新高考数学一轮复习提升练习考向35 空间向量及其运算和空间位置关系 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习提升练习考向35 空间向量及其运算和空间位置关系 (含解析)，共25页。试卷主要包含了空间向量的数量积及运算律，②交换律，空间向量的坐标表示及其应用等内容，欢迎下载使用。
考向35  空间向量及其运算和空间位置关系1．（2021·全国高考真题）（多选题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面【答案】BD【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．【详解】易知，点在矩形内部（含边界）．对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．故选：BD．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量 相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量  2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)．②交换律：a·b＝b·a.③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角余弦值cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝ 5.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．(3)位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0【知识拓展】．（2021·江苏高三）已知数组，，，则（　　）A．1 B．—1 C．2 D．2．（2022·全国高三专题练习（理））三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（    ）A． B．1 C． D．与点位置有关系3．（2021·余干县第三中学（理））正方体中，，下列说法正确的有________.（1）异面直线与所成的角为；（2）为的中点，平面截正方体所得截面面积为；（3）三棱锥的外接球半径为；（4）在上，，正方体8个顶点中与点的距离为的点有4个.4．（2021·河南郑州·高三（文））如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值围是_______________________．  1．（2020·江苏高三）已知三维数组，，且，则实数（    ）A．-2 B．-9 C． D．22．（2022·全国高三专题练习（理））在棱长为2的正方体中，点平面，点F是线段的中点，若，则面积的最小值为（    ）A． B． C． D．3．（2021·上海高三）如图，面，为矩形，连接､､､､，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与4．（2018·浙江高考模拟）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）A． B．C． D．5．（2020·天津市第四中学高三）已知O为坐标原点，向量，点.若点E在直线上，且，则点E的坐标为（    ）A． B． C． D．6．（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三）（多选题）设所有空间向量的集合为，若非空集合满足：①，，②，，，则称为的一个向量次空间，已知，均为向量次空间，则下列说法错误的是（    ）A．B．为向量次空间C．若，则D．若，则，总且，使得7．（2021·全国高三）（多选题）在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）A．B．存在点，使得C．三棱锥的体积为D．直线与平面所成角的余弦值为8．（2021·山东济宁市·高三）（多选题）如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法止确的是（ ）A．四面体的体积是定值B．的取值范围是C．若与平面所成的角为，则D．若三棱锥的外接球表面积为，则9．（2021·全国）（多选题）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，如图所示，点分别为线段的中点，则 （    ）
 A．与所成得角为B．C．过且与平行得平面截四面体所得截面的面积为D．四面体的外接球的表面积为10．（2021·北京海淀·）已知边长为1的正方体，为中点，为平面上的动点，若，则三棱锥的体积最大值为_______．11．（2020·全国高三专题练习）已知长方体，，，在上取一点M，在上取一点N，使得直线平面，则线段MN的最小值为________.12．（2021·全国高三专题练习（理））在四棱锥中，四边形是边长为4的菱形，，.（1）证明：平面；（2）如图，取的中点为，在线段上取一点使得，求二面角的大小. 1．（2012·陕西高考真题（理））如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）A． B． C． D．2．（2018·全国高考真题（理））在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．3．（2008·福建高考真题（理））如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．4．（2014·广东高考真题（理））已知向量，则下列向量中与成的是A． B． C． D．5．（2011·上海高考真题（理））设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为（ ）A．0 B．1 C．5 D．106．（2012·四川高考真题（文））如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．7．（2015·四川高考真题（理））如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为   .8．（2016·浙江高考真题（文））如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______．9．（2008·宁夏高考真题（理））已知向量，且，则____________．10．（2007·安徽高考真题（理））在正四面体O－ABC中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用表示)．11．（2011·江苏高考真题）如图，在正四棱柱中， ，点是 的中点，点在 上，设二面角的大小为 ．
 （1）当时，求 的长；（2）当时，求 的长．  1．【答案】C【分析】由空间向量数量积的坐标运算可得答案.【详解】因为，，，所以，.故选：C.2． 【答案】A【分析】先证明面，得到，再根据空间向量的线性运算和数量积的定义，计算即可.【详解】如图所示，取的中点，连接，和都是等边三角形，，，面，面，，在中，，，由余弦定理，.故选：A3．【答案】（1）（2）（3）【分析】本题可构建空间直角坐标系，然后写出每个顶点的坐标，连接、、、，通过异面直线所成角的定义得出异面直线与所成角即，通过三角形是等边三角形即可得出（1）正确，然后通过平面截正方体所得截面即矩形得出（2）正确，再然后通过三棱锥的外接球即正方体的外接球得出（3）正确，最后通过空间向量求出正方体8个顶点中与点的距离，即可得出（4）错误.【详解】如图，做空间直角坐标系，则、、、、、、、，（1）如图，连接、、、，因为由正方体性质易知，所以异面直线与所成角即（或补角），因为，所以三角形是等边三角形，，则异面直线与所成的角为，（1）正确；（2）如图，作中点、的中点，连接、、，结合图像易知，平面截正方体所得截面即矩形，，，矩形的面积，（2）正确；（3）如图，连接、，三棱锥的外接球即正方体的外接球，则外接球半径，（3）正确；（4）如图，因为，所以，则，，，，，，，，，，，，，，，，故正方体8个顶点中与点的距离为的点有3个，（4）错误，故答案为：（1）、（2）、（3）.【点睛】关键点点睛：本题考查异面直线所成角、截面、几何体的外接圆以及两点间距离的求法，可通过找平行线的方式求出异面直线所成角，考查空间向量的灵活应用，考查数形结合思想，体现了综合性，是难题.4．【答案】【分析】首先确定弦过球心，再通过建立空间直角坐标系，利用坐标法得到，再通过构造几何意义求的最大值和最小值.【详解】当弦的长度最大时，弦过球心，如图，建立空间直角坐标系，不妨设是上下底面的中心，则，，，，，则 ，而表示点和定点距离的平方，很显然正方体的顶点到定点距离的平方最大，最大值是 正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是，所以的最小值是，最大值是.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题第一个关键点是确定过球心，利用对称性设，，第二个关键点是构造两点间距离的几何意义求最大值和最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用勾股定理逆定理计算证明，，进而利用线面垂直判定定理证得平面，从而，在计算证得，得到平面，从而，证得平面；（2）以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.【详解】（1）因为，，所以，所以，又因为为平行四边形，所以，，因为，，，所以，所以，因为，所以平面，所以，因为，，，所以，所以，因为，所以平面，所以，因为，所以平面.（2）由（1）知，，，两两垂直，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在三角形中，，则，，，，，，所以，因为，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，于是取，又由（1）知，底面为正方形，所以，因为平面，所以，因为，所以平面，所以是平面的一个法向量，设二面角的大小为，则，所以二面角的大小为. 1．【答案】A【详解】设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝ 2．【答案】C【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.3．【答案】D【详解】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1）∴ =（-2，0，1）， =（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为考点：直线与平面所成的角4．【答案】B【详解】试题分析：对于A选项中的向量，，则；对于B选项中的向量，，则；对于C选项中的向量，，则；对于D选项中的向量，此时，两向量的夹角为.故选B.【考点定位】本题考查空间向量数量积与空间向量的坐标运算，属于中等题.5．【答案】B【详解】考点：向量的加法及其几何意义．分析：根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点．解：根据所给的四个向量的和是一个零向量，当A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点确定以后，在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量，故选B．6．【答案】【详解】试题分析：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，即异面直线A1M与DN所成角的大小是考点：异面直线所成的角7．【答案】【详解】建立坐标系如图所示.设，则.设，则，由于异面直线所成角的范围为，所以.，令，则，当时取等号.所以，当时，取得最大值.考点：1、空间两直线所成的角；2、不等式.8．【答案】【分析】试题分析：设直线与 所成角为 ． 设是 中点，由已知得 ，如图，以 为 轴， 为 轴，过 与平面 垂直的直线为 轴，建立空间直角坐标系，由 ， ， ，作 于 ，翻折过程中，始终与 垂直，，则 ， ，因此可设 ，则 ，与 平行的单位向量为 ，所以＝，所以 时， 取最大值 ．考点：异面直线所成角．9．【答案】3【分析】利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可.【详解】因为，所以，可得，因为，解得，故答案为3.10．【答案】【详解】因为在四面体中，为的中点，为的中点， ，故答案为.11．【答案】（1）（2）【分析】以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，建立空间直角坐标系，设点，计算出平面的法向量．（1）计算出平面的法向量，将二面角为直二面角转化为，求出的值，再利用空间中两点间的距离公式求出；（2）由已知条件得出，计算的值，则利用空间两点见的距离公式可得出的值．【详解】以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) )，设M(0，1,z),面MDN的法向量，设面A1DN的法向量为，则，即，取，则，，则．（1）由题意：，则，取，；（2）由题意：，即，取，则，，，.【点睛】本题考查平面与平面垂直、空间中两点间的距离以及二面角的求法，对于二面角的求解，关键是要找到合适的位置建立空间直角坐标系，并求出相应的法向量，考查空间想象能力与运算能力，属于中等题．