人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列教课课件ppt

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1.理解等比数列的概念,理解等比中项的概念.2.掌握等比数列的通项公式,能运用公式解决相关问题.3.掌握等比数列的判断与证明方法.
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知识点1　等比数列一般地,如果一个数列从　　　　　起,每一项与它的前一项的比都等于　　　 　　,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的　　　　　,公比通常用字母q表示(显然q≠0). 
名师点睛对等比数列定义的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠倒.(4)等比数列中的任何一项均不能为零.(5)等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零.
过关自诊1.常数列可以是等比数列吗?
提示 各项不为0的常数列是等比数列;各项为0的常数列不是等比数列.
(2)0,1,2,4,8;
2.判断下列数列是否为等比数列:(1)1,1,1,1,1;
解 所给数列是首项为1,公比为1的等比数列.
解 因为0不能作除数,所以这个数列不是等比数列.
解 所给数列是首项为1,公比为- 的等比数列.
知识点2　等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时　　　　　. 
名师点睛等比中项概念的理解(1)只有同号的两个实数才有等比中项.(2)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数.
过关自诊1.等比中项与等差中项有什么区别?
提示 (1)任意两个数都存在等差中项,但不是任意两个数都存在等比中项,当且仅当两数同号且均不为0时,才存在等比中项.(2)任意两个数的等差中项是唯一的,而若两个数有等比中项,则这两个数的等比中项有两个,且互为相反数.
2.[人教B版教材习题]求下列各组数的等比中项.(1)4,9;
知识点3　等比数列的通项公式首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=　　　　　　　. 名师点睛已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得第四个量.
过关自诊[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
探究点一　等比数列通项公式的应用
【例1】 在等比数列{an}中,求解下列问题:
分析 先根据等比数列的通项公式,结合条件列出方程(组)求得a1,q,再解决其他问题.
(2)若a2=4,q=2,an=128,求n;
(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.
解 由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
规律方法　等比数列的计算(1)等比数列的基本量是a1,q和n,很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题.解决这类问题时,最核心的思想方法是解方程(组)的方法,即依据题目条件,先根据等比数列的通项公式建立关于a1和q的方程(组),再解方程(组),求得a1和q的值,最后解决其他问题.(2)在等比数列的基本量运算问题中,建立方程(组)进行求解时,要注意运算的技巧性,特别注意整体思想的应用.
变式训练1在等比数列{an}中,(1)已知a1=3,q=-2,求a6;(2)已知a3=20,a6=160,求an.
解 由等比数列的通项公式,得a6=3×(-2)6-1=-96.
探究点二　等比中项及其应用
【例2】 (1)已知等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,求实数x的值.
分析 可由等比中项的定义建立关于x的方程求解;
解 因为等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,所以x(3x+3)=(2x+2)2,解得x=-1或x=-4.又因为当x=-1时,2x+2=3x+3=0不合题意,所以实数x的值为-4.
(2)已知等比数列{an},a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1和a5的等比中项.
分析 先求出a1和a5的值,再根据等比中项的定义求解.
规律方法　涉及3个数成等比数列时,常利用等比中项列式求解,使用等比中项时,要注意只有同号的两个数才有等比中项,要注意根据题意选择等比中项的符号.
变式训练2在等差数列{an}中,a1=9,公差d=1.若ak是a1和a2k的等比中项,则k=(　　)A.2B.4C.6D.8
解析 依题意,得 =a1a2k,即[9+(k-1)]2=9[9+(2k-1)],整理得k2-2k-8=0,解得k=4(k=-2舍去).
解 因为lg a1,lg a2,lg a4成等差数列,所以2lg a2=lg a1+lg a4,即 =a1·a4,设{an}的公差为d,所以(a1+d)2=a1·(a1+3d)⇒d2=a1d⇒d=0或d=a1.①当d=0时,{an}为常数列且各项均为正数,所以{bn}也为常数列且各项均为正数.所以{bn}为等比数列.
所以{bn}为等比数列.综合①②可知,{bn}为等比数列.
规律方法　判断或证明一个数列是等比数列的主要方法如下:
变式训练3已知数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列,令bn= ,求证:数列{bn}是等比数列.
证明依题意得an=3+(n-1)×2=2n+1,∴bn=52n+1,
探究点四　构造等比数列求通项公式
【例4】 (1)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,求通项公式an.
解 由an+1=2an+1,可得an+1+1=2(an+1),∵a1=1,∴a1+1=2≠0,
∴{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.∴an+1=2×2n-1=2n,即an=2n-1.
规律方法　构造新数列的技巧有些数列本身不是等差、等比数列,但是通过适当的变形,可以构造出等差、等比数列.常见的构造方法有:(1)取倒数法;(2)配常数法;(3)取对数法;(4)配函数法等.
变式训练4数列{an}满足an+1-3=4an,且a1=1,求此数列的通项公式.
解 由an+1-3=4an,可得an+1+1=4(an+1),由a1=1可知an+1≠0,则 =4.又a1=1,所以a1+1=2,所以数列{an+1}是以2为首项,4为公比的等比数列,则有an+1=2×4n-1=22n-1,即an=22n-1-1.
1.知识清单:(1)等比数列的概念.(2)等比中项的概念.(3)等比数列通项公式的推导及应用.(4)等比数列的判定或证明.2.方法归纳:定义法、累乘法、通项公式法、方程(组)思想.3.常见误区:(1)由a,G,b成等比数列能推出G2=ab,但由G2=ab不能推出a,G,b成等比数列;(2)当公比用分数、负数表示时,易忽略对公比加上括号.
1.下列数列为等比数列的是(　　)A.0,1,2,4,…B.22,42,62,82,…C.q-1,(q-1)2,(q-1)3,(q-1)4,…
A.3B.4C.5D.6
3.若数列{an}为等比数列,且a1+a2=1,a3+a4=2,则a15+a16=(　　)A.32B.64C.128D.256
解析 设公比为q.因为数列{an}为等比数列,且a1+a2=1,a3+a4=2,所以
4.已知数列{an}是递增数列,且满足an+1=2an+1,则a1的取值范围是　　　　　　. 
答案 (-1,+∞)
解析 由an+1=2an+1,得an+1+1=2(an+1).又{an}是递增数列,所以{an+1}也是递增数列,所以a1+1>0,解得a1>-1,所以a1的取值范围是(-1,+∞).