人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式备课课件ppt

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知识点一:一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我们把只含有　　　　未知数,并且未知数的最高次数是_______　　　的不等式,称为一元二次不等式. (2)形式:①ax2+bx+c>0(a≠0);②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c<0(a≠0);④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式　　　　的x的　　　叫做这个不等式的解,一元二次不等式的　　　　　　组成的集合叫做这个一元二次不等式的　　　　. 
名师点睛1.一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种,注意a≠0.a=0时就不是二次了.2.当a<0时,我们通常将不等式两边同乘-1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式,但不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式.微思考ax2+bx+c>0一定是一元二次不等式吗?
提示 不一定,当a=0时,就是一元一次不等式了.
知识点二:一元二次不等式的解法
二次函数与一元二次方程的解、不等式的解集的对应关系 数形结合
{x|xx2}
{x|x1名师点睛一元二次不等式与分式不等式(1)结构联系.一元二次不等式可以用符号表示为f(x)g(x)>0(或≥0,<0,≤0),若把积改为商的形式,一元二次不等式就转变成分式不等式可化为标准形式 >0(≥0)或 <0(≤0)(其中f(x),g(x)为整式,且g(x)不为0).
(2)解法联系.分式不等式通过同解变形转化为一元二次不等式求解.分式不等式转化为整式不等式的同解变形如下表:
微思考(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是什么,系数a,b,c之间有什么关系?  (2)对任意的一元二次不等式,求解集的关键在哪?  
提示 一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是指不等式的解集为R,系数a,b,c之间的关系是a>0且Δ=b2-4ac<0.
提示 关键在于正确画出一元二次函数y=ax2+bx+c的图象.
问题1用函数解方程和不等式是数学的基本思想方法,其中函数的图象、零点、图象与x轴的关系等是关键要素.请试着根据函数的思想方法,由一元二次函数的图象,利用一元二次方程根的情况,能否得出一元二次不等式的解集?问题2对于“求一元二次不等式的解集”的提问方式,可否换成其他的描述?
探究点一 一元二次不等式的求解
【例1】 解下列不等式.(1)2x2-3x-2>0;分析 先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.
(2)4x2-1<0;(3)x2-2x+2>0;
解 因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集 为R.
(4)-3x2+6x-2>0.
解 不等式可化为3x2-6x+2<0.因为3x2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=12>0,所以方程3x2-6x+2=0的解
规律方法　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使二次项系数为正,使不等式的右侧为0.这一步实际上是用形式的规范性来避免非智力因素的错误,如画错函数图象的开口.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.注:若能用十字相乘法分解因式,则可快速得出方程的根,合并(2)(3)步.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
【例2】 不等式 的解集为(　　)A.{x|-6≤x≤1}B.{x|x≥1,或x≤-6}C.{x|-6≤x<1}D.{x|x>1,或x≤-6}
规律方法　解不含参数的分式不等式通过同解变形,把分式不等式转化为一元二次不等式来求解.注意同解变形时分母不能为0.
问题3求不等式的解集属于正向思维,而数学非常注重逆向思维的培养.据此,你会如何思考?
探究点二 已知不等式的解集求参数值
【例4】 若关于x的不等式kx2+2x-1<0解集为R,求实数k的取值范围.
解 若kx2+2x-1<0的解集为R,综上,实数k的取值范围是{x|x<-1}.
规律方法　1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.若解集是R,则利用图象判别式来求解.2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x10时,其解集是{x|xx2},当a<0时,其解集是{x|x1问题4有些一元二次不等式中经常会在二次项、一次项或常数项中包含参数,增加了数学的变化性及探究性,如何解含参的一元二次不等式?不含参的一元二次不等式解法是否可以给我们启示?
探究点三 含参数的一元二次不等式的解法
【例5】 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).
解 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0,即(ax-2)(x+1)≥0,①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
规律方法　解含参数的一元二次不等式,与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的,主要考查分类讨论思想的运用,对于不明确的地方就需要讨论.(1)若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论,对于不为0的情况再按大于0或小于0进行讨论.(2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式Δ进行讨论.(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.
探究点四 一元二次不等式的实际应用
【例6】 行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系: (n为常数,且n∈N),做了两次刹车实验,有关实验数据如图所示,其中
(1)求n的值.(2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少?分析 (1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组,并结合n∈N求得n的值;(2)由s≤12.6解出v的取值范围,从而得到行驶的最大速度.
延伸探究本例中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80 km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离超过了25.65 m,试问:该车是否超速行驶?
解 由题意知s>25.65,即 >25.65,即v2+24v-10 260>0,解得v>90或v<-114.由于v≥0,所以速度v>90>80,因此该车超速行驶.
规律方法　用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤(1)理解题意,搞清量与量之间的关系.(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.(3)解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.
1.(例1对点题)解下列不等式.(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0.
解 (1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|32.(例1变式题)求使下列式子有意义的x的范围.
解 (1)式子有意义即3x2-5x+4≥0,由于判别式Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以使式子有意义的x的范围是R.(2)式子有意义即不等式x(1-x)-x(2x-3)-1≥0,可化为3x2-4x+1≤0.因为方程3x2-4x+1=0的两个根是 ,1,函数y=3x2-4x+1的图象开口向上,所以使式子有意义的x的范围是
3.(例2对点题)[2023陕西宝鸡高一月考]不等式 的解集是　 . 
{x|-44.(例3对点题)已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|10的解集.
解 ∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|15.(例4对点题)[2023天津高一阶段练习]已知函数y=-x2+ax-6.若不等式y≤0的解集为R,求实数a的取值范围.
解 不等式y≤0的解集为R,即-x2+ax-6≤0的解集为R,也即x2-ax+6≥0的解集为R,故其对应二次函数y=x2-ax+6的Δ=a2-24≤0,解得-2 ≤a≤2 .即a的取值范围为{a|-2 ≤a≤2 }.
6.(例5对点题)若m∈R,解关于x的不等式(x+m)[x-(3m+1)]>0.