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    新高考数学一轮复习基础巩固10.6 三定问题及最值(精讲)(含解析)

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    这是一份新高考数学一轮复习基础巩固10.6 三定问题及最值(精讲)(含解析),共15页。试卷主要包含了定点,定值,最值等内容,欢迎下载使用。

    10.6 三定问题及最值(精讲)(基础版)

    考点一 定点

    【例1】2022·河南模拟)已知椭圆的离心率为,左、右顶点分别为,上下顶点分别为,四边形的面积为

    1)求椭圆的标准方程;

    2)不过点的直线l交椭圆于PQ两点,直线和直线的斜率之和为2,证明:直线l恒过定点.

    【答案】12

    【解析】1)解:由题意可得,即,又

    ,解得

    则椭圆的方程为

    2)证明:由(1)可得

    当直线的斜率存在时,设

    ,所以

    代入整理得

    消去整理得

    所以

    所以

    整理得

    时,直线,不符合题意,

    所以,即

    故直线的方程为,符合题意,

    故恒过点

    当直线的斜率不存在时,设,由,解得

    即直线的方程为,必过定点

    综上可得,直线恒过定点

    【一隅三反】

    1.(2022·浙江模拟)如图,已知点A是抛物线在第一象限上的点,F为抛物线的焦点,且垂直于x轴.过A作圆的两条切线,与抛物线在第四象限分别交于MN两点,且直线的斜率为4

    1)求抛物线的方程及A点坐标;

    2)问:直线是否经过定点?若是,求出该定点坐标,若不是,请说明理由.

    【答案】见解析

    【解析】1)解:因为,由,所以抛物线方程为,且

    2)解:设的倾斜角依次为,由可知

    再设的斜率分别为,下证

    方法一:由可知且满足

    再由

    方法二:直线的方程为,其中分别对应

    于是,即

    可知

    因为直线的方程为,其中分别对应

    再设直线的方程为

    联立求得其交点均满足

    代入抛物线C的方程,于是有

    ,整理得

    进而得到

    代入前式,有,化简得

    再代入的方程得

    所以恒过定点

    2.(2022·西安模拟)已知抛物线上的点到其准线的距离为5.不过原点的动直线交抛物线CAB两点,M是线段AB的中点,点M在准线l上的射影为N

    1)求抛物线C的方程;

    2)当时,求证:直线AB过定点.

    【答案】12

    【解析】1)解:由抛物线C的方程可得其准线方程

    依抛物线的性质得,解得

    抛物线C的方程为

    2)证明:当直线AB的斜率为0时,显然不符合题意;

    当直线AB的斜率不为0时,设直线,由化简得

    ,所以,所以

    所以

    ,即,解得(舍去),所以直线AB过定点.

    3.(2022·朝阳模拟)已知椭圆的一个顶点为,离心率为

    1)求椭圆的方程;

    2)过点作斜率为的直线交椭圆于另一点,过点作斜率为的直线交椭圆于另一点.若,求证:直线经过定点.

    【答案】12

    【解析】1)解:由已知可得,解得,因此,椭圆的方程为

    2)证明:当直线的斜率存在时,设直线的方程为

    若直线过点,则必有一点与点重合,不合乎题意,所以,

    设点

    联立可得

    ,可得

    由韦达定理可得

    ,同理可得

    可得

    因为,整理可得,解得

    所以,直线的方程为,所以,直线过定点

    若直线的斜率不存在,则

    ,不合乎题意.

    综上所述,直线过定点

     

    考点二 定值

    【例2】2022高三上·大理月考)已知椭圆过点,离心率为,直线与椭圆E交于AB两点,过点B,垂足为C点,直线AC与椭圆E的另一个交点为D.

    1)求椭圆E的方程;

    2)试问是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.

    【答案】12

    【解析】1)解:由已知得 ,解得 ,所以

    2)解:由已知,不妨设 ,则  

    所以 ,所以

    代入椭圆 的方程得:

    ,则 ,即

    所以 ,即

    所以 ,即

    ,也即 为定值 .

     

     

    【一隅三反】

    1.(2022高三上·大同开学考)已知椭圆的右焦点为F,离心率,点F到左顶点的距离为3.

    1)求椭圆C的方程;

    2)已知四边形为椭圆的内接四边形,若边过坐标原点,对角线交点为右焦点F,设的斜率分别为,试分析是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.

    【答案】12

    【解析】1)解:由题意知

    所以椭圆方程为.

    2)解:设,则

    可得:代入椭圆方程

    整理得

    代入上式得

    是方程的一个解

    C的横坐标

    又因为在直线

    ,同理:

    ,即

    为定值,定值.

    2.(2022·雅安模拟)已知椭圆的右焦点为F,长轴长为4,离心率为.过点的直线与椭圆C交于AB两点.

    1)求椭圆C的标准方程;

    2)设直线的斜率分别为,求证:为定值.

    【答案】12-1

    【解析】1)由已知有,解得,故椭圆C的标准方程为:

    2)解:由已知直线l斜率不为零,故设其方程为

    消去x得:(,令

    ,则有,易知

    所以为定值-1

    3.(2022·河南模拟)已知椭圆的离心率为为椭圆上一点.

    1)求椭圆的标准方程.

    2)若过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点,记直线的斜率分别为,试问是否是定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.

    【答案】12-1

    【解析】1)解:设椭圆的焦距为

    ,解得

    故椭圆的方程为.

    2)解:由题意可知直线的斜率存在,设直线.

    联立整理得

    .

    因为,所以

    为定值-1.

    考点三 最值

    【例3】2022·陕西模拟)已知抛物线上有一动点,过点作抛物线的切线轴于点

    1)判断线段的中垂线是否过定点?若过,求出定点坐标;若不过,请说明理由;

    2)过点的垂线交抛物线于另一点,求的面积的最小值.

    【答案】见解析

    【解析】1)解:设直线的方程为,和抛物线方程联立得:

    ,则的解为

    ,得

    中,令,所以

    中点为,所以线段的中垂线方程为

    所以线段的中垂线过定点.

    2)解:由(1)可知,直线的方程为

    将其与抛物线方程联立得:

    .

    所以的面积为,所以

    时,单调递减,当时,单调递增,

    所以时,.

    【一隅三反】

    1.(2022·焦作模拟)已知抛物线的焦点为,直线与抛物线交于点,且

    1)求抛物线的方程;

    2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦AB,设弦AB的中点分别为PQ,求的最小值.

    【答案】见解析

    【解析】1)解:依题意,设

    由抛物线的定义得,解得:

    因为在抛物线上,

    所以,所以,解得:

    故抛物线的方程为

    2)解:由题意可知,直线AB的斜率存在,且不为0

    设直线AB的方程为

    联立,整理得:

    ,从而

    因为P是弦AB的中点,所以

    同理可得

    当且仅当,即时等号成立,

    的最小值为8

    2.(2022·嵊州模拟)已知直线和直线与抛物线分别相交于AB两点(异于坐标原点O),与直线分别相交于PQ两点,且

    1)求线段的中点M的轨迹方程;

    2)求面积的最小值.

    【答案】见解析

    【解析】1)解:设,则

    所以,解得

    设直线的方程为,由

    ,则

    于是,解得

    设线段的中点,则

    所以,故线段的中点M的轨迹方程

    2)解:直线与直线的交点横坐标为,同理

    所以

    由(1)知,

    所以,所以.

    又直线x轴的交点坐标为

    所以面积为

    ,则

    所以

    所以,即时,面积有最小值.


     

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