新高考数学一轮复习提升练习考向37 直线与方程 (含解析)

考向37  直线与方程

1．（2021·山东高考真题）如下图，直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线与轴交点为求解.

【详解】

由图可得直线的倾斜角为30°，

所以斜率，

所以直线与轴的交点为，

所以直线的点斜式方程可得：，

即．

故选：D

2．（2021·全国高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．

【答案】

【分析】

结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.

【详解】

由题意，，则，

所以点和点，,

所以，

所以，

所以，

同理,

所以.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.

1. 求直线方程一般有以下两种方法：

①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．

②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．

在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用．

一、直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.

二、直线的斜率

(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．

(2)过两点的直线的斜率公式

如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.

三、直线方程的五种形式

四、两条直线的平行与垂直

1．两条直线平行

(1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.

(2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

2．两条直线垂直

(1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.

五、两条直线的交点坐标

已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．

【知识拓展】

三种距离公式

1．两点间的距离公式

(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．

(2)结论：|P1P2|＝.

(3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.

2．点到直线的距离

点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

3．两条平行直线间的距离

两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.

1．（2021·江苏高二专题练习）与直线关于轴对称的直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

2．（2021·全国高三）已知直线：（），：，若，则与间的距离为（    ）

A． B． C．2 D．

3．（2021·全国高二课时练习）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______．

4．（2022·全国）设，是正数，若两直线和恒过同一定点，则的最小值为__________．

1．（2021·全国高二专题练习）已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·江苏高二专题练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（    ）

A． B．

C． D．

3．（2021·全国）已知直线，.则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（2021·全国高二专题练习）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·全国（文））“直线与直线平行”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（2021·全国高二专题练习）已知直线与直线垂直，则a＝（    ）

A．3 B．1或﹣3 C．﹣1 D．3或﹣1

7．（2021·全国高三专题练习（理））已知，，直线，，且，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C． D．

8．（2021·全国高三专题练习（理））已知点P与点的距离不大于1，则点P到直线的距离最小值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

9．（2021·江苏高二专题练习）已知实数m，n满足，则直线必过定点________________．

10．（2021·全国高二单元测试）若直线和互相垂直，则实数_____________.

11．（2021·全国高二专题练习）已知直线：，：，，若，则___________.

12．（2021·江苏高二专题练习）点到直线距离的最大值为___________.

1．（2020·山东高考真题）直线关于点对称的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2020·山东高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

3．（2020·全国高考真题（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．2

4．（2008·全国高考真题（理））等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为

A．3 B．2 C． D．

5．（2007·浙江高考真题（理））直线关于直线对称的直线方程是（ ）

A． B．

C． D．

6．（2008·福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（2008·四川高考真题（理））直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为(

A． B．

C． D．

8．（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为

A． B．

C． D．

9．（2016·北京高考真题（文））已知A（2,5），B（4,1）.若点P（x,y）在线段AB上，则2x−y的最大值为

A．−1 B．3 C．7 D．8

10．（2014·四川高考真题（文））设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是

A． B． C． D．

11．（2021·湖南高考真题）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为___________

12．（2008·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：__________________________．

13．（2016·上海高考真题（文））已知平行直线，则的距离是_______________.

1．【答案】B

【分析】

把方程中换成，整理即得．

【详解】

直线关于轴对称的直线的方程为，即．

故选：B．

2．【答案】B

【分析】

由直线平行的结论列方程求，再由平行直线的距离公式求两直线的距离.

【详解】

由得，解得，

所以直线：，即，

所以与间的距离为，

故选B．

3．【答案】和.

【分析】

根据题意，设正方形一边所在直线的倾斜角为，得到，得出对角线所在直线的斜率为，结合两角和的正切公式，求得，再结合两直线的位置关系，即可求解.

【详解】

设正方形一边所在直线的倾斜角为，其斜率，

则其中一条对角线所在直线的倾斜角为，其斜率为，

根据题意值，可得，解得，

即正方形其中一边所在直线的斜率为，

又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为.

故答案为：和.

4．【答案】

【分析】

根据直线方程求出所过定点坐标，将定点坐标代入的方程可得，将展开利用基本不等式即可求解.

【详解】

直线的方程可化为，

显然该直线恒过两直线和的交点，

由可得，

所以直线恒过点，

所以点也在直线上，故，即．

因为，是正数，所以

，

当且仅当，即，时等号成立，

故答案为：.

1．【答案】D

【分析】

先由两直线垂直利用直线的一般式解出的值，再代入交点坐标联立方程组求出未知数即可.

【详解】

由两直线垂直得，

解得，

所以原直线一可写为，

又因为垂足为同时满足两直线方程，

所以代入得，

解得，

所以，

故选:D

2．【答案】D

【分析】

根据线段AB的中点坐标和直线AB的斜率求出线段AB的垂直平分线，结合欧拉线的定义即可得出结果.

【详解】

线段AB的中点为M（1，2），kAB=﹣2，∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．

∵AC=BC，∴的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．

故选：D．

3．【答案】B

【分析】

由，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】

由题意，直线，直线，

因为，可得，解得，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

4．【答案】A

【分析】

根据直线的垂直关系可求得直线的斜率为，所以，即可求得.

【详解】

由垂直知两直线的斜率之积为，而直线的斜率为，

得直线的斜率为，即，得为钝角，

所以.

故选：A

5．【答案】C

【分析】

根据两直线平行得到或，再利用充分必要条件的定义判断即可.

【详解】

当直线与直线平行,

，

解得或，

当，直线和直线重合，舍去，所以.

根据充分条件、必要条件的定义可得，

“直线与直线平行”是“”的充分必要条件

故选：C

6．【答案】D

【分析】

根据，得出关于的方程，即可求解实数的值.

【详解】

直线与直线垂直，

所以，解得或.

故选：D.

7．【答案】D

【分析】

根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.

【详解】

因为，所以，即，

因为，，所以，，

所以

，

当且仅当，时，等号成立．

故选：D.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

8．【答案】B

【分析】

依题意知点P的轨迹为以为圆心半径为1的圆面，则点P到直线的距离最小值为圆心到直线的距离减去半径．

【详解】

设点，则，

圆心到的距离为

则点P到直线的距离最小值为

故选：B

9．【答案】

【分析】

将代入直线得，由即可得结果.

【详解】

由已知得，

代入直线得，

即，

由，解得，

直线必过定点，

故答案为:.

10．【答案】6

【分析】

根据两直线垂直的条件求解．

【详解】

因为直线和互相垂直，所以，所以．

故答案为：6．

11．【答案】或

【分析】

根据直线一般式时的平行关系求解并检验即可得答案.

【详解】

∵，

∴ ，解得：或 ，

检验，当时，：，：满足题意；

当时，：，：满足题意

故答案为：或

【点睛】

两直线位置关系的判断： 和的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：

垂直： ；

平行： ，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验.

12．【答案】

【分析】

直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离为.

【详解】

解：直线恒过点，

则点到直线的距离的最大值为点到点的距离，

∴点到直线距离的最大值为：

.

故答案为：.

1．【答案】D

【分析】

设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.

【详解】

设对称的直线方程上的一点的坐标为，

则其关于点对称的点的坐标为，

因为点在直线上，

所以即.

故选：D.

2．【答案】D

【分析】

本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.

【详解】

结合图像易知，，，

则角是第四象限角，

故选：D.

3．【答案】B

【分析】

首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.

【详解】

由可知直线过定点，设，

当直线与垂直时，点到直线距离最大，

即为.

故选：B.

【点睛】

该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.

4．【答案】A

【详解】

，，设底边为

由题意，到所成的角等于到所成的角于是有，

再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A．

5．【答案】D

【分析】

设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．

【详解】

设所求直线上任一点（），则它关于对称点为在直线上，∴化简得故选答案D．

故选D．

【点睛】

本题考查了相关点法：求轨迹方程法属于基础题．

6．【答案】C

【详解】

直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选C

7．【答案】A

【详解】

∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰（Ｃ），（D）

又∵将向右平移１个单位得，即 故选A；

【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；

【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；

8．【答案】C

【分析】

为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.

【详解】

为单位圆上一点，而直线过点，

所以的最大值为，选C.

【点睛】

与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．

9．【答案】C

【详解】

由题意得，线段AB的方程：，，

∴，

当时等号成立，即的最大值为7.

故选：C.

【点睛】

求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④导数法；⑤不等式法；⑥图象法．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．

10．【答案】B

【详解】

试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，令，则

.因为，所以.所以，.选B.

法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.

【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.

11．【答案】

【分析】

根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.

【详解】

由可得，

所以圆心为，

由可得，所以直线的斜率为，

所以与直线垂直的直线的斜率为，

所以所求直线的方程为：，即，

故答案为：.

12．【答案】

【详解】

本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想．

事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程．

13．【答案】

【详解】

试题分析：

利用两平行线间的距离公式得.

【考点】两平行线间距离公式

【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数必须相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.