新高考数学一轮复习提升练习考向41 双曲线 (含解析)

考向41  双曲线

1．（2021·山东·高考真题）已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】

易得的坐标为，设点坐标为，求得，由可得，

然后由a，b，c的关系求得，最后求得离心率即可.

【详解】

的坐标为，设点坐标为，

易得，解得，

因为直线与轴垂直，且，

所以可得，则，即，

所以，离心率为．

故选：A.

2．（2021·全国·高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.

【详解】

因为，由双曲线的定义可得，

所以，；

因为,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即.

故选：A

【点睛】

关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.

1.待定系数法求双曲线方程最常用的设法：

(1)与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝t(t≠0)；

(2)若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝t(t≠0)；

(3)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2<k<a2)；

(4)过两个已知点的双曲线方程可设为＋＝1(mn<0)；

(5)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2<k<a2)．

合理利用上述结论求双曲线的方程可简化解题过程，提高解题速度．

3.求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

一、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

二、双曲线的几何性质：

三、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

四、直线与圆锥曲线的位置关系

2.直线与圆锥曲线的位置关系：

⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。

①.     若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；

当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。

②.     若，设。

③.     .时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

【知识拓展】

弦长问题：

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则

==

==

1．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率e为（    ）

A． B． C． D．2

2．（2021·全国·模拟预测）设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

3．（2021·广西南宁·模拟预测（文））已知双曲线C的离心率，虚轴长为，则其标准方程为（    ）

A． B．或

C． D．或

4．（2021·上海·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，且，则双曲线的方程为___________.

1．（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（理））若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

2．（2021·陕西渭南·高三月考（理））已知双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·浙江宁波·高三月考）设直线与双曲线两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B．

C． D．

4．（2021·广东·高三月考）若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（    ）

A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<0<n D．n<0<m

5．（2021·内蒙古宁城·高三月考（理））已知，是双曲线的左右顶点，为该双曲线上任一点（与，不重合），已知与斜率之积为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

6．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（理））已知是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，，则下列结论中错误的是（    ）

A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为

C．点到双曲线的左焦点距离是 D．的面积为

7．（2021·云南师大附中高三月考（文））双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，是等边三角形，若x轴上存在点Q且满足，则C的离心率为___________.

8．（2021·云南师大附中高三月考（理））双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，若x轴上存在点Q使得的角平分线过F2，且满足，则C的离心率为__________.

9．（2021·浙江金华第一中学高三月考）已知，若圆经过双曲线的焦点，则______．

10．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（理））方程表示的曲线即为函数的图象，对于函数，有如下结论：

①在上单调递减；

②函数不存在零点；

③函数的值域是；

④的图象不经过第一象限.

其中正确的命题是_______________________．（填写命题序号）

11．（2021·广东·高三月考）双曲线的右焦点为F，以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切．

（1）求C的离心率；

（2）已知点，过F点的直线与C的右支交于M，N两点，证明：F点到的距离相等．

12．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左右两个焦点分别为，点P在双曲线右支上.

（Ⅰ）若当点P的坐标为时，，求双曲线的方程；

（Ⅱ）若，求双曲线离心率的最值，并写出此时双曲线的渐近线方程.

1．（2021·江苏·高考真题）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（    ）

A． B． C．2 D．

2．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·全国·高考真题（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ）

A． B． C． D．

4．（2010·全国·高考真题（文））中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为

A． B．

C． D．

5．（2020·天津·高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·全国·高考真题（文））双曲线的右焦点到直线的距离为________．

8．（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．

9．（2021·全国·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________．

10．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.

1．【答案】A

【分析】

根据题意渐近线的斜率为，所以该渐近线的方程为，所以，求得，利用，求得即可得解.

【详解】

∵双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，

∴该渐近线的方程为，∴，

解得或（舍去），∴，

∴双曲线的离心率为．

故选：A．

2．【答案】C

【分析】

根据双曲线的方程求出的值，由双曲线的定义可得，由双曲线的性质可知，利用函数的单调性即可求得最小值.

【详解】

由双曲线：可得

，，所以，

所以，，

由双曲线的定义可得，所以，

所以，

由双曲线的性质可知：，令，则，

所以在上单调递增，

所以当时，取得最小值，此时点为双曲线的右顶点，

即的最小值为，

故选：C.

3．【答案】D

【分析】

根据给定条件结合求出，再按焦点位置即可写出标准方程.

【详解】

设双曲线实半轴、虚半轴长分别为a、b，半焦距为c，则，即，

于是得，而，解得，

所以，当焦点在x轴上时，双曲线方程为，当焦点在y轴上时，双曲线方程为.

故选：D

4．【答案】或

【分析】

根据双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线的方程为，再根据，求得，即可得出答案.

【详解】

解：因为双曲线的渐近线方程为，

则可设双曲线的方程为，即，

因为，

所以，解得，

所以双曲线的方程为或.

故答案为：或.

1．【答案】D

【分析】

由题意，根据，代入即得解

【详解】

由题意，，又

故

故选：D

2．【答案】C

【分析】

根据焦距可得的值，根据右焦点到渐近线距离可求得的值，由可得的值，再由即可求解.

【详解】

因为焦距为，所以，右焦点，，

双曲线渐近线方程为：，

所以右焦点到它的一条渐近线的距离为，

所以，，

所以离心率，

故选：C.

3．【答案】A

【分析】

设,的中点为，用点差法可得，由可得结合点在直线上，可得出 的关系，从而可得答案.

【详解】

由双曲线得到渐近线的方程为

即双曲线的两条渐近线合并为

设,的中点为，则，

两式相减可得，即

   ……………    ①

又点在直线上，则  ……… ②

由,则，则   …………… ③

联立②，③可得，

将代入①可得

所以渐近线的方程为

故选：A

4．【答案】C

【分析】

根据双曲线的标准方程，即可得出结论.

【详解】

双曲线可化为，

因为双曲线的焦点在轴上，所以，即．

故选：C.

5．【答案】D

【分析】

先求出，，与斜率之积为，代入后得，又为该双曲线上任一点，代入后得到，关系.即可得到双曲线的渐近线方程.

【详解】

解： ，是双曲线的左右顶点

，

设，又与斜率之积为

又为该双曲线上任一点（与，不重合）

故可知，可知

所以双曲线的渐近线为，即.

故选：D

6．【答案】C

【分析】

求出、、的值，可判断AB选项的正误；求出点的坐标，可判断CD选项的正误.

【详解】

在双曲线中，，，，该双曲线的左焦点为.

设，则，由，可得，

所以，，解得，即点.

对于A选项，双曲线的离心率为，A对；

对于B选项，双曲线的渐近线方程为，B对；

对于C选项，点到双曲线的左焦点距离是，C错；

对于D选项，的面积为，D对.

故选：C.

7．【答案】

【分析】

画出图形，利用和是等边三角形的条件，得到各边之间的关系，再用余弦定理，找到a和c的关系，进而求出离心率.

【详解】

如图所示，由题意可得，因为，所以，所以，在等边三角形中，设，则，，由双曲线的定义可得，所以，即①，因为是等边三角形，所以，在中，，化简可得②，由①②可得，所以.

故答案为：.

8．【答案】

【分析】

设，结合已知得到，利用角平分线定理得到，再结合双曲线定义得到一个关于m，a的方程，在中利用余弦定理得到另一个m，c的方程，两个方程联立消元即可得到答案.

【详解】

如图所示，由题意可得，因为，所以，

所以，设，则，因为平分，

由角平分线的性质定理可得，，

所以，，．

由双曲线的定义可得，所以，即①，

，所以，所以，

即是等边三角形，所以，

在中，

，

化简可得②，由①②可得，所以．

故答案为：

9．【答案】

【分析】

求双曲线的焦点，代入圆的方程，即可求得的值.

【详解】

双曲线的焦点坐标是，代入圆的方程，

得，，，

解得：.

故答案为：

10．【答案】①②③④

【分析】

根据题意作出函数的图象，由图可知，轨迹是两段双曲线的一部分加上一段椭圆圆弧组成的图形，结合图形可判断①②③④的正误.

【详解】

当时，由得，可得，则有，

当时，由得，可得，则有，

当时，由得，可得.

所以，函数的图象是两段双曲线的一部分加上一段椭圆圆弧组成的图形，如下图所示：

对于①，函数在上单调递减，①对；

对于②，由于直线是双曲线、的一条公共渐近线，

故函数的图象与直线无交点，即函数不存在零点，②对；

对于③，函数的值域是，③对；

对于④，的图象不经过第一象限，④对.

故答案为：①②③④.

11．【答案】(1)；(2)证明见解析.

【分析】

(1)求出双曲线的渐近线方程，利用给定条件借助点到距离公式计算即得；

(2)结合(1)的结论设出直线MN的方程，并与双曲线方程联立，借助韦达定理探讨直线AM，AN斜率关系即可推理作答.

【详解】

(1)双曲线的渐近线方程为，令点，则，

因以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切，则，整理得，

所以双曲线C的离心率为；

(2)由(1)知，双曲线C的方程为：，点，显然直线MN不垂直于y轴，设直线MN：，

因直线MN与双曲线右支交于两点，则直线MN与双曲线的两条渐近线在y轴右侧都相交，于是得，

由消去x得：，设，则，

直线AM的斜率 ，同理，直线AN的斜率 ，

于是得，

因此，直线AM与AN的倾斜角互补，则直线AM与AN关于x轴对称，而点F在x轴上，

所以点F到直线AM与AN的距离相等.

12．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），的最大值为2，无最小值.

【分析】

（Ⅰ）根据，利用数量积为0可求出，再根据双曲线的定义求出，即可求解；

（Ⅱ）设，，，分两种情况求出与的关系，即可根据定义求出离心率，利用三角函数求取值范围.

【详解】

（Ⅰ）由题意知，， ，

，

解得 .

由双曲线定义得:

 所求双曲线的方程为:

（Ⅱ）设，，.

(1)当时， ，且 ，

，

此时 .

(2)当，由余弦定理得:

，

，，

综上，的最大值为2，但无最小值.

此时，

此时双曲线的渐近线方程为.

1．【答案】D

【分析】

写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率

【详解】

双曲线的渐近线为，易知与直线平行，

所以.

故选：D.

2．【答案】B

【分析】

分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.

【详解】

，则，，则双曲线的方程为，

将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，

因此，双曲线的方程为.

故选：B

3．【答案】A

【分析】

首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.

【详解】

由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，

结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.

故选：A.

4．【答案】D

【详解】

由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-x,

∴-2=-×4,

∴a=2b.设b=k,则a=2k,c=k,

∴e===.

5．【答案】D

【分析】

由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．

【详解】

由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，

又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．

故选：．

【点睛】

本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．

6．【答案】D

【分析】

根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．

【详解】

因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，

由，解得，即．

故选：D.

【点睛】

本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．

7．【答案】

【分析】

先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】

由已知，，所以双曲线的右焦点为，

所以右焦点到直线的距离为.

故答案为：

8．【答案】4

【分析】

将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.

【详解】

由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.

故答案为：4.

【点睛】

本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.

9．【答案】

【分析】

根据离心率结合得出关系即可求出.

【详解】

由题离心率，即，

又，即，则，

故此双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.

10．【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；

（2）设点，设直线的方程为，设点、，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，求出的表达式，设直线的斜率为，同理可得出的表达式，由化简可得的值.

【详解】

因为，

所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，

设轨迹的方程为，则，可得，，

所以，轨迹的方程为；

（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，

不妨直线的方程为，即，

联立，消去并整理可得，

设点、，则且.

由韦达定理可得，，

所以，，

设直线的斜率为，同理可得，

因为，即，整理可得，

即，显然，故.

因此，直线与直线的斜率之和为.

【点睛】

方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．