新高考数学一轮复习基础巩固10.6 三定问题及最值（精练）（含解析）

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10.6 三定问题及最值（精练）（基础版）1．（2022·烟台模拟）已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.【答案】（1）（2）【解析】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以.又当位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即.又，所以，.所以椭圆的标准方程为（2）解：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，设，，将直线代入椭圆的方程得：，由韦达定理得：，，直线的方程为，直线的方程为，所以，，所以以为直径的圆为，整理得：.①因为，令①中的，可得，所以，以为直径的圆过定点.2．（2022·莆田三模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程．（2）若直线l与椭圆C相切于点D，且与直线交于点E．试问在x轴上是否存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上？若存在，求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由题意得，所以椭圆C的标准方程为.（2）解：由题意，可知椭圆的切线方程的斜率一定存在，设切线方程的切点为，切线方程为，下面证明：联立，消得，又，则，所以，所以，及直线与椭圆只有一个公共点，直线与椭圆相切，所以椭圆上切点为的切线方程为.切线方程与联立得，则线段为直径的圆的方程为，设，则，化简整理得，由题意可知，此式恒成立，故当满足题意.此时.故存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上.3（2022·河南模拟）已知椭圆的离心率为，C的四个顶点围成的四边形面积为．（1）求C的方程；（2）已知点，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且，证明：l过定点．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：由离心率为，得，①C的四个顶点围成的四边形面积为．②由①②可得，，C的方程为．（2）解：由，得．因为Q不在l上，所以，都不是零向量，故，由题意可知l的斜率一定存在．设l的方程为，，．联立方程组得，消去y并整理得，由，得．所以，．因为，即，整理得，因为，所以．当时，满足，此时直线l的方程为，所以直线l过定点．1．（2022·安徽模拟）点为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）动点，为抛物线在第一象限内两点，且直线与直线的倾斜角互补，求证：是定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）解：设，，直线；由得：，所以；由得：，即.解得，所以抛物线的方程为.（2）证明：设点关于轴的对称点为，则；因为直线与直线的倾斜角互补，所以，，三点共线，由题设得；不妨设即为点，即为点；即，，则，则是定值.2．（2022·安徽三模）已知椭圆C：的离心率为，其右焦点为F，左顶点为A，点P是椭圆C上异于点A的一个动点，且当轴时，△APF的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线AP交直线l：于点Q，直线l与x轴交于点T，证明：．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）解：设，由题意知，所以，． 将代入椭圆方程，得，当轴时，，解得，所以，，椭圆C的标准方程为．（2）证明：易得，． 设点，则，所以直线AP的方程是，当时，所以点Q的坐标为．当轴时，可得，，，故．当PF与x轴不垂直时，，，所以．因为，所以，所以，又因为，，所以，即．3．（2022·延庆模拟）已知椭圆的长轴长为，离心率为，其中左顶点为，右顶点为，为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点，. 求证：为定值.【答案】见解析【解析】（1）解：由已知得．所以．又因为椭圆的离心率为，所以．所以．所以，所以椭圆的方程为（2）证明：由得，设，．因为直线与椭圆交于不同的两点，，所以．解得，所以，，直线的方程为.令得．直线的方程为.令得.又因为，所以4．（2022·临沂模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且．（1）求的方程；（2）若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值．【答案】见解析【解析】（1）解：易知点、、，，，所以，，解得，，则，所以，双曲线的方程为.（2）证明：分以下两种情况讨论：①当直线轴时，直线的方程为，此时点、的横坐标之积为；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意可知直线不与双曲线的渐近线平行或重合，即，设点、，联立可得，则，可得，则，不妨点、分别为直线与直线、的交点，联立可得，联立可得，此时，.综上所述，点与点的横坐标之积为定值.5．（2022·青州模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．（1）求双曲线的方程；（2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．【答案】见解析【解析】（1）解：不妨设 ， 因为，从而 故由 ， 又因为， 所以 ，又因为 在圆 上， 所以 所以双曲线的标准方程为：（2）解：设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为由于动直线与双曲线恰有1个公共点， 且与双曲线的两条渐近线分别交于点，当动直线的斜率不存在时， ，，，当动直线的斜率存在时， 且斜率， 不妨设直线 ， 故由 依题意，且， 化简得 ，故由 ， 同理可求，，所以又因为原点到直线的距离，所以，又由所以，故的面积是为定值，定值为6．（2022·平江模拟）在平面直角坐标系中，椭圆 的离心率 ，直线   与 轴相交于点 ，与椭圆相交于点 ；  （1）求椭圆 的方程，  （2）在 轴上是否存在点 ，使得 为定值？若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．  【答案】见解析【解析】（1）解：由题意得： ， ，所以椭圆的方程为 （2）解：设 （ⅰ）当直线 与 轴不重合时，设 的方程为 代入  得： ，则 ，当 ，即 时，无论 取何值， 的值恒为2，得点 ，（ⅱ） 当直线 与 轴重合时，有 或 ，均有 =2由i和ii得，在 轴上是存在两点 ，使得 1．（2022·唐山二模）已知椭圆的右焦点为F，椭圆．（1）求的离心率；（2）如图：直线交椭圆于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．①求证：；②若，求面积的最大值．【答案】见解析【解析】（1）解：椭圆的标准方程为：，则椭圆的离心率为（2）证明：对于①，设，，，，直线与联立整理得 则 则的中点坐标同理可知的中点坐标.所以与中点重合，故.对于②，由①知，直线被椭圆截得弦长为把代入得，把代入得，到的距离为，则面积为：当时，的面积最大值是.2．（2022·枣庄模拟）已知双曲线的实轴长为2．点是抛物线的准线与C的一个交点．（1）求双曲线C和抛物线E的方程；（2）过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求面积的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）解：由题，，又点在双曲线上，故，解得，故双曲线方程为；又点过抛物线的准线，故，即，故（2）解：显然直线斜率存在，故设直线方程为，，联立有，故，又，，故切线 ，结合整理得，同理切线，联立解得，即，故.又，且，即，故，又在双曲线上故，故，故面积的取值范围为3．（2022·济南模拟）已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）A、B为椭圆C上两点，直线PA与PB的倾斜角互补，求△PAB面积的最大值．【答案】见解析【解析】（1）解：由题意得：，解得：，，∴．（2）解：由题意可知直线AB的斜率一定存在，设直线AB的方程为，，，将代入得：，∴，，则===，===，∵直线PA和直线PB的倾斜角互补，∴，化简可得：，即，即，∵直线AB不过点P，∴，∴，，则，又点P到直线AB的距离为，∵，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴△PAB面积最大值为．