河北省石家庄市石门实验学校2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

这是一份河北省石家庄市石门实验学校2021-2022学年九年级上学期期中数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021－2022年度石门实验初三期中数学考试
参考答案与试题解析
一、选择题（共13小题）
1.在体育课上，甲、乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ）
A.众数 B.平均数 C.中位数 D.方差
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好；
【解答】解：因为方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好；所以要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的方差．
故选：D．
【点评】本题考查平均数、方差、众数、中位数等知识，解题的关键是理解方差的意义，属于中考常考题型．
2、如图，A，B两地之间有一池塘，要测量A，B两地之间的距离，选择一点O连接AO并延长到点C，使OC＝AO．连接BO并延长到点D，使OD＝BO，测得C、D间距离为30米，则A，B两地之间的距离为（ ）

A.30米 B.45米 C.60米 D.90米
【分析】由题意可证明△AOB∽△COD，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：△ABO和△COD中，OC＝AO，OD＝BO，
且∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
∴，
又∵CD＝30m，
∴AB＝60m
故答案为：60m．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质：两三角形相似，对应边成比例，此题为常见题型．
3.已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的外心与顶点C的距离为（ ）
A.1 B.2.5 C.3 D.5
【分析】根据直角三角形的外接圆的圆心是直角三角形的斜边的中点，则它到顶点C的距离等于斜边的一半．
【解答】解：如图：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是Rt△ABC的外心，
∴．OA＝OC＝OB，
又∵∠C＝90°，
∴AB是⊙O的直径，即点O是AB的中点，
∴OA＝OC＝OB＝AB
由勾股定理得AB＝5，
∴OC＝，
即：它的外心与顶点C的距离为，
故选：B．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、直角三角形的性质等知识点，解题的关键是对直角三角形的外接圆的圆心的特殊性的理解．
4.如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（ ）

A.2 B.4 C. D.2
【分析】首先连接OA，OB，由圆周角定理即可求得∠AOB＝90°，又由OA＝OB＝2，利用勾股定理即可求得弦AB的长．
【解答】解：连接OA，OB，
∵∠APB＝45°，
∴∠AOB＝2∠APB＝90°，
∵OA＝OB＝2，
∴AB＝＝2．
故选：D．

【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
5.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△，以下说法中错误的是（ ）

A.△ABC∽△ B.点C、点O、点三点在同一直线上
C.AO∶＝1∶2 D.AB//
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【解答】解：以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△，
∴△ABC∽△，点C、点O、点三点在同一直线上，AB//，
AO∶＝1∶2，故选项C错误，符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
6.某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A.20% B.40% C.18% D.36%
【分析】设降价的百分率为x，根据降低率的公式a（1－x）2＝b建立方程，求解即可．
【解答】解：设降价的百分率为x
根据题意可列方程为25（1－x）2＝16
解方程得x1＝，＝（舍）
∴每次降价得百分率为20%
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式a（1－x）2＝b对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键．
7.若点A（，－5），B（，2），C（，5）都在反比例函数y＝的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＜＜
【分析】将点A（，－5），B（，2），C（，5）分别代人反比例函数y＝，求得，，的值后，再来比较一下它们的大小．
【解答】解：点A（，－5），B（，2），C（，5）都在反比例函数y＝的图象上，
∴－5＝，即＝－2，
2＝，即＝5，
5＝，即＝2，
∵－2＜2＜5，
∴＜＜．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式．
8.如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC＝40°，则∠D的度数为（ ）

A.100° B.110° C.120° D.130°
【分析】根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°－40°＝140°，
∴∠D＝×（360°－140°）＝110°，
故选：B．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出∠AOC的度数．
9.如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（接缝忽略不计），则这个纸帽的高是（ ）

A.cm B.2cm C.3cm D.4cm
【分析】先利用弧长公式得到圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝4，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
【解答】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝，
∴圆锥的底面圆的周长为4，
∴圆锥的底面圆的半径为2，
∴这个纸帽的高＝＝4（cm）．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．
10.如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（ ）

A. B. C. D.
【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB＝＝，AC＝＝，
∴，
∴BD＝，
∴sin∠BAC＝．
故选：B．

【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键，
11.如图，A，B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C．若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）

A. B.2 C.4 D.8
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据反比例函数系数k的几何意义，可知S△BOE＝
K，由D为OB的中点，CD//BE，可知CD是△OBE的中位线，CD＝BE，那么△ODC∽△OBE，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S△ODC＝S△BOE＝k＝1，即可求出k的值．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，则S△BOE＝k．
∵D为OB的中点，CD//BE，
∴CD是△OBE的中位线，CD＝BE，
∴△ODC∽△OBE，
∴，
∴S△ODC＝S△BOE＝k＝1
∴k＝8
故选：D．

【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数y＝图象中任取一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解答此题的关键．
12.为烘托节日气氛，社区购买了一批气球，气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，每个气球内气体的气压P（kPa）是气球体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积最合适的是（ ）

A.0.65m3 B.0.6m3 C.0.55m3 D.0.45m3
【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1.2，60）故P·V＝72；故当P≤120，可判断V的范围．
【解答】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P＝，
∵图象过点（1.2，60），
∴k＝72，
即P＝在第一象限内，P随V的增大而减小，
∴当P≤120时，V＝≥0.6，
∴为了安全起见，气球的体积最合适的是0.65m3
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
13.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5
【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．
【解答】解：四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD//BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴
∵DF＝6，
∴AF＝＝＝8
∴
∴AE＝5，
∴EF＝AF－AE＝8－5＝3
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
14.如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【分析】连接OE，作OF⊥DE，先求出∠COE＝2∠D＝60°、OF＝OD＝1，DF＝ODcos∠ODF＝，DE＝2DF＝2，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．
【解答】解：如图，连接OE，作OF⊥DE于点F，

∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝150°，
∴∠D＝30°，
则∠COE＝2∠D＝60°，
∵CD＝4，
∴CO＝DO＝2，
∴OF＝OD＝1，DF＝ODcos∠ODF＝2×＝．
∴DE＝2DF＝2．
∴图中阴影部分的面积为，
故选：A．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S＝
是解题的关键．
15.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③AF＝EF；④，其中正确的结论是（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAF＝∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②由AE＝AD＝BC，又AD//BC，所以，故②正确；
③设EF＝a，BF＝2a，由AF2＝EF·BF＝2a2，得AF＝a，所以AF＝EF，故③错误；
④根据△AEF∽△CBF得到，求出S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝，＝S△ACD－S△AEF＝－＝，即可得到＝S△ABF，故④正确．
【解答】解：过D作DM//BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD//BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴以，
∵AE＝AD＝BC，
∴，
∴CF＝2AF，故②正确，
设EF＝a，BF＝2a，由AF2＝EF·BF＝2a2，得AF＝a，所以AF＝EF，故③错误．
∵△AEF∽△CBF，
∴，
∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝，＝S△ACD－S△AEF＝－＝，即可得到＝S，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
16.如图，扇形AOB中，∠AOB＝150°，AC＝AO＝6，D为AC的中点，当弦AC沿扇形运动时，点D所经过的路程为（ ）

A.3 B. C. D.4
【分析】由垂径定理求得线段OD的长也就是点D所经过圆弧路径的半径，然后求得路径的圆心角，利用弧长的计算公式计算即可．
【解答】解：∵D为AC的中点，AC＝AO＝6，
∴OD⊥AC，
∴AD＝AO，
∴∠AOD＝30°，OD＝3，
同理可得：∠BOE＝30°，
∴∠DOE＝150°－60°＝90°
∴点D所经过路径长为：．
故选：C．

【点评】本题考查了垂径定理、解直角三角形、弧长的计算等知识，解决本题的关键是根据题意确定点运动的路径是什么．
二、填空题（共6小题）
17.在x2＋ ＋4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．
【分析】要使方程有两个相等的实数根，即＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可．
【解答】解：要使方程有两个相等的实数根，则＝b2－4ac＝b2－16＝0
得b＝±4
故一次项为±4x
故答案为±4x
【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（＝b2－4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当＝0时，方程有两个相等的实数根；③当＜0时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．
18.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步．

【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE//BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．
【解答】解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE//CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝12－x，
∵DE//CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
，
如图2，四边形DGFE是正方形，
过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，
设ED＝x，
S△ABC＝AC∙BC＝AB·CP，
12×5＝13CP，
CP＝
同理得：△CDG∽△CAB，
∴，
∴
，
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），
故答案为：．

图1 图2
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．
19.如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点时，有＝30cm，∠＝120°．
（1）图2中，弓臂两端，的距离为 cm．
（2）如图3，将弓箭继续拉到点，使弓臂为半圆，则的长为 cm．

图1 图2 图3
【分析】（1）如图1中，连接交于H．解直角三角形求出，再根据垂径定理即可解决问题；
（2）如图3中，连接交于H，连接交于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题．
【解答】解：（1）如图2中，连接交于H．
∵＝＝30
∴是的圆心，
∵⊥，
∴＝＝30×sin60°＝15，
∴＝30
∴弓臂两端，的距离为30．
（2）如图3中，连接交于H，连接交于G．
设半圆的半径为r，则
∴r＝20，
∴AG＝＝20，＝30－20＝10，
在Rt△中，＝＝10
∴＝10－10
故答案为30，10－10，

图2 图3
【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（共6小题）
20.（1）解方程：6x2＋x＝2
（2）计算：
【解答】（1）x （2）
21.某校260名学生参加植树活动，要求每人植4－7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图（1））和条形图（如图（2）），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．
回答下列问题：
（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；
（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；
（3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：
第一步：求平均数的公式是；
第二步：在该问题中，n＝4，＝4，＝5，＝6，＝7；
第三步：＝5.5（棵）
①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？
②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．

图1 图2
【分析】（1）条形统计图中D的人数错误，应为20×10%；
（2）根据中位数、众数的定义以及条形统计图及扇形统计图所给的数据，即可求出答案；
（3）①小宇的分析是从第二步开始出现错误的；
②根据平均数的计算公式先求出正确的平均数，再乘以260即可得到结果．
【解答】解：（1）D错误，理由为：20×10%＝2≠3；
（2）众数为5，中位数为5；
（3）①第二步；
②＝5.3（棵），
估计这260名学生共植树5.3×260＝1378（棵）．
【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图，用到的知识点是平均数、中位数、众数以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
22.为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：
课题
测量河流宽度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案示意图



说明
点B，C在点A的正东方向
点B，D在点A的正东方向
点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向
测量数据
BC＝60m
∠ABH＝70°
∠ACH＝35°
BD＝20m
∠ABH＝70°
∠BCD＝35°
BC＝101m
∠ABH＝70°
∠ACH＝35°
（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？
（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75， tan35°≈0.70）

【分析】（1）第二个小组的数据无法计算河宽．
（2）第一个小组：证明BC＝BH＝60m，解直角三角形求出AH即可．
第三个小组：设AH＝xm，则CA＝，AB＝，根据CA＋AB＝CB，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）第二个小组的数据无法计算河宽．
（2）第一个小组的解法：∵∠ABH＝∠ACH＋∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，
∴∠BHC＝∠BCH＝35°，
∴BC＝BH＝60m，
∴AH＝BH·sin70°＝60×0.94≈56.4（m）．
第三个小组的解法：设AH＝xm，
则CA＝，AB＝，
∵CA＋AB＝CB，
∴，
解得x≈56.4
答：河宽为56.4m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
23.如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°，连接BF．
（1）求证：△CAE∽△CBF．
（2）若BE＝1，AE＝2，求CE的长．

【分析】（1）首先由△ABC和△CEF均为等腰直角三角形可得AC∶BC＝CE∶CF，∠ACE＝∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可；
（2）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE＝∠CBF，再根据∠CAE＋∠CBE＝90°，判断出∠EBF＝90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求出CE的长是多少即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，
∴，
∴∠ACB＝∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△CAE∽△CBF；
（2）解：∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE＝∠CBF，，
又∵，AE＝2
∴，∴BF＝，
又∵∠CAE＋∠CBE＝90°，
∴∠CBF＋∠CBE＝90°，
∴∠EBF＝90°，
∴EF2＝BE2＋BF2＝＋（）2＝3，
∴EF＝，
∵CE2＝2EF2＝6，
∴CE＝．
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解决问题的前提．
24.已知A（－4，2）、B（n，－4）两点是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx＋b－＞0的解集．

【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m＝－8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n＝2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y＝－x－2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB＝S△AOC＋S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜－4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
【解答】解：（1）把A（－4，2）代入y＝，得m＝2×（－4）＝－8，
所以反比例函数解析式为y＝－，
把B（n，－4）代入y＝－，得－4n＝－8，
解得n＝2，
把A（－4，2）和B（2，－4）代入y＝kx＋b，得

解得
所以一次函数的解析式为y＝－x－2；
（2）y＝－x－2中，令y＝0，则x＝－2，
即直线y＝－x－2与x轴交于点C（－2，0），
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×2＋×2×4＝6；
（3）由图可得，不等式kx＋b－＞0的解集为：x＜－4或0＜x＜2

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
25.如图，△ABC中，AB＝AC＝4，cosC＝．
（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在你所作的图中，
①求证：；
②求点D到BC的距离．

【分析】（1）利用尺规作图作出AC的中点，就是圆心，从而作出圆；
（2）①连接AE，根据等腰三角形的性质证明∠DAE＝∠CAE，即可证得；
②连接AE，CD，作DM⊥BC交BC于点M，在直角△BCD中首先利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BDH中，利用三角函数求得DM．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）①如图，连接AE，
∵AC为直径，
∴∠AEC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠DAE＝∠CAE，
∴；
②连接AE，CD，作DM⊥BC交BC于点M，
∵AC为直径，
∴∠AEC＝90°，
∵AB＝AC＝4，cosC＝
∴EC＝BE＝4，
∴BC＝8，
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∴cos∠C＝cos∠B＝，
∴BD＝BCcos∠B＝，
∴DM＝BDsin∠B＝．

【点评】本题考查了圆周角定理以及三角函数，和等腰三角形的性质，正确理解三角函数的定义是关键．
26.已知AP是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P重合），联结AC，以直线AC为对称轴翻折AO，将点O的对称点记为，射线A交半圆O于点B，联结OC．

图1 图2 备用图
（1）如图1，求证：AB//OC；
（2）如图2，当点B与点重合时，求证：；
（3）过点C作射线A的垂线，垂足为E，联结OE交AC于F．当AO＝5，B＝1时，求的【分析】（1）利用对称性得出∠OAC＝∠AC，再利用等边对等角得出∠OAC＝∠C，即可得出∠C＝∠AC，求出AB//OC即可；
（2）由点与点O关于直线AC对称，AC⊥O，由点与点B重合，可得AC⊥OB，再利用垂径定理推论得出AB＝CB；
（3）分别根据当点在线段AB上以及当点在线段AB的延长线上时分别求出AE的长即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点与点O关于直线AC对称，
∴∠OAC＝∠AC．
在⊙O中，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C．
∴∠C＝∠AC，
∴A//OC
即AB//OC；
（2）方法一：如图2，连结OB．
∵点与点O关于直线AC对称，AC⊥O，
由点与点B重合，可得AC⊥OB．
∵点O是圆心，AC⊥OB，
∴；
方法2：∵点与点O关于直线AC对称，
∴AO＝A，CO＝C，
由点与点B重合，可得AO＝AB，CB＝CO，
∵OA＝OC，
∴AB＝CB．
∴；
（3）当点在线段AB上（如图3），过点O作OH⊥AB，垂足为H．
∵OH⊥AB，CE⊥AB，
∴OH//CE，
又∵AB//OC，
∴HE＝OC＝5
∵AB＝A＋B＝AO＋B＝6且OH⊥AB，
∴AH＝AB＝3
∴AE＝EH＋AH＝5＋3＝8，
∵AB//OC，
∴，
当点在线段AB的延长线上，如图4，
过点O作OH⊥AB，垂足为H
∵OH⊥AB，CE⊥AB，
∴OH//CE，
又∵AB//OC，
∴HE＝OC＝5
∵AB＝A－B＝AO－B＝4，
又∵OH⊥AB，
∴AH＝AB＝2
∴AE＝EH＋AH＝5＋2＝7，
∵AB//OC，
∴．

图2 图3 图4
【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及垂径定理和关于直线对称的性质等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．