新高考数学一轮复习讲练测课件第6章§6.2等差数列 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习讲练测课件第6章§6.2等差数列 (含解析)，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，同一个常数，n∈N，a＋b，a1＋n－1d，n－md，①②⇒③，②③⇒①等内容，欢迎下载使用。

1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于____ ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示，定义表达式为_______________________ .(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝ .
an－an－1＝d(常数)(n≥2，
2.等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝ .
(2)前n项和公式：Sn＝ 或Sn＝ .
3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 .(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 的等差数列.(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)S2n－1＝(2n－1)an.
ak＋al＝am＋an
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(　　)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)(3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(　　)(4)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值.(　　)
1.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于A.－2 B.－1 C.1 D.2
∴an＝－2n＋21.∴a10＝－2×10＋21＝1.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于A.12 B.8 C.20 D.16
等差数列{an}中，S4，S8－S4，S12－S8仍为等差数列，即8,20－8，a9＋a10＋a11＋a12为等差数列，所以a9＋a10＋a11＋a12＝16.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为___.
由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，
当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30.
例1　(1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{an}中， ＝a3a6，若该数列的前n项和Sn＝0，则n等于A.10　　　B.11　　　C.12　　　D.13
解得a1＝－6，n＝13.
(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A.3 699块 B.3 474块C.3 402块 D.3 339块
设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成d＝9，a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
跟踪训练1　(1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)A.一尺五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸
由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{an}，设公差为d，∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，
∴芒种日影长为a12＝a1＋11d＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸.
所以3＝1＋2d，解得d＝1.
例2　(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列{ }是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
因为数列{an}的各项均为正数，
设数列{an}的公差为d，
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.
所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列.
判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法.(2)等差中项法.(3)通项公式法.(4)前n项和公式法.
跟踪训练2　已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝ － ，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；
因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2(常数)，∴{cn}是等差数列.
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an＝n.
例3　(1)已知在等差数列{an}中，若a8＝8且lg2( )＝22，则S13等于A.40　　　B.65　　　C.80　　　D.40＋lg25
命题点1　等差数列项的性质
(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2 024－b2 024的值为________.
令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列.设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2.故a2 024－b2 024＝c2 024＝5＋2 023×2＝4 051.
等差数列项的性质的关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质.
跟踪训练3　(1)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于A.2 B.3 C.4 D.5
∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.
所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0，因为a5≠0，a6＝0，
命题点2　等差数列前n项和的性质
由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，
(2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为A.30 B.29 C.28 D.27
∴(n＋1)an＋1＝290.
∴an＋1＝290－261＝29.
等差数列前n项和的常用的性质是：在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
跟踪训练4　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝20，S5＝30，am＝40，则m等于A.6　　　B.10　　　C.20　　　D.40
由S4＝20，S5＝30，得a5＝S5－S4＝10，由等差数列的性质，得S5＝30＝5a3，故a3＝6，而a5－a3＝10－6＝4＝2d，故d＝2，am＝40＝a5＋2(m－5)，解得m＝20.
A.2 023 B.－2 023C.4 046 D.－4 046
∴S2 023＝2 023×2＝4 046，故选C.
1.首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是
an＝－21＋(n－1)d，因为从第8项起为正数，所以a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d>0，
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S50－S47＝12，则S97等于A.198 D.2 023
∵S50－S47＝a48＋a49＋a50＝12，∴a49＝4，
3.已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为A.28 D.31
设等差数列{an}共有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，该数列的中间项为an＋1，又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1，所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29.
4.天干地支纪年法，源于中国.中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为A.己丑年　　　B.己酉年　　　C.丙寅年　　　D.甲寅年
根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38＝3×10＋8，则1949年的天干为己，38＝12×3＋2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年.
5.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3a5＝7a11，且a1>0.则使Sn<0的n的最小值为A.30 D.33
根据题意，设等差数列{an}的公差为d，若3a5＝7a11，且a1>0，则3(a1＋4d)＝7(a1＋10d)，
若Sn<0，必有n2－30n>0，又由n∈N*，则n>30，故使Sn<0的n的最小值为31.
整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列，
这些数列都不一定是等差数列，除非a＝b＝c，但题目中未说明△ABC是等边三角形.
7.(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3＝3S2＋6，则公差d＝______.
由2S3＝3S2＋6，可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.
8.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝_____.
依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，
9.已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，________.若存在正整数n，使得Sn有最小值.从①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.(1)求{an}的通项公式；
选择①作为补充条件：因为a5＝1，a3＝－1，所以d＝1，所以an＝1＋(n－5)×1＝n－4(n∈N*).
选择②作为补充条件：因为a5＝1，d＝2，所以an＝1＋(n－5)×2＝2n－9(n∈N*).
不可以选择③作为补充条件.
(2)求Sn的最小值.
选择①作为补充条件：由(1)可知a1＝－3，
因为n∈N*，所以当n＝3或4时，Sn取得最小值，且最小值为－6.故存在正整数n＝3或4，使得Sn有最小值，且最小值为－6.
选择②作为补充条件：由(1)可知a1＝－7，
所以当n＝4时，Sn取得最小值，且最小值为－16.故存在正整数n＝4，使得Sn有最小值，最小值为－16.不可以选择③作为补充条件.
10.在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；
∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴数列{an}是等差数列，设其公差为d，∵a1＝8，a4＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
设数列{an}的前n项和为Sn，则由(1)可得，
由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，∴当n>5时，an<0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；
当n≤5时，an≥0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，
11.(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有A.a10＝0 B.S10最小C.S7＝S12 D.S20＝0
根据题意，数列{an}是等差数列，若a1＋5a3＝S8，即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d.又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，得a10＝0，故A正确；不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；
得S7＝S12，故C正确；
因为d≠0，所以S20≠0，故D不正确.
13.将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.
将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，
14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为______.
由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7S5，所以a7<0，a6＋a7>0，
所以S12S13<0，即满足SnSn＋1<0的正整数n的值为12.
15.将正奇数排成一个三角形阵，按照如图排列的规律，则第15行第3个数为A.213 B.215 C.217 D.219
则第15行第3个数是数阵的第108个数，即所求数字是首项为1，公差为2的等差数列的第108项，则a108＝1＋(108－1)×2＝215.
16.对于数列{an}，定义Hn＝ 为{an}的“优值”，已知数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，记数列{an－20}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为A.－70 B.－72C.－64 D.－68
∵数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，
∴a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n＋1，∴2n－1an＝n·2n＋1－(n－1)·2n(n≥2)，∴an＝4n－2(n－1)＝2n＋2(n≥2)，又a1＝4，满足上式，∴an＝2n＋2(n∈N*)，∴an－20＝2n－18，