角形的面积为

故选：.

考点四 弦长

【例4-1】（2022·云南玉溪·高二期末）直线与抛物线交于，两点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】抛物线的焦点为在直线上，故是抛物线的焦点弦，则

由得：，所以，，所以，

故选：D.

【例4-2】（2022·广东·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（       ）

A．4 B．5 C．6 D．8

【答案】C

【解析】设，由A，B中点的横坐标为2，可得，

所以．故选：C．

【一隅三反】

1．（2021·江苏扬州·高三月考）直线过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点，则___________.

【答案】8

【解析】因为抛物线的焦点坐标为，

又直线过抛物线的焦点F，

所以，抛物线的方程为，

由，得，所以，

所以.

故答案为：8.

2．（2021·全国高三（理））已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，

由抛物线定义知，，又F为PB.中点，

则，，

则，，，

则

故选：D

3．（2022·云南）已知抛物线上一点到焦点的距离为4.

(1)求实数的值；

(2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【解析】（1）

由题意可知：，

解得：.

（2）

由（1）知抛物线，则焦点坐标为，

由题意知直线斜率不为0，设直线为：，

联立直线与抛物线：，消得：，

则

则

所以，

解得，

所以直线为：或