新高考数学一轮复习讲练测课件第2章§2.12函数模型的应用 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习讲练测课件第2章§2.12函数模型的应用 (含解析)，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，常见的函数模型，显然A正确B错误等内容，欢迎下载使用。

1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中 的广泛应用.
1.三种函数模型的性质
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　)(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利.(　　)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝lgax(a>1)的增长速度.(　　)(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.(　　)
1.当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是A.y＝5x B.y＝lg5xC.y＝x5 D.y＝5x
结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快.
2.在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y最适合的函数模型是A.y＝2x B.y＝x2－1C.y＝2x－2 D.y＝lg2x
根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意，故选D.
3.某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝ ＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元.
例1　(1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药物 发挥治疗作用B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于 2小时，一定会产生药物中毒C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
用函数图象刻画变化过程
从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；
服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误.
(2)根据一组试验数据画出的散点图如图所示.现有如下5个函数模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝lg2x；⑤y＝ ＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选______.(填序号)
由图可知上述点大体分布在函数y＝lg2x的图象上，故选择y＝lg2x可以近似地反映这些数据的规律.
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
跟踪训练1　如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是下图中的
由函数可知，有三段直线，又当点P在BC上时是减函数，故选A.
例2　(1)(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为( 　 ≈1.259)A.1.5　　　B.1.2　　　C.0.8　　　D.0.6
已知函数模型的实际问题
(2)(2022·莆田质检)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常数.如果2 h后还剩下90%的污染物，5 h后还剩下30%的污染物，那么8 h后还剩下_____%的污染物.
设初始污染物数量为P′，
两式相除得e3k＝3.
已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
跟踪训练2　(1)(多选)(2023·德州模拟)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗　　　　 　　，那么1个感染者传染人数为 (N－V).已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率不可能为A.45%　　　B.55%　　　C.65%　　　D.75%
(2)牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t为时间，单位：分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设一杯开水温度θ1＝100 ℃，环境温度θ0＝20 ℃，常数k＝0.2，大约经过________分钟水温降为40 ℃(参考数据：ln 2≈0.7)A.10　　　B.9　　　C.8　　　D.7
例3　智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0与人的反应时间t1，系统反应时间t2，制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示.当车速为v(米/秒)，且0构造函数模型的实际问题
(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式，并求当k＝2时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒.
(2)若要求汽车在k＝1的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下(单位：米/秒)?
即v2＋20v－800<0，－40构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解.
跟踪训练3　(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了
减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.7
设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.9n－1.由100×0.9n－1<60，得0.9n－1<0.6，则(n－1)ln 0.9故至少需要“打水漂”的次数为6.
(2)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位：万元)之间满足函数关系式x＝3－ .已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司的最大月利润是________万元.
则最大月利润为37.5万元.
1.有一组实验数据如下表所示：
则最能体现这组数据关系的函数模型是A.y＝2x＋1－1　　　B.y＝x3　　　C.y＝2lg2x　　　D.y＝x2－1
将各点(x，y)分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.
2.某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进校园，某学生早上上学骑自行车从家里出发，离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回家取出入证，然后乘坐出租车以更快的速度赶往学校，令x(单位：分钟)表示离开家的时间，y(单位：千米)表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是
中途回家取证件，因此中间有零点，排除A，B，第二次离开家速度更大，直线的斜率更大，故只有C满足题意.
3.农业农村部发布2022年农区蝗虫防控技术方案.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1 200倍大约经过(参考数据：ln 1.06≈0.058 3，ln 1 200≈7.090 1)A.122天 B.124天C.130天 D.136天
由题意可知，蝗虫最初有N0只且日增长率为6%.设经过n天后蝗虫数量达到原来的1 200倍，
∴1.06n＝1 200，
∵n∈N*，∴大约经过122天能达到最初的1 200倍.
4.“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强m与标准声调m0 之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝  ，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，若A同学大喝一声的声强大约相当于100个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为A.0.7米　　　B.7米　　　C.50米　　　D.60米
设B同学的声强为m，喷出的泉水高度为x，则A同学的声强为100m，喷出的泉水高度为70，
相减得2＝14－0.2x⇒0.2x＝12⇒x＝60.
5.大气压强p＝ ，它的单位是“帕斯卡”(Pa,1Pa＝1N/m2)，大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p＝p0e－kh(k＝0.000 126m－1)，p0是海平面大气压强.已知在某高山A1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2， ，那么A1，A2两处的海拔高度的差约为(参考数据：ln 3≈1.099)A.660 m B.2 340 mC.6 600 m D.8 722 m
设A1，A2两处的海拔高度分别为h1，h2，
∴A1，A2两处的海拔高度的差约为8 722 m.
6.(多选)目前部分城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2018年到2021年产生的包装垃圾量如下表：
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
则以下说法正确的是A.选择模型①，函数模型解析式为y＝4× ，近似反映该城市近几年包装 垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系B.选择模型②，函数模型解析式为y＝ ＋4，近似反映该城市近 几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系C.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2023年开始，该城市的包装 垃圾将超过40万吨D.若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024年开始，该城市的包装 垃圾将超过40万吨
∴x－2 018> 10，
∴x>2 023.678 6，即从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确.
7.“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大.现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝ ，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝ .现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________.(保留到个位)(lg 61≈1.79)
∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462.
8.里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__________倍.
M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍.
9.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4由题意得当，0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.
设年生长量为f(x)千克/立方米，
当0所以当010.(2023·保定模拟)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝ ＋k(p>0，k>0)可供选择.(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
由题设可知，两个函数y＝kax(k>0，a>1)，y＝ ＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均为增函数，随着x的增大，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越来越快，而函数y＝ ＋k(p>0，k>0)的值增加得越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求.
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.
11.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝ (其中a为常数)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于参考数据：lg20.75≈－0.4参考时间轴：
A.宋　　　B.唐　　　C.汉　　　D.战国
解得t≈5 730×0.4＝2 292，由2 021－2 292＝－271得，对应时期为战国，所以可推断该文物属于战国.
12.医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式ln kx＝ln k0＋ln(1－e－kt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，对于某种药物，给药时间12 h后，人体内的药物含量为 ，则该药物的消除速度k的值约为(参考数据：ln 2≈0.693) 5 5 5
解得k≈0.115 5.
13.(多选)(2023·济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，则下列结论正确的是A.当x>1时，甲走在最前面B.当x>1时，乙走在最前面C.当01时，丁走在最后面D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型.当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最后面，所以C正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确.
14.已知某电子产品电池充满时的电量为3 000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的　倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是A.(5,6)　　　B.(6,7)　　　C.(7,8)　　　D.(8,9)
A模式用了m小时，电量为3 000－300m，m小时后B模式用了(10－m)小时，
∴2x－1－x<0，令f(x)＝2x－1－x，即求f(x)<0时，x的取值范围.