人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念课文配套课件ppt

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1.理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题.2.会利用数列的前n项和Sn与an的关系求通项公式.
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知识点1　递推公式如果一个数列的　　　　　　　　　之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 
名师点睛数列递推公式与通项公式的区别和联系
过关自诊1.利用an+1=2an,n∈N*可以确定数列{an}吗?
提示 不能,需要知道数列{an}的某一项才可以.
3.试分别根据下列条件,写出数列{an}的前5项:(1)a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*;
解 因为a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*,所以a3=a2+2a1=2+2×1=4,a4=a3+2a2=4+2×2=8,a5=a4+2a3=8+2×4=16.因此,数列{an}的前5项依次为1,2,4,8,16.
知识点2　数列的通项公式与前n项和
1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
名师点睛由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段形式表示,即
过关自诊1.S1与a1是什么关系?S2呢?
2.若数列{an}的前n项和为Sn,则关系式an=Sn-Sn-1的使用条件是什么?
提示 由于S1表示数列的前1项的和,因此S1与a1相等,而S2表示数列的前2项的和,因此S2=a1+a2.
提示 n≥2,n∈N*,而不能只是n∈N*,这是因为当n=1时Sn-1=S0,数列中S0无意义.
3.[人教B版教材习题]已知数列{an}的前n项和为Sn=3n,求{an}的通项公式.
解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3(n-1)=3.当n=1时,a1=S1=3,所以an=3.
探究点一　由递推公式求前若干项
【例1】 (1)(多选题)已知数列{an}中,a1=3,an+1=- ,则能使an=3的n可以为(　　)A.22B.24C.26D.28
(2)已知数列{an},a1=1,且满足an=3an-1+ (n∈N*,且n>1),写出数列{an}的前5项.
分析 由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值.
规律方法　由递推公式写出数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,若项数很大,则应考虑数列的周期性.
探究点二　由递推公式求数列的通项公式
解 由a1=2,an+1=3an,得a2=3a1=3×2,a3=3a2=3×3×2=32×2,a4=3a3=3×32×2=33×2,a5=3a4=3×33×2=34×2,…,猜想:an=2·3n-1.
规律方法　由递推公式求通项公式常用的两种方法(1)累加法:当an=an-1+f(n),n>1时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式.
探究点三　由数列的前n项和求通项公式
【例3】 (1)若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式.
解 ∵Sn=-2n2+10n,∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12.此时满足an=-4n+12,∴an=12-4n.
(2)若数列{an}的前n项和Sn=2n+1-1,求数列{an}的通项公式.
解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n;当n=1时,a1=S1=3,经验证不符合上式.
[提醒]应重视分类讨论的思想,分n=1和n≥2两种情况讨论.当n=1时,a1不适合an的情况要分开写,即
变式训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,求数列{an}的通项公式.(1)Sn=2n-1,n∈N*;
解 由Sn=2n-1,①得Sn-1=2n-1-1,②①-②,得an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),又n=1时,a1=S1=21-1=1,满足an=2n-1,即an=2n-1,n∈N*.
(2)Sn=2n2+n+3,n∈N*.
解 由Sn=2n2+n+3,③则Sn-1=2(n-1)2+(n-1)+3,④③-④,得an=Sn-Sn-1=4n-1(n≥2),又当n=1时,a1=S1=6,不满足an=4n-1,
1.知识清单:(1)数列递推公式的概念.(2)由递推公式求数列的通项公式.(3)数列的周期性.(4)由数列的前n项和求数列的通项公式.2.方法归纳:归纳法、累加法、累乘法、分类讨论思想.3.常见误区:(1)用累加法、累乘法求通项公式时易忽视角标和首项的确认;(2)由数列的前n项和求数列的通项公式时易忽视首项是否符合通项公式的验证.
2.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是(　　)A.an=an-1+2(n≥2)B.an=2an-1(n≥2)C.a1=2,an=an-1+2(n≥2)D.a1=2,an=2an-1(n≥2)
解析 A,B中没有说明第一项,无法递推;D中a1=2,a2=4,a3=8,不合题意.
3.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,且an·an+2=an+1(n∈N*),则a2 021的值为(　　)
5.[人教B版教材习题]已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-n,求{an}的通项公式.
解 由Sn=n2-n得Sn-1=(n-1)2-(n-1)=n2-3n+2(n≥2).则an=Sn-Sn-1=2n-2(n≥2).当n=1时,a1=S1=0,满足an=2n-2,所以{an}的通项公式是an=2n-2.