人教A版高中数学必修第一册第5章三角函数5-1-1任意角课件

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第五章5.1.1　任意角基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引 学以致用·随堂检测全达标现实中存在很多周期变化的现象,这些现象的背后与三角函数密不可分.本单元重点研究与“周而复始”现象相关的函数——三角函数.学习中,我们一方面要拓展角度的范围,使之成为任意角;另一方面,我们要引入弧度制,为三角函数的学习做好铺垫.本单元的研究路径为:任意角——任意角的分类——弧度制的定义——角度制与弧度制的换算.这是学习本单元的知识明线,具体内容结构如图所示:学习单元1　任意角和弧度制 本学习单元的最终目标是掌握任意角和弧度制,理解任意角的定义、分类;理解弧度制的定义,同时理解为何将角度制化为弧度制,具体的换算规则是什么.培养数学抽象、数学运算等核心素养.基础落实·必备知识全过关知识点一:任意角1.角的概念:平面内的　　　　　绕着它的端点　　　　所成的图形. 2.角的分类按旋转方向可将角分为三类:一条射线旋转顺时针任何旋转3.相等角与角的加减(1)相等角:设角α由射线OA绕端点O旋转而成,角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=β.(2)相反角:把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α.(3)设α,β是任意两个角.我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β.名师点睛角的概念推广后,角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究,对于一个给定的角,都有唯一的一条终边与之对应,并使得角具有代数和几何双重意义.微思考始边与终边重合的角一定是零角吗?提示 不一定.只有始边没做任何旋转,始边与终边重合的角才是零角. 知识点二:象限角与终边相同的角1.象限角在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.2.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与360°整数倍的和.名师点睛对于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解应注意三点:(1)α是任意角.(2)“k∈Z”有三层含义:①特殊性:每取一个整数值就对应一个具体的角.②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数,k取正整数时,逆时针方向旋转;k取负整数时,顺时针方向旋转;k=0时,没有旋转.(3)集合中“k·360°”与“α”之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),表示与-30°角终边相同的角.微思考若角的始边相同,相等的角终边相同吗?反过来,终边相同的角相等吗?提示 相等的角终边一定相同.但终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.重难探究·能力素养全提升问题1现实世界中存在大量的周期变化现象,圆周运动是一种最简单、最直观描述周期性变化的载体,如何刻画圆周上一点位置的变化?问题2可以发现,借助角的大小变化容易刻画圆周上点的位置变化,但在点的运动过程中,初中所学角的范围已不能满足要求,如何解决?探究点一 任意角的概念问题3如何用量化的方式刻画任意角?【例1】 (多选题)下列说法不正确的是(　　)A.三角形的内角不一定是第一、二象限角B.始边相同,终边相同的角不一定相等C.钝角比第三象限角小D.小于180°的角是钝角、直角或锐角CD解析 A中90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A正确;B中始边相同,终边相同的角不一定相等,如360°和720°,故B正确;C中钝角是大于-100°的角,而-100°的角是第三象限角,故C不正确;D中零角或负角是小于180°的角,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故D不正确.规律方法　理解与角的概念有关问题的关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.探究点二 坐标系中角的概念及其表示问题4角的范围推广到了任意角,对于终边相同的角如何用代数方式表示?1.终边相同的角的求解【例2】 写出与75°角终边相同的角的集合,并求在360°~1 080°范围内与75°角终边相同的角.分析 根据与角α终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+α,k∈Z},写出与75°角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出360°~1 080°范围内的角.解 与75°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.当360°≤β<1 080°时,即360°≤k·360°+75°<1 080°,又k∈Z,所以k=1或k=2.当k=1时,β=435°;当k=2时,β=795°.综上所述,在360°~1 080°范围内且与75°角终边相同的角为435°角和795°角.规律方法　求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.问题5如果拓展到终边在某条直线上的角如何代数表示?2.终边在某条直线上的角的集合【例3】 写出终边在如图所示的直线上的角的集合.(1) (2) (3) 解(1)在0°~360°范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和180°,又所有与0°角终边相同的角的集合为S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有与180°角终边相同的角的集合为S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.(2)由图形易知,在0°~360°范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z} ∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.(3)终边在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z},结合(2)知所求角的集合为S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z} ={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+k·90°,k∈Z}.规律方法　终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°,k∈Z};终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+180°,k∈Z};终边落在x轴上的角的集合为{x|x=k·180°,k∈Z};终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k·360°+90°,k∈Z};终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k·360°-90°,k∈Z};终边落在y轴上的角的集合为{x|x=k·180°+90°,k∈Z};终边落在坐标轴上的角的集合为{x|x=k·90°,k∈Z}.问题6若角的终边界于某个区域内,可否用不等式表示这个区域的角?3.区域角的求解【例4】 如图所示,写出顶点在原点,始边为x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).分析 (1)要注意角的起始边界与终止边界的书写;(2)注意角的终边规律性重复出现.(1) (2) 解(1)对于阴影部分,终边落在阴影部分内角的集合为{α|-60°+k·360°≤α≤75°+k·360°,k∈Z}.(2)对于阴影部分,集合为{α|60°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z}.延伸探究1若将本例(1)改为如图所示的图形,那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示?解 阴影部分(包括边界),则所有满足条件的角β为{β|k·360°+150°≤β≤k·360°+225°,k∈Z}.延伸探究2若将本例(2)改为如图所示的图形,那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示?解 在0°~360°范围内,终边落在阴影部分的角为{β|n·180°+60°≤β