2021年湖北省荆州市中考数学真题

这是一份2021年湖北省荆州市中考数学真题，共11页。试卷主要包含了已知，定义新运算“※”等内容，欢迎下载使用。


荆州市2021年初中学业水平考试
数 学 试 题
注意事项：
1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟。
2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上。解答题中添加的辅助线、字母和符号等务必标在答题卡对应的图形上。
3．在答题卡上答题，选择题要用2B铅笔填涂，非选择题要用0.5毫米黑色中性笔作答。
★祝考试顺利★

一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．在实数-1，0，，中，无理数是
A．-1 B．0 C． D．
2．如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是



第2题图
A． B． C． D．
3．若等式+（ ）成立，则（ ）中填写单项式可以是
A．a B． C． D．
4．阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是
如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c．
证明：①∵a⊥b (已知)
∴∠1=90°（垂直的定义）
②又∵b∥c (已知)
∴∠1=∠2 （同位角相等，两直线平行）
③∴∠2=∠1=90°（等量代换）
④∴a⊥c (垂直的定义)．









A．① B．② C．③ D．④
5．若点P（a+1，2-2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为


6．已知：如图，直线与双曲线在第一象限交于点P(1，t)，与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是
A．t2 B．△AOB是等腰直角三角形
C．k1 D．当x1时，
7．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上．若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
8．如图，在△ABC中，ABAC，∠A40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是
A．ADCD B．∠ABP∠CBP C．∠BPC115° D．∠PBC∠A

9．如图，在菱形ABCD中，∠D60°，AB2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
10．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有[m，p]※[q，n]mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]25+3422．若关于x的方程[，x]※[5-2k，k]0有两个实数根，则k的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．已知：，，则 ▲ ．
12．有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是 ▲ ．
13．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E．若AD4，DF，则BE ▲ ．

14．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC8cm，AB16cm．当AB，BC转动到∠BAE60°，∠ABC50°时，点C到AE的距离为 ▲ cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73)
15．若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ▲ ．
16．如图，过反比例函数图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为 A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1A1A2A2A3A3A4，则S1与S4的数量关系为 ▲ ．

三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17．（本题满分8分）先化简，再求值：，其中.

18．（本题满分8分）已知：a是不等式5(a2)+8<6(a1)+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程.
19．（本题满分8分）如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．
请在网格图形中画图：
（1）以线段AD为一边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD外；
（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上.







20．（本题满分8分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，……为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析.设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为（小时），阅读总时间分为四个类别：A，B，
C，D，将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）.

根据以上信息，回答下列问题：
（1） 本次抽样的样本容量为 ▲ ；
（2） 补全条形统计图；
（3） 扇形统计图中的值为 ▲ ，圆心角β的度数为 ▲ ；
（4） 若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议.


21．（本题满分8分）小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： ▲ ；
②方程的解为： ▲ ；
③若方程有四个实数根，则a的取值范围是 ▲ .
（2） 延伸思考：
将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量x 的取值范围．










22．（本题满分10分）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．
（1） 求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2） 小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．

23．（本题满分10分）在矩形ABCD中，AB2，AD4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．
（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC90°，延长GF交AB于H，连接CH．①求证:△CDG∽△GAH；②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．

24．(本题满分12分)已知：直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线AB上一动点，连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连接BE，设BEt．
（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；
（3）若tan∠AOCk，经过点A的抛物线顶点为P，且有
6a+3b+2c0，△POA的面积为．当时，求抛物线的解析式．

























荆州市2021年初中学业水平考试
数学试题参考答案与评分标准
一、选择题（每小题3分）
1．D　　2．A　　3．C　　4．B　　5．C　　6．D　　7．C　　8．D　　9．A　　10．C
二、填空题（每小题3分）
11．2　12．　13．　14．6.3　15．m>-7且m≠-3　16．S14S4（或）
三、解答题（按步骤给分）
17．解：原式 …………………………………3分
= …………………………………5分
∵a2，∴原式=1+ …………………………………8分
18．解：由不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7解得： …………………3分
∴a的最小整数解为-2 …………………………………4分
将a-2代入方程x2+2ax+a+10得：
…………………………………5分
配方得：，即x-2± …………………………………7分
∴x12+ ，x22- ………………………8分
19．解：（1）如图所示 ………………………4分
（2）如图所示 ………………………8分

20．解：（1）60； ………………2分
（2）如图； …………4分
（3）20，144°； …………6分
（4）①（名） …………7分
∴阅读总时间少于24小时的学生有1000名.
②要重视阅读，养成阅读习惯；要增加阅读时间，提高阅读质量；要培养阅读兴趣，保证阅读时间；要坚持阅读，从今天做起等.（与阅读相关，一条建议即可） ………8分
21．解：（1）①图象关于y轴对称；当x-1或x1时，y有最大值，最大值为；
当x<-1或0 ②x1-2； x20； x32； ………………………5分
③-1 （2）将函数y的图象向右平移2个单位长，再向上平移3个单位长（或向上平移3个单位长，再向右平移2个单位长）得到y1的图象； …………………7分
当时，自变量的取值范围为0 22．解：（1）设一支康乃馨价格为a元，一支百合价格为b元，由题意得：
………………………2分 解得
即买一支康乃馨需要4元，一支百合需要5元． ………………………4分
（2）根据题意得：
∴w与x之间的函数关系式为：w=-x+55 ………………………7分
∴ ………………………8分
随的增大而减小
∴当9时，-9+5546（元） ………………………9分
即买9支康乃馨，2支百合费用最少，最少费用为46元． ………10分
23. 解：（1）①证明：如图1，由题意知∠HGC90°
则∠AGH+∠DGC90°
由矩形ABCD知：∠HAG∠D=90° ………………………1分
而∠DGC+∠DCG90° ∴∠DCG∠AGH ………………………2分
∴△CDG∽△GAH． ………………………3分
②如图1，由①知△CDG∽△GAH
∴∠AGF∠DCG， ………………………4分
由折叠知：∠AGF∠GAF
∴∠GAF∠DCG，而∠D∠D
∴△ADC∽△CDG ……………………5分
∴ 即 ∴DG1
∴AGAD-DG3 ………………………6分
∴在Rt△CGH中，tan∠GHC ………………………7分
（2）解法一：如图2，此时Rt△GCF与 Rt△AEF不全等，理由如下：
设AEEGx，则DG2x-4
∵∠DCG +∠ACD∠DAC+∠ACD90°
∴∠DCG∠DAC，而∠ADC∠CDG
∴△CDG∽△ADC
∴ 即 ，解得： ………………………8分
又tan∠GAC
∴ ∴ 而
∴ …………………………………………9分
由折叠知：FGAF，但FC≠EF，FC≠AE
∴Rt△GCF与Rt△AEF不全等． ………………………10分
解法二：如图2，此时△GCF与△AEF不全等，理由如下：
若△AEF≌△FCG时，∠EAF∠CFG
而∠CFG∠EAF，产生矛盾
∴假设不成立
若△AEF≌△GCF时，∠AFE∠GFC∠EFG60° ………………………8分
则在Rt△AEF中，∠EAF30° ∴tan∠EAF ……………………9分
，产生矛盾 ∴假设不成立
∴Rt△GCF与 Rt△AEF不全等．（注：本题其它解法请参照给分．）…………10分
24．解：（1）BE⊥AB.理由如下： ………………1分
如图1，由直线yx+1得：A (1，0)，B(0，1)
∴OAOB，△OAB为等腰直角三角形，∠OAC∠ABO45°
由正方形OCDE得：OCOE，∠EOB+∠BOC∠AOC+∠BOC90°
∴∠EOB∠AOC ∴△AOC≌△BOE(SAS) ………………………3分
∴∠OBE∠OAC45°
∴∠ABE∠OBE+∠ABO90°
∴BE⊥AB． ………………………4分
（2），或， …8分
（3）∵点A在抛物线上，且
∴ ∴
∴抛物线的对称轴为
∴它与x轴另一个交点坐标为（3，0）
∴可设抛物线为
∵∠AOC为锐角
∴点C在线段AB上或BA的延长线上运动（不与点A，点B重合）
①当点C在线段AB上时，如图1 ，过E作EM⊥y轴于M．
∵ ∴由（2）得：， ∴
∴
∵，，△面积为
∴当时，
∴ 解得：
从而，
∴抛物线解析式为 ………………………10分
②当点C在BA的延长线上时，如图2，过E作EN⊥y轴于N．
∵∴由（2）得：， ∴，
∴
∵a<0，OA=1，△OAP的面积为
∴当时，
∴解得：
从而，
∴抛物线解析式为
综上所述，抛物线的解析式为或． …………12分