新高考数学考前模拟卷18（原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前模拟卷18（原卷版+解析版），共33页。试卷主要包含了5万部等内容，欢迎下载使用。
新高考数学考前模拟卷
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2020·贵州安顺市·高三其他模拟（理））复数，则复数在复平面内所对应的点在第（ ）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（2020·安徽高三月考（理））设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·安徽高三月考（理））若直线过函数图象的对称中心，则最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
4．（2020·湖北高二期中）已知椭圆的焦距为2，右顶点为，过原点与轴不重合的直线交于，两点，线段的中点为，若直线经过的右焦点，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·湖南高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数(其中，，)的图象如图所示.为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（ ）

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
7．（2020·成都七中万达学校高三期中（理））2019年末，武汉岀现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·嘉兴市第五高级中学高三月考）设，若数列是无穷数列，且满足对任意实数不等式恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A．存在数列为单调递增的等差数列 B．存在数列为单调递增的等比数列
C．恒成立 D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．（2020·福建莆田市·莆田一中高三期中）已知，，若圆上存在点满足，实数可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
10．（2020·全国高三专题练习）2020年初以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来手机的实际销量，如下表所示：
月份
2020年2月
2020年3月
2020年4月
2020年5月
2020年6月
月份编号
1
2
3
4
5
销量部
37
104

196
216
若与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．与正相关
C．与的相关系数为负数
D．8月份该手机商城的手机销量约为36.5万部
11．（2020·福建省福州第一中学高三开学考试）已知函数，在上的最大值为M，则下面给出的四个判断中，正确的有（ ）
A．最小正周期为 B．M有最大值
C．M有最小值 D．图象的对称轴是直线：
12．（2020·烟台市教育科学研究院高二期末）已知函数，下述结论正确的是（ ）
A．存在唯一极值点，且
B．存在实数，使得
C．方程有且仅有两个实数根，且两根互为倒数
D．当时，函数与的图象有两个交点
二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2020·合肥市第六中学高三期中（理））函数的图象在点处的切线方程为______.
14．（2020·洛阳理工学院附属中学高三月考（理））已知，则的值是______．
15．（2020·河北衡水市·衡水中学高三月考）已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是______.
16．（2020·湖北武汉市·高二期中）已知圆：，：，过原点作一条射线与圆相交于点，在该射线上取点，使得，圆圆周上的点到点的距离的最小值为，则满足该条件的点所形成的轨迹的周长为___________；的最小值为_________.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2020·上海虹口区·高三一模）如图所示，､两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向16处，的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离(单位：)与它们每天集中的生活垃圾量(单位：吨)成反比，现估测得､两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨.

（1）当时，求的值；
（2）发电厂尽量远离居民区，要求的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？
18．（2020·山西高三期中（文））在正项等比数列中，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且数列的前n项和为.求满足最小正整数n的值.
19．（2020·湖南高三月考）某单位招聘员工时，要求参加笔试的考生从道类题和道类题共道题中任选道作答.
（1）求考生甲至少抽到道类题的概率；
（2）若答对类题每道计分，答对类题每道计分，若不答或答错，则该题计分.考生乙抽取的是道类题，道类题，且他答对每道类题的概率为，答对每道类题的概率是，各题答对与否相互独立，用表示考生乙的得分，求的分布列和数学期望.
20．（2020·河南高二期中（理））如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
21．（2020·四川成都七中高二期中）已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程.
（2）直线与椭圆交于两点.
①求（用实数表示）.
②为坐标原点，若，且，求的面积.
22．（2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考）已知.其中常数.
（1）当时，求在上的最大值；
（2）若对任意均有两个极值点，
（ⅰ）求实数b的取值范围；
（ⅱ）当时，证明：.

新高考数学考前模拟卷
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
三、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2020·贵州安顺市·高三其他模拟（理））复数，则复数在复平面内所对应的点在第（ ）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【详解】
，
对应的点为，在第一象限.
故选：A
2．（2020·安徽高三月考（理））设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由，
解得：，
，
由，
解得：，
，
.
故选：C.
3．（2020·安徽高三月考（理））若直线过函数图象的对称中心，则最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【详解】
由题意得，函数图象的对称中心为，
∴，即，
∴，
当且仅当，即时取等号.
故选：D.
4．（2020·湖北高二期中）已知椭圆的焦距为2，右顶点为，过原点与轴不重合的直线交于，两点，线段的中点为，若直线经过的右焦点，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
由题知：，
设点，则，
又右焦点，且有直线经过点，所以，
，所以，
解得：，所以：，所以椭圆方程为：.
故选：C
5．（2020·湖南高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题知，即对任意的实数成立，
即对任意实数成立，所以即对任意实数成立，从而可知.
故选:D
6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数(其中，，)的图象如图所示.为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（ ）

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】B
【详解】
由图知：，
，所以，，
当时，有最小值，所以，
所以，又因为，所以，
所以，，
所以只需要把图象上所有的点向右平移个单位长度得
，
故选：B
7．（2020·成都七中万达学校高三期中（理））2019年末，武汉岀现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：设事件A：检测5个人确定为“感染高危户”，
事件B：检测6个人确定为“感染高危户”.
∴，.
即.
设，则
，
∴
，
当且仅当即时取等号，
即.
故选：A.
8．（2020·嘉兴市第五高级中学高三月考）设，若数列是无穷数列，且满足对任意实数不等式恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A．存在数列为单调递增的等差数列 B．存在数列为单调递增的等比数列
C．恒成立 D．
【答案】D
【详解】
因为，，
当时，，解得。
当时，因为，所以，解得。
因为无穷数列，对任意实数不等式恒成立，
所以。
对选项A，若为单调递增的等差数列，设，
则，故A错误；
对选项B，若为单调递增的等比数列，设，
则，故B错误；
对选项C，因为，设，取，则，，显然不成立；故C错误；
对于选项D：当时，由，显然恒成立，
假设当时，成立，则当时，故恒成立，故D正确.
故选：D
四、 、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．（2020·福建莆田市·莆田一中高三期中）已知，，若圆上存在点满足，实数可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】ABC
【详解】
以为直径的圆方程为，
，则，∴在以为直径的圆上．
由题意以为直径的圆与已知圆有公共点，
∴，解得．ABC均满足，D不满足．
故选：ABC．
10．（2020·全国高三专题练习）2020年初以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来手机的实际销量，如下表所示：
月份
2020年2月
2020年3月
2020年4月
2020年5月
2020年6月
月份编号
1
2
3
4
5
销量部
37
104

196
216
若与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．与正相关
C．与的相关系数为负数
D．8月份该手机商城的手机销量约为36.5万部
【答案】AB
【详解】
由表中数据，计算得，所以，
于是得，解得，故A正确；
由回归方程中的的系数为正可知，与正相关，且其相关系数，故B正确，C错误；
8月份时，，（万部），故D错误．
故选：AB．
11．（2020·福建省福州第一中学高三开学考试）已知函数，在上的最大值为M，则下面给出的四个判断中，正确的有（ ）
A．最小正周期为 B．M有最大值
C．M有最小值 D．图象的对称轴是直线：
【答案】CD
【详解】
函数，
对于A：，，
当，，当，与不一定相同，故A错误；
对于B和C：在上递增，则，
当，即，则在上的最大值为，在上递减，则；
当，即，则在上的最大值为，在上递增，则；
当，即，
当，即，则在上的最大值为；
当，即，则在上的最大值为，在上递增，则；
当，即，则在上的最大值为，在上递减，则；
综上：M有最小值为，无最大值，故C正确；
对于D：，，
则，图象的对称轴是直线，故D正确.
故选：CD
12．（2020·烟台市教育科学研究院高二期末）已知函数，下述结论正确的是（ ）
A．存在唯一极值点，且
B．存在实数，使得
C．方程有且仅有两个实数根，且两根互为倒数
D．当时，函数与的图象有两个交点
【答案】ACD
【详解】
对进行求导可得：
，显然为减函数，
，
故存在，使得，
并且，，为增函数，
， ，为减函数，
故为极大值点，所以A正确；
所以，
可得：，
因为，所以，故B错误，
若是的一解，即，
则，
故和都是的解，故C正确，
由，可得，
令，
，
令 ，
因为，所以，
故为减函数，
而，
所以当，，即，为增函数
，，即，为减函数，
所以，
故当，有两个解，故D正确.
故选：ACD.
五、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2020·合肥市第六中学高三期中（理））函数的图象在点处的切线方程为______.
【答案】
【详解】
由题意，函数，可得，
则，解得，
所以，可得，切点坐标为，
又由，可得，即切线的斜率为，
所以切线的方程为，即.
故答案为：.
14．（2020·洛阳理工学院附属中学高三月考（理））已知，则的值是______．
【答案】
【详解】
由，得
由两边平方可得：
解得
故答案为：
15．（2020·河北衡水市·衡水中学高三月考）已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】
若函数有四个零点，需和有四个交点，
作出函数和的图象如下图所示，

当时，由图象可得，显然不满足题意；
当时，
因为直线恒过点，设与相切于点，
则，，由，得，所以，解得，，即当时，函数和有两个交点.
当时，若与有两个交点，需方程有两个不相等的实根，即方程有两个不相等的实根，
所以只需，解得或，所以；
综上时，函数有四个零点.
故答案为：
16．（2020·湖北武汉市·高二期中）已知圆：，：，过原点作一条射线与圆相交于点，在该射线上取点，使得，圆圆周上的点到点的距离的最小值为，则满足该条件的点所形成的轨迹的周长为___________；的最小值为_________.
【答案】. .
【详解】
第一空：
①当点在圆内时，设，由题意有：，化简得，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故周长为；
②当点在圆外时，设，由题意有：，化简得，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故周长为；
故所求轨迹的长度为.
故答案为：
第二空：
设，则，故，
所以即，
因为在上，故，
整理得到：，故的轨迹为直线且方程为.
①点的轨迹为以为圆心，半径的圆时：
到直线的距离为，
故.
②点的轨迹为以为圆心，为半径的圆时：同①可得，.
综上所述：的最小值为或.
因为，故的最小值为.
故答案为： ； .
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2020·上海虹口区·高三一模）如图所示，､两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向16处，的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离(单位：)与它们每天集中的生活垃圾量(单位：吨)成反比，现估测得､两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨.

（1）当时，求的值；
（2）发电厂尽量远离居民区，要求的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？
【答案】（1）；（2），.
【详解】
（1）根据条件可知：，所以，
所以，所以；
（2）以中点为坐标原点，垂直于方向为轴，建立坐标系如图所示：
设，，因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以的轨迹是圆心为，半径为的位于轴上方的圆，
所以当的面积最大时，此时的坐标为，
所以，.

18．（2020·山西高三期中（文））在正项等比数列中，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且数列的前n项和为.求满足最小正整数n的值.
【答案】（1）；（2）3.
【详解】
（1）∵，∴，
∴或，∵，∴，
∴；
（2）∵，
∴，
，
①－②得，
∴，
由得，
由函数图像得最小正整数n的值为3.
19．（2020·湖南高三月考）某单位招聘员工时，要求参加笔试的考生从道类题和道类题共道题中任选道作答.
（1）求考生甲至少抽到道类题的概率；
（2）若答对类题每道计分，答对类题每道计分，若不答或答错，则该题计分.考生乙抽取的是道类题，道类题，且他答对每道类题的概率为，答对每道类题的概率是，各题答对与否相互独立，用表示考生乙的得分，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为.
【详解】
解：（1）设“考生甲至少抽到道类题”为事件，则
（2）的所有可能取值为，，，，，，
所以，
，
，
，
，
，
所以的分布列为














所以.
20．（2020·河南高二期中（理））如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）证明：连
∵底面为菱形，∴
∵，，∴
∵平面，平面，∴
∵，，，平面，
∴平面
（2）由（1）知，又由，
可得，可得、、两两垂直
令，可得，，
以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系

可得点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
，，
由（1）可知为平面的法向量
设平面的法向量为，
有，取，，
可得
由，，，
有
故平面与平面所成二面角的正弦值为.
21．（2020·四川成都七中高二期中）已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程.
（2）直线与椭圆交于两点.
①求（用实数表示）.
②为坐标原点，若，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）①； ②.
【详解】
（1）∵过，∴，
又，联立，解得，
∴的方程为：.
（2）①联立与，得，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，所以

②∵，∴，
则，直线为：.
联立，得，
∴，，代入，
∴，∴，
∴

∴
又∵

∴，得，
∴，∴.
此时，
∴成立.
由，
∴的面积.
22．（2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考）已知.其中常数.
（1）当时，求在上的最大值；
（2）若对任意均有两个极值点，
（ⅰ）求实数b的取值范围；
（ⅱ）当时，证明：.
【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【详解】
（1）由得，，
求导，，
，，，即
在上单增，且，
即，，在上单减，
.
（2）（ⅰ）求导，
因为对任意均有两个极值点，所以有两个根，
求二阶导，令，得
当时，，单减；当时，，单增，
由有两个根，知，
即对任意都成立，设，求导，
令，得，
当时，，单增；当时，，单减，
，
又，
所以实数b的取值范围是：.
（ⅱ）当时，，，
令，得
当时，，单减；当时，，单增，
又是的两根，且，
，
设，
即，
则
在单增，，即
又，，
又在上单增，
，即，
又在上单减，

令，
则，
在单增，且，
，故在单增
又，，即