新高考数学一轮复习提升练习考点13 函数的零点及函数的应用 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习提升练习考点13 函数的零点及函数的应用 (含解析)，共30页。

考向13 函数的零点及
函数的应用

1．（2020·海南高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【分析】
根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】
因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】
本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
2．（2020·天津高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】
注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.


【点晴】
本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.


1.判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,主要利用函数零点的存在性定理进行判断.首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
2.判断函数y=f(x)的零点个数时,常用以下方法:
(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,判断函数零点的个数;
(2)根据函数的性质结合已知条件进行判断;
(3)通过数形结合进行判断,画函数图象,观察图象与x轴交点的个数来判断.
3.已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.
4.解决函数应用问题的步骤
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.


1.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根.
2.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标.

【知识拓展】
判断函数零点个数的方法:
(1)利用零点存在性定理判断法;
(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根;
(3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.



1．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）函数在上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数，方程有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）（多选题）在下列区间中，函数一定存在零点的区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）已知函数有两个不同的零点，则实数k的取值范围是_________.

1．（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高三其他模拟）“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米．已知污染源以每天个单位污染河水，某一时段（单位：天）河水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（参考数据：）（ ）
A．1个月 B．3个月 C．半年 D．1年
3．（2021·重庆高三三模）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）若曲线与轴有且只有2个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知函数，若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若没有零点，则
B．当时，恰有1个零点
C．当恰有2个零点时，的取值范围为
D．当恰有3个零点时，的取值范围为
6．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）若函数的所有零点之和为0，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·四川德阳市·高三二模（文））已知向量，，函数，若关于的方程至少有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·安徽高三其他模拟（文））记分别为函数的导函数.若存在x0∈R，满足f(x0)=g(x0)且，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“真实点”，若函数与有且只有一个真实点"，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知函数是定义域为的偶函数，且是奇函数，当时，有，若函数的零点个数为5，则实数取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．（2021·山东济南市·高三其他模拟）（多选题）若函数f(x)＝恰有两个零点，则正整数m的取值可能为（ ）
A．1 B．2 C．15 D．16
11．（2021·上海市七宝中学高三一模）对核污染水的处理是当今全球环境治理的热点问题之一，某环保企业准备研发一款设备用于处理核污染水中的放射性碘，研发启动时投入资金为A(A为常数)元，之后每年会投入一笔研发资金，n年后总投入资金记为.经计算发现当时，近似地满足，其中，p，q为常数，.已知3年后总投入资金为研发启动时投入资金的3倍.问
（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；
（2）研发启动后第几年的投入资金的最多.
12．（2021·山东济南市·高三一模）已知函数.
（1）若，求的最小值；
（2）若恰好有三个零点，求实数的取值范围.


1．（2020·全国高考真题（理））若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2010·浙江高考真题（理））设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是
A． B． C． D．
3．（2019·全国高考真题（文））函数在的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2020·全国高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
5．（2019·浙江高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A． B．
C． D．
6．（2021·北京高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，则有两个零点；
②，使得有一个零点；
③，使得有三个零点；
④，使得有三个零点．
以上正确结论得序号是_______．
7．（2019·江苏高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
8．（2019·北京高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
9．（2015·上海高考真题（文））
如图，O,P,Q三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时.乙到达Q地后原地等待.设时乙到达P地.时乙到达Q地.

（1）求与的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由.
10．（2018·全国高考真题（文））已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：只有一个零点．




1．【答案】C
【分析】
在时，解方程，即可得解.
【详解】
当时，由.
若，可得、、；
若，可得、、、.
综上所述，函数在上的零点个数为.
故选：C.
2．【答案】B
【分析】
根据已知条件对进行分类讨论：、，然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围，确定出方程有两解时所满足的不等式，由此求解出的取值范围.
【详解】
因为，所以且，
当时，在时单调递增，所以；
又在时单调递增，且，
因为方程有两解，所以，所以；
当时，在时单调递减，；
又在时单调递增，，
因为方程要有两解，所以，此时不成立.
综上可得，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：根据方程解的个数求解参数范围的常见方法：
方法（1）：将方程解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过图象直观解答问题；
方法（2）：若方程中有指、对数式且底数为未知数，则需要对底数进行分类讨论，然后分析的单调性并求解出其值域，由此列出关于参数的不等式，求解出参数范围.
3．【答案】ABD
【分析】
本题首先可通过求导得出函数在上是增函数、在上是减函数以及，然后通过函数的单调性以及零点存在性定理对四个选项依次进行判断，即可得出结果.
【详解】
，，
当时，，函数在上是增函数；
当时，，函数在上是减函数，
，
A项：，，
因为，所以函数在内存在零点，A正确；
B项：，，
因为，，所以函数在内存在零点，B正确；
C项：，，，
因为，所以函数在内不存在零点，C错误；
D项：，，，
则函数在内存在零点，D正确，
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数零点所在区间的判断，考查零点存在性定理的应用，若函数在区间上满足，则函数在区间上有零点，考查利用导数求函数单调性，考查推理能力与计算能力，是中档题.
4．【答案】
【分析】
令，根据解析式，求得t的范围，将有两个不同的零点，转化为曲线（个单位圆）与经过定点的直线有两个不同交点，分别作出图象，数形结合，即可求得答案.
【详解】
令，则由函数的定义域知，解得，且为增函数，
所以函数有两个不同的零点转化为关于t的方程在区间上有两个不等实根，
即曲线（个单位圆）与经过定点的直线有两个不同交点.
如图，设过点P的直线与曲线相切于点A，连接OA.
设切线的方程为，即.
由，得，解得（正值已舍去）.
又易得直线的斜率是，
故，解得，
即实数k的取值范围是.
故答案为：

【点睛】
解题的关键是将方程求根问题，转换为求两图象交点问题，在根据直线与圆的位置关系，求得参数范围，考查分析理解，数形结合思想，属基础题.

1．【答案】C
【分析】
根据零点存在性定理，若在区间有零点，则，逐一检验选项，即可得答案.
【详解】
由题意得为连续函数，且在单调递增，
，，，
根据零点存在性定理，，
所以零点一定位于区间.
故选：C
2．【答案】C
【分析】
由题可知：，化简得出结论.
【详解】
由题可知：
∴
∴
∴（天）
∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年.
故选：C.
3．【答案】B
【分析】
函数的零点直接求解即可，函数的零点利用零点存在性定理求解即可，从而可得答案
【详解】
解：令，则，得，即，
令，则，得，即，
因为函数在上为增函数，且，所以在区间存在唯一零点，且，
综上，，
故选：B
4．【答案】D
【分析】
作出函数与的图象，对参数分类讨论，得出结论.
【详解】
解：作出函数与的图象，

当时，只有B一个零点；
当时，有A,B两个零点；
当时， 有A一个零点；
当时，有A,C两个零点；
综上，实数的取值范围是：或，
故选：D.
5．【答案】D
【分析】
作出的图象，令，可得或，分别讨论在、、、、、、、和情况下，和图象与图象交点个数，即可得零点个数，综合分析，即可得答案.
【详解】
作出的图象，如图所示：

令，即，
可得或，即或，
当时，和均无解，此时无零点，
当时，有且仅有一个根x=-1，无解，此时有一个零点，故A错误；
当时，图象与图象有2个交点，即有2个根，
，图象与无交点，即无解，此时有2个零点；
当时，图象与图象有3个交点，即有3个根，
，图象与无交点，即无解，此时有3个零点；
当时，图象与图象有2个交点，即有2个根，
图象与图象有1个交点，此时有3个零点；故B错误
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
，图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点；
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
，图象与图象有3个交点，即有3个根，此时有4个零点；
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点；
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
，图象与图象有1个交点，即有1个根，此时有2个零点，故C错误；
综上可得：当恰有3个零点时，的取值范围为，故D正确.
故选：D
【点睛】
解题的关键是将函数零点问题，转化为图象求交点问题，分别讨论m的范围，数形结合，即可得答案，考查分段讨论，分析整理的能力，属中档题.
6．【答案】A
【分析】
先根据分段函数的形式确定出时的零点为，再根据时函数解析式的特点和导数的符号确定出图象的“局部对称性”以及单调性，结合所有零点的和为0可得，从而得到参数的取值范围.
【详解】
当时，易得的零点为，
当时，，
∵当时，，∴的图象在上关于直线对称.
又，
当时，，故单调递增，
当时，，故单调递减，且，.
因为的所有零点之和为0，故在内有2个不同的零点，
且，解得.
故实数a的取值范围为．
故选：A．
【点睛】
关键点睛：本题考查分段函数的零点，已知函数零点的个数求参数的取值范围时，关键根据解析式的特点和导数寻找函数图象的对称性和函数的单调性，最后根据零点的个数得到特殊点处函数的符号.
7．【答案】B
【分析】
首先求出，然后研究函数的性质，并作出函数图象，将关于的方程至少有两个实数根转化为函数和至少有两个交点，数形结合即可得出结果.
【详解】
，
而
由于，所以为奇函数，
考虑，，
故在上单调递增，在上单调递减，
，所以的大致图象如图：

直线过定点，
过和的直线的斜率为，
由图可知时，函数和至少有两个交点，
即方程至少有两个实数根.
故选：B.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
8．【答案】A
【分析】
与有且只有一个真实点"，则f(x0)=g(x0)且的方程只有一个解，即，结合即可求解．
【详解】
由函数，，得，，
设x0为f(x)与g(x)的“真实点”，由f(x0)=g(x0)且，得，
即，得，
由于函数与有且只有一个“真实点”，
从而只有一解，故，解得b=0，此时，．
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题的关键在于由与有且只有一个真实点"，转化为方程有唯一解问题．
9．【答案】C
【分析】
函数的零点个数为5等价于与的图像交点的个数为5，然后作出函数图象，数形结合即可得出结果.
【详解】
∵偶函数，，是奇函数，得，即
，，得，，即与的图像交点的个数，因为，即为与的图像交点的个数，因为
的图像为半圆，故由图像可知斜率应该在与之间或为，

或，

故选：C.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
10．【答案】AD
【分析】
函数零点转化为方程解，每个选项验证即可解决此题．
【详解】
函数f(x)的零点即为方程f(x)＝0的解．
当m＝1时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣1＝0，解得：x＝0；
当x≥2时，2021（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x＝1或3，只取x＝3．
∴函数有两个零点0或3．∴A对；
当m＝2时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣2＝0，解得：x＝；
当x≥2时，2021（x﹣2）（x﹣6）＝0，解得：x＝2或6．
∴函数有三个零点或2或6．∴B错；
当m＝15时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣15＝0，解得：x＝log415＜2；
当x≥2时，2021（x﹣15）（x﹣45）＝0，解得：x＝15或45．
∴函数有三个零点log415或15或45．∴C错；
当m＝16时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣16＝0，解得：x＝2不成立；
当x≥2时，2021（x﹣16）（x﹣48）＝0，解得：x＝16或48．
∴函数有两个零点16或48．∴D对；
故选：AD．
11．【答案】（1）研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第5年的投入资金增长的最多.
【分析】
（1）已知，，代入解析式求得，由可得；
（2）求出第年的投入资金，然后由基本不等式得最大值．
【详解】
解：（1）由题意知，.
所以解得.所以.
令，得，解得，
即，所以，
所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍.
（2）由（1）知
第n年的投入资金.


当且仅当，即等号，此时.
所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多.
【点睛】
思路点睛：本题考查数列的应用，解题关键是由已知数据求出表达式中的参数值，然后由表达式进行计算求解．第（2）解答时注意问题是第年投入资金，因此为，再由基本不等式求最值，但要注意等号成立的条件．
12．【答案】（1）最小值为；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，确定函数的单调性后可得最小值；
（2）确定，时只有一个零点，因此在上有两个零点，由二次函数的性质可得．
【详解】
（1）时，.
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
此时的极小值为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
此时的极小值为；
因为，所以的最小值为；
（2）显然；
因为时，有且只有一个零点，
所以原命题等价于在上有两个零点.
所以，解得，
故实数的取值范围是.
【点睛】
关键点点睛：本题考查求函数的最值，由零点个数求参数值．解题关键是求出导函数，由导函数的正负确定单调性后得极值，比较后得最值．


1．【答案】B
【分析】
设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.
【详解】
设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
【点晴】
本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
2．【答案】A
【详解】
，因为，所以，，因此在上有零点，故在上有零点；
，而，即，因此，故在上一定存在零点；
虽然，但，又，即，从而，于是在区间上有零点，也即在上有零点，
排除B，C，D，那么只能选A．
3．【答案】B
【分析】
令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】
由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
【点睛】
本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．
4．【答案】B
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】
由题意，第二天新增订单数为，
，故至少需要志愿者名.
故选：B
【点晴】
本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
5．【答案】C
【分析】
当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】
当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．

【点睛】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
6．【答案】①②④
【分析】
由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】
对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.

故答案为：①②④.
【点睛】
思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
7．【答案】.
【分析】
分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.
【详解】
当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
【点睛】
本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.
8．【答案】130. 15.
【分析】
由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.
【详解】
(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
【点睛】
本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
9．【答案】（1），千米；（2）没有超过3千米.
【详解】
（1），设此时甲运动到点R，则千米，
所以千米.
（2）当时，乙在上的N点，设甲在M点，
所以，，
所以，
当时，乙在Q点不动，设此时甲在M点，
所以.
所以.
所以当 时,，故的最大值没有超过了3千米.
考点：余弦定理的实际运用，函数的值域.
10．【答案】（1）f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．
（2）见解析.
【详解】
分析：（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间；（2）令，即，则将问题转化为函数只有一个零点问题，研究函数单调性可得.
详解：（1）当a=3时，f（x）=，f ′（x）=．
令f ′（x）=0解得x=或x=．
当x∈（–∞，）∪（，+∞）时，f ′（x）>0；
当x∈（，）时，f ′（x）<0．
故f（x）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．
（2）由于，所以等价于．
设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．
又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点．
综上，f（x）只有一个零点．
点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.
（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.