人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质集体备课课件ppt

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1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求正弦函数、余弦函数的周期,并会应用.3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.
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目 录 索 引
知识点1 函数的周期性
1.周期函数的定义 定义域对应的集合是无限集 T可正、可负但不能为0一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个　　　　常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D,且　　　=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的　　　　,那么这个最小　　　就叫做f(x)的最小正周期. 
名师点睛1.对周期函数与周期定义中的“对每一个x∈D”,要特别注意“每一个”的要求.如果只是对某些x有f(x+T)=f(x),那么T不一定是f(x)的周期.2.自变量x本身加的常数才是函数的周期,如f(2x+T)=f(2x)中T不是函数的
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)所有的函数都有最小正周期.(　　)
2.周期函数的周期是否唯一?
提示 不唯一.若f(x+T)=f(x),则f(x+nT)=f(x),n∈Z,且n≠0.
3.若存在正数T,使f(x+T)=-f(x),则函数f(x)的周期为　　　　　. 
知识点2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
名师点睛函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acs(ωx+φ)的周期:
过关自诊1.函数y=Asin(ωx+φ)满足什么条件时为奇函数、偶函数?y=Acs(ωx+φ)满足什么条件时为奇函数、偶函数,其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0?
3.下列四个函数中,图象关于y轴对称的是(　　)
解析 函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数,故选B.
探究点一　三角函数的周期问题及简单应用
【例1】 求下列三角函数的最小正周期:(1)y=3sin x,x∈R;
(2)y=cs 2x,x∈R;
(4)y=|cs x|,x∈R.
解 函数y=|cs x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cs x|的最小正周期为π.
规律方法　求三角函数的最小正周期的常用方法求三角函数的最小正周期,一般有两种方法:(1)公式法,即先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acs(ωx+φ)+B(其中A,ω,φ,B均为常数,A≠0,ω>0)的形式,再利用T= 求得;(2)图象法,即作出函数的图象,通过观察得到最小正周期.
变式训练1 求下列函数的最小正周期:
(2)y=cs|x|.
解作出y=cs|x|的图象,如图所示,易知y=cs|x|的最小正周期为2π.
探究点二　三角函数的奇偶性及其应用
【例2】 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|sin x|+cs x;
解 函数f(x)=|sin x|+cs x的定义域为R.∵f(-x)=|sin(-x)|+cs(-x)=|sin x|+cs x=f(x),∴函数f(x)是偶函数.
解 函数应满足1+sin x≠0,
显然定义域不关于原点对称,故函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
规律方法　判断函数奇偶性的常用方法:
提醒:判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.
变式训练2 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xcs(π+x);
(2)f(x)=sin(cs x);
解 函数f(x)的定义域为R,∵f(x)=xcs(π+x)=-xcs x,∴f(-x)=-(-x)cs(-x)=xcs x=-f(x).∴f(x)为奇函数.
解 函数f(x)的定义域为R,∵f(-x)=sin[cs(-x)]=sin(cs x)=f(x).∴f(x)为偶函数.
解 由1-cs x≥0且cs x-1≥0,得cs x=1,从而x=2kπ,k∈Z,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.
探究点三　函数奇偶性与周期性的综合问题
【例3】 (1)[2023浙江杭州模拟]函数f(x)=-3cs(ωx+φ),x∈R,ω>0,|φ|<π,
变式探究1 若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,求 的值.
规律方法　当函数值的出现具有一定的周期性时,可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况,再予以推广求值.
变式训练3 设f(x)是周期为2的奇函数,当0sin(x-2)+x-2
解析 当1本节要点归纳1.知识清单:(1)周期函数的概念,三角函数的周期.(2)三角函数的奇偶性.(3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用.2.方法归纳:定义法、公式法、数形结合.3.常见误区:(1)对于最小正周期理解不到位;(2)函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0)先将ω化为正数再用T= 计算最小正周期.
1.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是(　　)A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数
解析 因为x∈R,且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
3.已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,且f(1)=1,则f(5)=　　　. 
解析 f(5)=f(5-6)=f(-1)=-f(1)=-1.