新高考数学一轮复习提升练习考向38 圆的方程 (含解析)

考向38  圆的方程

1．（2021·全国高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ）

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

【答案】ABD

【分析】

转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.

【详解】

圆心到直线l的距离，

若点在圆C上，则，所以，

则直线l与圆C相切，故A正确；

若点在圆C内，则，所以，

则直线l与圆C相离，故B正确；

若点在圆C外，则，所以，

则直线l与圆C相交，故C错误；

若点在直线l上，则即，

所以，直线l与圆C相切，故D正确.

故选：ABD.

2．（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．

【答案】

【分析】

由于是圆，可得，通过圆心和半径计算，即得解

【详解】

由于是圆，

即：圆

其中圆心为，半径为4

那么椭圆的长轴长为8，即，，，

那么短轴长为

故答案为：

1.确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为

(1)根据题意,选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组；

(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．

2.求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说,求圆的方程有两种方法：①几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直于切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线．②代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解．

3.与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．常用结论有：

(1)圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于,最小值等于.

(2)圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径,最小值等于点C到直线l距离的最小值减去半径.

(3)设点M是圆C内一点,过点M作圆C的弦,则弦长的最大值为直径,最小的弦长为.

4.与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题,可转化为动点到定点(a,b)的距离平方的最值问题．

5.与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.

6.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法.

①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．

②定义法：根据圆、直线等定义列方程．

③几何法：利用圆的几何性质列方程．

④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式．

1、圆的方程

/2、点与圆的位置关系

【知识拓展】

1、当D2+E2－4F = 0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0表示一个点；当D2+E2－4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0没有意义，不表示任何图形．

2、最值问题

（1）.对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，

（2）.然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．

特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．

3、与圆有关的对称问题

（1）．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．

（2）．圆关于点对称：

①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;

②两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．

（3）．圆关于直线对称：

①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;

②两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．

1．（2021·四川阆中中学高二月考（理））已知圆，圆，点、分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国高三专题练习（理））已知，，，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是（    ）

A． B．

C． D．

3．（2021·全国高三专题练习（理））已知，方程表示圆，则圆心坐标是______．

4．（2021·全国高三专题练习（理））已知三个点，，，则的外接圆的圆心坐标是___________.

1．（2021·泰州市第二中学高二月考）已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．

2．（2021·四川成都·高三模拟预测（文））已知为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值是（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国高三专题练习（理））抛物线过圆的圆心，为抛物线上一点，则点到抛物线焦点的距离为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

4．（2022·全国高三专题练习（理））“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.该圆称为椭圆的“蒙日圆”若椭圆的离心率为，则椭圆的“蒙日圆”方程为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

5．（2021·全国高三专题练习（理））的外接圆的半径等于3，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·石家庄实验中学高三开学考试）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

7．（2021·全国高三专题练习（理））“”是“方程表示圆”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．（2022·全国高三专题练习）（多选题）已知平面向量，， ，若 ， 是夹角为的两个单位向量，，，则下列结论正确的有（    ）

A．  B．  C．  D．

9．（2021·云南五华·高三模拟预测（理））如图，矩形中，，，以为直径的半圆上有一点，若，则的最大值为___________.

10．（2021·合肥市第九中学高三月考（文））在中，，，，点在边上，且，动点满足，则的最小值为___________.

11．（2021·全国高二单元测试）写出一个关于直线对称的圆的方程___________.

12．（2021·全国高二专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为___________．

1．（2020·山东高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ）

A． B．

C． D．

2．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．

A．4 B．5 C．6 D．7

3．（2020·全国高考真题（文））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）

A．1 B．2

C．3 D．4

4．（2009·重庆高考真题（文））圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

5．（2008·山东高考真题（文））若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是（　　）

A．

B．(x-2)2+(y-1)2=1

C．(x-1)2+(y-3)2=1

D．

6．（2020·海南高考真题）（多选题）已知曲线.（    ）

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m=n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D．若m=0，n>0，则C是两条直线

7．（2019·浙江高考真题）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_____，______.

8．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．

9．（2011·福建高考真题（文））如图，直线与抛物线相切于点.

（1）求实数的值；

（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.

10．（2015·广东高考真题（理））已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．

（1）求圆的圆心坐标；

（2）求线段的中点的轨迹的方程；

（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

1． 【答案】B

【分析】

分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解.

【详解】

圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为．

，

又，，

所以，．

点关于轴的对称点为，

，

所以，，

故选：B．

2． 【答案】D

【分析】

建立直角坐标系，取AC中点N，得到M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，由B，N，M三点共线时，为最大值求解．

【详解】

如图所示，建立直角坐标系，取AC中点N，

∵，，

∴，

∴M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，

∴B，N，M三点共线时，取得最大值．

又因为，，

所以，，

∴的最大值为，

∴的最大值是，

故选：D．

3．【答案】

【分析】

先利用方程得到，求出或，然后分别求解即可．

【详解】

方程表示圆，

所以，解得或，

当时，方程，配方可得，所得圆的圆心坐标为；

当时，方程，即，此时，方程不表示圆．

综上所述，圆心坐标是．

故答案为：．

4．【答案】(1，3)

【分析】

设出圆的一般方程，代入三点坐标后可求解.

【详解】

设圆的方程为，

则，解得，

所以圆方程为，即，

所以圆心坐标为.

故答案为：.

1．【答案】B

【分析】

由题意可得直线l的方程为，再求出圆C的圆心坐标与半径，由面积的最小值为求得，再由点到直线的距离公式求解k，可得直线l的方程，进一步求得直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值．

【详解】

解：由题意可得直线l的方程为，

圆C的圆心，半径为1，

如图：

，

又，当取最小值时，取最小值，

此时，可得，，

则，解得，

则直线l的方程为，

则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为．

故选：B．

2．【答案】C

【分析】

求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由即可求解.

【详解】

∵圆，∴圆心，半径，

∴圆心到直线的距离，

∴圆上的点到直线的距离最大值为，

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查圆上的点到直线距离的最值问题，利用圆的几何性质是解题的关键.

3．【答案】B

【分析】

先由抛物线过圆的圆心，求出p,把A代入，求出m，利用两点间距离公式即可求解.

【详解】

将化为圆的标准方程，得，

则圆心为(2，-4)，代入抛物线，得.所以，所以抛物线的方程为.因为点在抛物线上，则，焦点，由两点间距离公式可得点到焦点的距离为.

故选：B.

4．【答案】C

【分析】

分类讨论和，当时，根据离心率求出，然后在椭圆上取两点，并写出对应的切线方程求出交点，进而求出圆半径即可；对于的情况与的方法步骤一致.

【详解】

若，则，即，所以，

由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，

不妨取两点，则两条切线为和，所以两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，所以半径为，所以蒙日圆为；

若，则，即，所以，

由于椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，

不妨取两点，则两条切线为和，所以两条切线的交点为，且点在蒙日圆上，所以半径为，所以蒙日圆为；

综上：椭圆的“蒙日圆”方程为或

故选：C.

5．【答案】D

【分析】

建系后，根据圆上一动点C的坐标，利用向量的坐标运算求解即可.

【详解】

以为坐标原点，轴，建立坐标系，如图，

则，，

设，

，

则，

故选：D

6．【答案】C

【分析】

设出圆的一般式，根据求出，然后将点带入圆的方程即可求得结果.

【详解】

设圆的方程为，

由题意得，解得，

所以，

又因为点在圆上，所以，即.

故选：C.

7．【答案】B

【分析】

根据圆的一般是方程表示圆的条件得，再根据集合关系判断必要不充分条件即可.

【详解】

方法一：因为方程表示圆，，

所以，解得

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选:B.

方法二：方程表示圆，

即表示圆，则需，解得，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选:B.

8．【答案】AC

【分析】

首先由数量积夹角公式得，转化为坐标运算后，得向量的坐标满足圆，利用圆的性质，判断AB选项，利用向量夹角的余弦公式，结合基本不等式判断CD.

【详解】

因为是夹角为的两个单位向量，所以，

①

设，则，，

设，将代入①得，

即

因此向量的坐标满足圆，而圆上的点到原点的最大距离为，A正确；

由①知，

当时等号成立，故C正确.

故选：AC．

9．【答案】

【分析】

以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M的方程，设，由，得出，再设（为参数），代入中，根据三角函数的值域，可求得最大值.

【详解】

以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，

因为在矩形中，，，所以圆M的半径为，

所以，，，， ，圆M的方程为，

设，又，

所以，解得，

又点P是圆M上的点，所以（为参数），

所以，其中，

所以，当时，取得最大值，

故答案为：.

10．【答案】1

【分析】

以B为原点建立坐标系，结合，利用坐标运算求出动点的轨迹，再结合圆的性质求得最小值即可.

【详解】

建立如图直角坐标系，依题意知，，，设，

由知，，整理得，

所以动点的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，

由圆的性质可知，当时，最小，为3-2=1.

故答案为：1.

11．【答案】等，只要圆心在直线上均可.

【分析】

设出圆心坐标，利用圆心在直线上可得圆心满足的条件，设圆的半径为1，即可得到答案.

【详解】

设圆心坐标为，

因为圆关于对称，

所以在直线上，

则，

取，设圆的半径为1，

则圆的方程，

故答案为：(不唯一)

12．【答案】

【分析】

首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当M、N、E共线时取等号），最后根据求得的最小值.

【详解】

解：如图，

M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，

则（当且仅当M、N、E共线时取等号），

∴，

当且仅当M、N、E、共线时等号成立.

∵，则，

∴的最小值为．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，在平时备考中要注意多总结.

1．【答案】B

【分析】

圆的圆心为，半径为，得到圆方程.

【详解】

根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.

故选：B.

2．【答案】A

【分析】

求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.

【详解】

设圆心，则，

化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，

故选：A.

【点睛】

本题考查了圆的标准方程，属于基础题.

3．【答案】B

【分析】

当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.

【详解】

圆化为，所以圆心坐标为，半径为，

设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时

根据弦长公式得最小值为.

故选：B.

【点睛】

本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.

4．【答案】A

【分析】

根据圆心的位置及半径可写出圆的标准方程，然后将点代入圆的方程即可求解.

【详解】

因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，则圆的方程为，又点在圆上，所以，解得.

故选：A

【点睛】

本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题.

5．【答案】B

【详解】

由题意知圆心坐标为(x0,1),∴排除A、C.

选项B中圆心(2,1)到直线4x-3y=0的距离,

即d=r成立,故选B.

6．【答案】ACD

【分析】

结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.

【详解】

对于A，若，则可化为，

因为，所以，

即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；

对于B，若，则可化为，

此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；

对于C，若，则可化为，

此时曲线表示双曲线，

由可得，故C正确；

对于D，若，则可化为，

，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；

故选：ACD.

【点睛】

本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

7．【答案】       

【分析】

本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.

【详解】

可知，把代入得，此时.

【点睛】

解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.

8．【答案】(x-1)2+y2=4.

【分析】

由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.

【详解】

抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，

焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，

以F为圆心，

且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.

【点睛】

本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9．【详解】

（1）直线与抛物线相切于点.

则，得，（*）

因为直线与抛物线相切，

所以，

解得.

（2）由（1）可知，故方程（*）即为，

解得，代入，得.

故点，

因为圆与抛物线的准线相切，

所以圆的半径等于圆心到抛物线的准线的距离，

即，

所以圆的方程为.

【点睛】

本题考查由直线与抛物线相切求参数，抛物线定义的简单应用及圆的标准方程求法，属于基础题.

10．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．

【分析】

（1）通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线的方程为y=kx，通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式△=0及轨迹的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论

【详解】

（1）由得，

∴ 圆的圆心坐标为；

（2）设，则

∵ 点为弦中点即，

∴即，

∴ 线段的中点的轨迹的方程为；

（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点，

当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点．

考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程