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2021年湖南省怀化市中考数学真题试卷 解析版
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这是一份2021年湖南省怀化市中考数学真题试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．数轴上表示数5的点和原点的距离是（ ）
A． B．5 C．﹣5 D．﹣
2．到2020年底，我国完成了“脱贫攻坚”任务，有约9980万的贫困人口实现了脱贫．将数据9980万用科学记数法表示是（ ）
A．9.98×103 B．9.98×105 C．9.98×106 D．9.98×107
3．以下说法错误的是（ ）
A．多边形的内角大于任何一个外角
B．任意多边形的外角和是360°
C．正六边形是中心对称图形
D．圆内接四边形的对角互补
4．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
5．下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．定义a⊗b＝2a+，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
7．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心
C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定经过△ABC的外心
8．不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为（ ）
A．ME＝ B．ME＝ C．ME＝1 D．ME＝
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．比较大小： （填写“＞”或“＜”或“＝”）．
12．函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则A2的坐标是 ．
14．为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七名党员5天的学史的时间（单位：h）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是 ，众数是 ．
15．如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
16．观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
19．（10分）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．
其中sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈
20．（10分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．
求证：（1）△ADE≌△CBF；
（2）ED∥BF．
21．（12分）某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表．
等级
频数（人数）
频率
优秀
60
0.6
良好
a
0.25
合格
10
b
基本合格
5
0.05
合计
c
1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）该学校共有1600名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？
（4）在这次测试中，九年级（3）班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率．
22．（12分）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．
23．（12分）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：
进货批次
A型水杯（个）
B型水杯（个）
总费用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000
（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？
（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？
24．（14分）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
2021年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．数轴上表示数5的点和原点的距离是（ ）
A． B．5 C．﹣5 D．﹣
【分析】根据两点间的距离公式即可求解．
【解答】解：数轴上表示数5的点和原点的距离是5；
故选：B．
2．到2020年底，我国完成了“脱贫攻坚”任务，有约9980万的贫困人口实现了脱贫．将数据9980万用科学记数法表示是（ ）
A．9.98×103 B．9.98×105 C．9.98×106 D．9.98×107
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：9980万＝99800000＝9.98×107．
故选：D．
3．以下说法错误的是（ ）
A．多边形的内角大于任何一个外角
B．任意多边形的外角和是360°
C．正六边形是中心对称图形
D．圆内接四边形的对角互补
【分析】直接利用中心对称图形的定义以及圆内接四边形的性质、多边形的外角和的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A．多边形的内角不一定大于任何一个外角，故此选项错误，符合题意；
B．任意多边形的外角和是360°,正确，不合题意；
C．正六边形是中心对称图形,正确，不合题意；
D．圆内接四边形的对角互补,正确，不合题意；
故选：A．
4．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝b2﹣4ac，即可求出△＝﹣23＜0，进而可得出该方程没有实数根（若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证B，C两个选项）．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．
故选：A．
5．下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】圆锥侧面是曲面，所以侧面展开后是扇形．
【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，
故选：B．
6．定义a⊗b＝2a+，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．
【解答】解：根据题中的新定义得：
3⊗x＝2×3+，
4⊗2＝2×4+，
∵3⊗x＝4⊗2，
∴2×3+＝2×4+，
解得：x＝，
经检验，x＝是分式方程的根．
故选：B．
7．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心
C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定经过△ABC的外心
【分析】根据题意判断AD是∠BAC的角平分线，可知C正确，根据重心和外心定义可知B、D选项错误，根据三角形任意两边之和大于第三边可知A错误．
【解答】解：由题可知AD是∠BAC的角平分线，
A、在△ABD中，AD+BD＞AB，故选项A错误，不符合题意；
B、△ABC的重心是三条中线的交点，故选项B错误，不符合题意；
C、∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，故选项C正确，符合题意；
D、△ABC的外心是三边中垂线的交点，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
8．不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+1≥x﹣1，得：x≥﹣2，
解不等式﹣x＞﹣1，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
故选：C．
9．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【解答】解：①“水中捞月”是不可能事件，符合题意；
②“守株待兔”是随机事件，不合题意；
③“百步穿杨”，是随机事件，不合题意；
④“瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意；
故选：A．
10．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为（ ）
A．ME＝ B．ME＝ C．ME＝1 D．ME＝
【分析】过N作y轴和x轴的垂线NG，NH，证明四边形NGOH是矩形，设N（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得ab＝，进而可计算出CO长，根据三角函数可得∠CDO＝30°，再根据菱形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝2∠CDO＝60°，∠ACD＝60°，进而即可证得△ABC是等边三角形，得出AE＝OB＝2,由∠BAE＝30°＝∠ABO,得出AM＝BM,则EM＝OM,从而得到3EM＝OB＝2,进而可得EM长．
【解答】解：过N作y轴和x轴的垂线NG，NH，
设N（b，a），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点N，
∴ab＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO＝BD＝2，
∵NH⊥x轴，NG⊥y轴，
∴四边形NGOH是矩形，
∴NG∥x轴，NH∥y轴，
∵N为CD的中点，
∴DO•CO＝2a•2b＝4ab＝，
∴CO＝，
∴tan∠CDO＝＝．
∴∠CDO＝30°，
∴∠DCO＝60°,
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝∠ABC＝2∠CDO＝60°，∠ACB＝∠DCO＝60°,
∴△ABC是等边三角形，
∵AE⊥BC，BO⊥AC,
∴AE＝BO＝2,∠BAE＝30°＝∠ABO,
∴AM＝BM,
∴OM＝EM,
∵∠MBE＝30°,
∴BM＝2EM＝2OM,
∴3EM＝OB＝2,
∴ME＝，
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．比较大小： ＞ （填写“＞”或“＜”或“＝”）．
【分析】先估算出12，再除以2即可．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴＜1，
即＞，
故答案为：＞．
12．函数y＝的自变量x的取值范围是 x≥2且x≠3 ．
【分析】让二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0列不等式组求解集即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：x≥2且x≠3，
故答案为：x≥2且x≠3．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则A2的坐标是 （2,2） ．
【分析】根据题意，画出图形，可得结论．
【解答】解：如图，观察图象可知A2(2,2)．
故答案为：（2,2）．
14．为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七名党员5天的学史的时间（单位：h）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是 4h ，众数是 3h ．
【分析】将这组数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为3，3，3，4，5，5，6，
所以这组数据的中位数为4h，众数为3h，
故答案为：4h，3h．
15．如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 π﹣ ．（结果保留π）
【分析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣．
故答案为：π﹣．
16．观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是 m2﹣m ．
【分析】归纳出数字的变化规律，给已知数列求和，并用含m的代数式表示出来即可．
【解答】解：由题意得：
2100+2101+2102+…+2199，
＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299），
＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），
＝（2100）2﹣2100，
＝m2﹣m，
故答案为：m2﹣m．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．（8分）计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2+9+4×+1
＝1﹣2+9+2+1
＝11．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简,再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝+•
＝+
＝+
＝
＝
＝,
当x＝+2时，
原式＝＝＝．
19．（10分）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．
其中sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈
【分析】过C作CF⊥AE于F，则FC＝AD＝20米，AF＝DC，由锐角三角函数定义分别求出AF、BD的长，即可解决问题．
【解答】解：过C作CF⊥AE于F，如图所示：
则FC＝AD＝20米，AF＝DC，
在Rt△ACF中，∠EAC＝22°，
∵tan∠EAC＝＝tan22°≈，
∴DC＝AF≈FC＝50（米），
在Rt△ABD中，∠ABD＝∠EAB＝67°，
∵tan∠ABD＝＝tan22°≈，
∴BD≈AD＝（米），
∴BC＝DC﹣BD＝50﹣≈41.7（米），
即大桥BC的长约为41.7米．
20．（10分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．
求证：（1）△ADE≌△CBF；
（2）ED∥BF．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到DA＝BC，DA∥BC，然后即可得到∠EAD＝∠FCB，再根据SAS即可证明△ADE≌△CBF；
（2）根据（1）中的结论和全等三角形的性质，可以得到∠E＝∠F，从而可以得到ED∥BF．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DA＝BC，DA∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，
∴∠EAD＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）由（1）知，△ADE≌△CBF，
∴∠E＝∠F，
∴ED∥BF．
21．（12分）某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表．
等级
频数（人数）
频率
优秀
60
0.6
良好
a
0.25
合格
10
b
基本合格
5
0.05
合计
c
1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ 25 ，b＝ 0.1 ，c＝ 100 ；
（2）补全条形统计图；
（3）该学校共有1600名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？
（4）在这次测试中，九年级（3）班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率．
【分析】（1）由优秀的人数除以频率得出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由（1）的结果，补全条形统计图即可；
（3）由学校总人数乘以等级在合格以上（包括合格）的学生的频率即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，甲、乙两名同学同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：60÷0.6＝100（人），
∴c＝100，
∴a＝100﹣60﹣10﹣5＝25，b＝10÷100＝0.1，
故答案为：25，0.1，100；
（2）补全条形统计图：
（3）估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有人数为：1600×（0.6+0.25+0.1）＝1520（人）；
（4）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲、乙两名同学同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙两名同学同时被选中的概率为＝．
22．（12分）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．
【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，AD∥OC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝6，再证明△DAC∽△CAB，得＝，即＝，从而可得AD＝．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝3，
∴AC＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴AD＝．
23．（12分）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：
进货批次
A型水杯（个）
B型水杯（个）
总费用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000
（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？
（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？
【分析】（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据：利润＝（每台实际售价﹣每台进价）×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；
（3）设总利润为w元，购进A种水杯a个，根据总利润＝单个利润×销售数量，即可得出w关于a的函数关系式，由w值与a值无关可得出b的值，再代入b值即可求出w的值．
【解答】解：（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元；
（2）设超市应将B型水杯降价a元时，每天售出B型水杯的利润为W元，根据题意，
得：W＝（44﹣a﹣30）（20+5a）
＝﹣5a2+50a+280
＝﹣5（a﹣5）2+405，
∴当a＝5时，W取得最大值，最大值为405元，
答：超市应将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；
（3）∵设总利润为w元，购进A种水杯a个，
依题意，得：w＝（10﹣b）a+9×＝（10﹣6﹣b）a+3000，
∵捐款后所得的利润始终不变，
∴w值与a值无关，
∴10﹣6﹣b＝0，解得：b＝4，
∴w＝（10﹣6﹣4）a+3000＝3000，
答：捐款后所得的利润始终不变，此时b为4元，利润为3000元．
24．（14分）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当∠CP′M为直角时，则P′C∥x轴，即可求解；当∠PCM为直角时，用解直角三角形的方法求出PN＝MN+PM＝6+＝，即可求解；
（3）作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，进而求解；
（4）证明△ANQ≌△QMC（AAS），则QN＝CM，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）、（0，8），
设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，则，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）存在，理由：
当∠CP′M为直角时，
则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴，
则点P′的坐标为（1，8）；
当∠PCM为直角时，
在Rt△OBC中，设∠CBO＝α，则tan∠CBO＝＝2＝tanα，则sinα＝，cosα＝，
在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，
则BM＝＝3，
同理可得，MN＝6，
由点B、C的坐标得，BC＝＝4，则CM＝BC＝MB＝，
在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，
则PM＝＝＝，
则PN＝MN+PM＝6+＝，
故点P的坐标为（1，），
故点P的坐标为（1，8）或（1，）；
（3）∵D为CO的中点，则点D（0，4），
作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），
连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，
理由：G走过的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′为最短，
由点C′、D′的坐标得，直线C′D′的表达式为y＝6x﹣4，
对于y＝6x﹣4，当y＝6x﹣4＝0时，解得x＝，当x＝1时，y＝2，
故点E、F的坐标分别为（，0）、（1，2）；
G走过的最短路程为C′D′＝＝2；
（4）存在，理由：
设点Q的坐标为（x，﹣x2+2x+8），
故点Q作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，
∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，
∴∠MQC＝∠QRE，
∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，
∴△ANQ≌△QMC（AAS），
∴QN＝CM，
即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝（不合题意的值已舍去），
故点Q的坐标为（，）．
2021年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．数轴上表示数5的点和原点的距离是（ ）
A． B．5 C．﹣5 D．﹣
2．到2020年底，我国完成了“脱贫攻坚”任务，有约9980万的贫困人口实现了脱贫．将数据9980万用科学记数法表示是（ ）
A．9.98×103 B．9.98×105 C．9.98×106 D．9.98×107
3．以下说法错误的是（ ）
A．多边形的内角大于任何一个外角
B．任意多边形的外角和是360°
C．正六边形是中心对称图形
D．圆内接四边形的对角互补
4．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
5．下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．定义a⊗b＝2a+，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
7．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心
C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定经过△ABC的外心
8．不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为（ ）
A．ME＝ B．ME＝ C．ME＝1 D．ME＝
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．比较大小： （填写“＞”或“＜”或“＝”）．
12．函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则A2的坐标是 ．
14．为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七名党员5天的学史的时间（单位：h）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是 ，众数是 ．
15．如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
16．观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
19．（10分）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．
其中sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈
20．（10分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．
求证：（1）△ADE≌△CBF；
（2）ED∥BF．
21．（12分）某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表．
等级
频数（人数）
频率
优秀
60
0.6
良好
a
0.25
合格
10
b
基本合格
5
0.05
合计
c
1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）该学校共有1600名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？
（4）在这次测试中，九年级（3）班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率．
22．（12分）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．
23．（12分）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：
进货批次
A型水杯（个）
B型水杯（个）
总费用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000
（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？
（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？
24．（14分）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
2021年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．数轴上表示数5的点和原点的距离是（ ）
A． B．5 C．﹣5 D．﹣
【分析】根据两点间的距离公式即可求解．
【解答】解：数轴上表示数5的点和原点的距离是5；
故选：B．
2．到2020年底，我国完成了“脱贫攻坚”任务，有约9980万的贫困人口实现了脱贫．将数据9980万用科学记数法表示是（ ）
A．9.98×103 B．9.98×105 C．9.98×106 D．9.98×107
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：9980万＝99800000＝9.98×107．
故选：D．
3．以下说法错误的是（ ）
A．多边形的内角大于任何一个外角
B．任意多边形的外角和是360°
C．正六边形是中心对称图形
D．圆内接四边形的对角互补
【分析】直接利用中心对称图形的定义以及圆内接四边形的性质、多边形的外角和的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A．多边形的内角不一定大于任何一个外角，故此选项错误，符合题意；
B．任意多边形的外角和是360°,正确，不合题意；
C．正六边形是中心对称图形,正确，不合题意；
D．圆内接四边形的对角互补,正确，不合题意；
故选：A．
4．对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝b2﹣4ac，即可求出△＝﹣23＜0，进而可得出该方程没有实数根（若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证B，C两个选项）．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．
故选：A．
5．下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】圆锥侧面是曲面，所以侧面展开后是扇形．
【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，
故选：B．
6．定义a⊗b＝2a+，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．
【解答】解：根据题中的新定义得：
3⊗x＝2×3+，
4⊗2＝2×4+，
∵3⊗x＝4⊗2，
∴2×3+＝2×4+，
解得：x＝，
经检验，x＝是分式方程的根．
故选：B．
7．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心
C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定经过△ABC的外心
【分析】根据题意判断AD是∠BAC的角平分线，可知C正确，根据重心和外心定义可知B、D选项错误，根据三角形任意两边之和大于第三边可知A错误．
【解答】解：由题可知AD是∠BAC的角平分线，
A、在△ABD中，AD+BD＞AB，故选项A错误，不符合题意；
B、△ABC的重心是三条中线的交点，故选项B错误，不符合题意；
C、∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，故选项C正确，符合题意；
D、△ABC的外心是三边中垂线的交点，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
8．不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+1≥x﹣1，得：x≥﹣2，
解不等式﹣x＞﹣1，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
故选：C．
9．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【解答】解：①“水中捞月”是不可能事件，符合题意；
②“守株待兔”是随机事件，不合题意；
③“百步穿杨”，是随机事件，不合题意；
④“瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意；
故选：A．
10．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为（ ）
A．ME＝ B．ME＝ C．ME＝1 D．ME＝
【分析】过N作y轴和x轴的垂线NG，NH，证明四边形NGOH是矩形，设N（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得ab＝，进而可计算出CO长，根据三角函数可得∠CDO＝30°，再根据菱形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝2∠CDO＝60°，∠ACD＝60°，进而即可证得△ABC是等边三角形，得出AE＝OB＝2,由∠BAE＝30°＝∠ABO,得出AM＝BM,则EM＝OM,从而得到3EM＝OB＝2,进而可得EM长．
【解答】解：过N作y轴和x轴的垂线NG，NH，
设N（b，a），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点N，
∴ab＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO＝BD＝2，
∵NH⊥x轴，NG⊥y轴，
∴四边形NGOH是矩形，
∴NG∥x轴，NH∥y轴，
∵N为CD的中点，
∴DO•CO＝2a•2b＝4ab＝，
∴CO＝，
∴tan∠CDO＝＝．
∴∠CDO＝30°，
∴∠DCO＝60°,
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝∠ABC＝2∠CDO＝60°，∠ACB＝∠DCO＝60°,
∴△ABC是等边三角形，
∵AE⊥BC，BO⊥AC,
∴AE＝BO＝2,∠BAE＝30°＝∠ABO,
∴AM＝BM,
∴OM＝EM,
∵∠MBE＝30°,
∴BM＝2EM＝2OM,
∴3EM＝OB＝2,
∴ME＝，
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．比较大小： ＞ （填写“＞”或“＜”或“＝”）．
【分析】先估算出12，再除以2即可．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴＜1，
即＞，
故答案为：＞．
12．函数y＝的自变量x的取值范围是 x≥2且x≠3 ．
【分析】让二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0列不等式组求解集即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：x≥2且x≠3，
故答案为：x≥2且x≠3．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则A2的坐标是 （2,2） ．
【分析】根据题意，画出图形，可得结论．
【解答】解：如图，观察图象可知A2(2,2)．
故答案为：（2,2）．
14．为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七名党员5天的学史的时间（单位：h）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是 4h ，众数是 3h ．
【分析】将这组数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为3，3，3，4，5，5，6，
所以这组数据的中位数为4h，众数为3h，
故答案为：4h，3h．
15．如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 π﹣ ．（结果保留π）
【分析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣．
故答案为：π﹣．
16．观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是 m2﹣m ．
【分析】归纳出数字的变化规律，给已知数列求和，并用含m的代数式表示出来即可．
【解答】解：由题意得：
2100+2101+2102+…+2199，
＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299），
＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），
＝（2100）2﹣2100，
＝m2﹣m，
故答案为：m2﹣m．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．（8分）计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2+9+4×+1
＝1﹣2+9+2+1
＝11．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简,再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝+•
＝+
＝+
＝
＝
＝,
当x＝+2时，
原式＝＝＝．
19．（10分）政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．
其中sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈
【分析】过C作CF⊥AE于F，则FC＝AD＝20米，AF＝DC，由锐角三角函数定义分别求出AF、BD的长，即可解决问题．
【解答】解：过C作CF⊥AE于F，如图所示：
则FC＝AD＝20米，AF＝DC，
在Rt△ACF中，∠EAC＝22°，
∵tan∠EAC＝＝tan22°≈，
∴DC＝AF≈FC＝50（米），
在Rt△ABD中，∠ABD＝∠EAB＝67°，
∵tan∠ABD＝＝tan22°≈，
∴BD≈AD＝（米），
∴BC＝DC﹣BD＝50﹣≈41.7（米），
即大桥BC的长约为41.7米．
20．（10分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．
求证：（1）△ADE≌△CBF；
（2）ED∥BF．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到DA＝BC，DA∥BC，然后即可得到∠EAD＝∠FCB，再根据SAS即可证明△ADE≌△CBF；
（2）根据（1）中的结论和全等三角形的性质，可以得到∠E＝∠F，从而可以得到ED∥BF．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DA＝BC，DA∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，
∴∠EAD＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）由（1）知，△ADE≌△CBF，
∴∠E＝∠F，
∴ED∥BF．
21．（12分）某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表．
等级
频数（人数）
频率
优秀
60
0.6
良好
a
0.25
合格
10
b
基本合格
5
0.05
合计
c
1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ 25 ，b＝ 0.1 ，c＝ 100 ；
（2）补全条形统计图；
（3）该学校共有1600名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？
（4）在这次测试中，九年级（3）班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率．
【分析】（1）由优秀的人数除以频率得出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由（1）的结果，补全条形统计图即可；
（3）由学校总人数乘以等级在合格以上（包括合格）的学生的频率即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，甲、乙两名同学同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：60÷0.6＝100（人），
∴c＝100，
∴a＝100﹣60﹣10﹣5＝25，b＝10÷100＝0.1，
故答案为：25，0.1，100；
（2）补全条形统计图：
（3）估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有人数为：1600×（0.6+0.25+0.1）＝1520（人）；
（4）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲、乙两名同学同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙两名同学同时被选中的概率为＝．
22．（12分）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．
【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，AD∥OC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝6，再证明△DAC∽△CAB，得＝，即＝，从而可得AD＝．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝3，
∴AC＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴AD＝．
23．（12分）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：
进货批次
A型水杯（个）
B型水杯（个）
总费用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000
（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？
（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？
【分析】（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据：利润＝（每台实际售价﹣每台进价）×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；
（3）设总利润为w元，购进A种水杯a个，根据总利润＝单个利润×销售数量，即可得出w关于a的函数关系式，由w值与a值无关可得出b的值，再代入b值即可求出w的值．
【解答】解：（1）设A种型号的水杯进价为x元，B种型号的水杯进价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种型号的水杯进价为20元，B种型号的水杯进价为30元；
（2）设超市应将B型水杯降价a元时，每天售出B型水杯的利润为W元，根据题意，
得：W＝（44﹣a﹣30）（20+5a）
＝﹣5a2+50a+280
＝﹣5（a﹣5）2+405，
∴当a＝5时，W取得最大值，最大值为405元，
答：超市应将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；
（3）∵设总利润为w元，购进A种水杯a个，
依题意，得：w＝（10﹣b）a+9×＝（10﹣6﹣b）a+3000，
∵捐款后所得的利润始终不变，
∴w值与a值无关，
∴10﹣6﹣b＝0，解得：b＝4，
∴w＝（10﹣6﹣4）a+3000＝3000，
答：捐款后所得的利润始终不变，此时b为4元，利润为3000元．
24．（14分）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当∠CP′M为直角时，则P′C∥x轴，即可求解；当∠PCM为直角时，用解直角三角形的方法求出PN＝MN+PM＝6+＝，即可求解；
（3）作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，进而求解；
（4）证明△ANQ≌△QMC（AAS），则QN＝CM，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）、（0，8），
设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，则，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）存在，理由：
当∠CP′M为直角时，
则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴，
则点P′的坐标为（1，8）；
当∠PCM为直角时，
在Rt△OBC中，设∠CBO＝α，则tan∠CBO＝＝2＝tanα，则sinα＝，cosα＝，
在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，
则BM＝＝3，
同理可得，MN＝6，
由点B、C的坐标得，BC＝＝4，则CM＝BC＝MB＝，
在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，
则PM＝＝＝，
则PN＝MN+PM＝6+＝，
故点P的坐标为（1，），
故点P的坐标为（1，8）或（1，）；
（3）∵D为CO的中点，则点D（0，4），
作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），
连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，
理由：G走过的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′为最短，
由点C′、D′的坐标得，直线C′D′的表达式为y＝6x﹣4，
对于y＝6x﹣4，当y＝6x﹣4＝0时，解得x＝，当x＝1时，y＝2，
故点E、F的坐标分别为（，0）、（1，2）；
G走过的最短路程为C′D′＝＝2；
（4）存在，理由：
设点Q的坐标为（x，﹣x2+2x+8），
故点Q作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，
∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，
∴∠MQC＝∠QRE，
∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，
∴△ANQ≌△QMC（AAS），
∴QN＝CM，
即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝（不合题意的值已舍去），
故点Q的坐标为（，）．
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