新高考数学一轮复习基础巩固10.6 三定问题及最值(精讲)(含解析)
展开10.6 三定问题及最值(精讲)(基础版)
考点一 定点
【例1】(2022·河南模拟)已知椭圆的离心率为,左、右顶点分别为,,上下顶点分别为,,四边形的面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)不过点的直线l交椭圆于P,Q两点,直线和直线的斜率之和为2,证明:直线l恒过定点.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解:由题意可得,,即,又
,解得,,,
则椭圆的方程为;
(2)证明:由(1)可得,
①当直线的斜率存在时,设,,,
由,所以,
又,代入整理得,
由消去整理得,
所以,,
所以,
整理得,
当时,直线过,不符合题意,
所以,即,
故直线的方程为,符合题意,
故恒过点;
②当直线的斜率不存在时,设,,由,解得,
即直线的方程为,必过定点,
综上可得,直线恒过定点;
【一隅三反】
1.(2022·浙江模拟)如图,已知点A是抛物线在第一象限上的点,F为抛物线的焦点,且垂直于x轴.过A作圆的两条切线,与抛物线在第四象限分别交于M,N两点,且直线的斜率为4.
(1)求抛物线的方程及A点坐标;
(2)问:直线是否经过定点?若是,求出该定点坐标,若不是,请说明理由.
【答案】见解析
【解析】(1)解:因为,由,所以抛物线方程为,且
(2)解:设的倾斜角依次为,由可知,
再设的斜率分别为,下证.
方法一:由可知且满足,
再由.
方法二:直线的方程为,其中分别对应,
于是,即,
,
即,
由可知.
因为直线的方程为,其中分别对应,
再设直线的方程为,
联立求得其交点均满足,
代入抛物线C的方程,于是有,
将,整理得,
进而得到,.
将代入前式,有,化简得,
再代入的方程得,
所以恒过定点.
2.(2022·西安模拟)已知抛物线上的点到其准线的距离为5.不过原点的动直线交抛物线C于A,B两点,M是线段AB的中点,点M在准线l上的射影为N.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当时,求证:直线AB过定点.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解:由抛物线C的方程可得其准线方程,
依抛物线的性质得,解得.
∴抛物线C的方程为.
(2)证明:当直线AB的斜率为0时,显然不符合题意;
当直线AB的斜率不为0时,设直线,、、,由化简得,,,,
,所以,所以,,
所以
若,即,解得或(舍去),所以直线AB过定点.
3.(2022·朝阳模拟)已知椭圆的一个顶点为,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于另一点,过点作斜率为的直线交椭圆于另一点.若,求证:直线经过定点.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解:由已知可得,解得,因此,椭圆的方程为
(2)证明:当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
若直线过点,则、必有一点与点重合,不合乎题意,所以,,
设点、,
联立可得,
,可得,
由韦达定理可得,,
,同理可得,
由可得,
即,
因为,整理可得,解得,
所以,直线的方程为,所以,直线过定点;
若直线的斜率不存在,则,,
则,不合乎题意.
综上所述,直线过定点
考点二 定值
【例2】(2022高三上·大理月考)已知椭圆过点,离心率为,直线与椭圆E交于A,B两点,过点B作,垂足为C点,直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程;
(2)试问是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解:由已知得 ,解得 ,所以
(2)解:由已知,不妨设 ,则 , ,
所以 , ,所以 ,
代入椭圆 的方程得: ,
设 ,则 ,即 ,
所以 ,即 ,
所以 ,即 ,
即 ,也即 为定值 .
【一隅三反】
1.(2022高三上·大同开学考)已知椭圆的右焦点为F,离心率,点F到左顶点的距离为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知四边形为椭圆的内接四边形,若边过坐标原点,对角线交点为右焦点F,设的斜率分别为,试分析是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解:由题意知
,,
所以椭圆方程为.
(2)解:设,则
可得:代入椭圆方程
整理得
由代入上式得
,是方程的一个解
∴点C的横坐标,
又因为在直线上
∴,同理:∵,
∴,即
∴为定值,定值.
2.(2022·雅安模拟)已知椭圆的右焦点为F,长轴长为4,离心率为.过点的直线与椭圆C交于A,B两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线的斜率分别为,求证:为定值.
【答案】(1)(2)-1
【解析】(1)由已知有,解得,故椭圆C的标准方程为:;
(2)解:由已知直线l斜率不为零,故设其方程为,
由消去x得:(,令得.
设,则有,易知,
∴
所以为定值-1.
3.(2022·河南模拟)已知椭圆的离心率为为椭圆上一点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点,记直线的斜率分别为,试问是否是定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)(2)-1
【解析】(1)解:设椭圆的焦距为,
则,解得
故椭圆的方程为.
(2)解:由题意可知直线的斜率存在,设直线.
联立整理得,
则.
因为,所以,
则
故为定值-1.
考点三 最值
【例3】(2022·陕西模拟)已知抛物线上有一动点,过点作抛物线的切线交轴于点.
(1)判断线段的中垂线是否过定点?若过,求出定点坐标;若不过,请说明理由;
(2)过点作的垂线交抛物线于另一点,求的面积的最小值.
【答案】见解析
【解析】(1)解:设直线的方程为,和抛物线方程联立得:,
由,得,则的解为,
由得,,得,
在中,令得,所以,
中点为,所以线段的中垂线方程为,
所以线段的中垂线过定点.
(2)解:由(1)可知,直线的方程为
将其与抛物线方程联立得:
,,
,
.
所以的面积为,所以,
当时,,单调递减,当时,,单调递增,
所以时,.
【一隅三反】
1.(2022·焦作模拟)已知抛物线的焦点为,直线与抛物线交于点,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦AB,,设弦AB,的中点分别为P,Q,求的最小值.
【答案】见解析
【解析】(1)解:依题意,设.
由抛物线的定义得,解得:,
因为在抛物线上,
所以,所以,解得:.
故抛物线的方程为.
(2)解:由题意可知,直线AB的斜率存在,且不为0.
设直线AB的方程为,,.
联立,整理得:,
则,从而.
因为P是弦AB的中点,所以,
同理可得.
则
,
当且仅当且,即时等号成立,
故的最小值为8.
2.(2022·嵊州模拟)已知直线和直线与抛物线分别相交于A,B两点(异于坐标原点O),与直线分别相交于P,Q两点,且.
(1)求线段的中点M的轨迹方程;
(2)求面积的最小值.
【答案】见解析
【解析】(1)解:设,则,
所以,解得,
设直线的方程为,由
得,则,
于是,解得,
设线段的中点,则,
所以,故线段的中点M的轨迹方程
(2)解:直线与直线的交点横坐标为,同理,
所以,
由(1)知,,
所以,所以.
又直线与x轴的交点坐标为,
所以面积为,
设,则,
所以,
所以,即时,面积有最小值.
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