精品解析：广东省深圳市第二实验学校、深大附中2021-2022学年上学期八年级期末考试数学试题

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2021-2022学年第一学期期末考试初二数学试卷
第一部分 选择题
一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列数中，无理数的是（　　）
A. π B. C. D. 3.1415926
【1题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据无理数即为无限不循环小数逐一判断即可．
【详解】解：A、是无理数，故符合题意；
B、，是整数，不是无理数，故不符合题意；
C、，是整数，不是无理数，故不符合题意；
D、3.1415926是有限小数，不是无理数，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查的是无理数的判断，掌握无理数即为无限不循环小数是解题关键．
2. 下列运算正确的是（　　）
A. =±6 B. 4﹣3=1 C. =6 D. =6
【2题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】由算术平方根的含义判断A，由合并同类二次根式判断B，由二次根式的除法判断C，由二次根式的乘法判断D．
【详解】解： 故A错误，
故B错误，
故C错误，
故D正确，
故选D．
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，合并同类二次根式，二次根式的乘法与除法，掌握以上运算是解题的关键．
3. 已知：点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，则（m+n）2019的值为（　　）
A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. 32019
【3题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，进而可得答案．
【详解】解：∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，
∴m﹣1＝2，n﹣1＝﹣3，
∴m＝3，n＝﹣2，
∵（m+n）2019＝1，
故选：B．
【点睛】本题考查坐标对称点的特性，熟记知识点是解题关键.
4. 某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．


甲

乙

丙

平均数

7.9

7.9

8.0

方差

3.29

0.49

1.8



根据以上图表信息，参赛选手应选（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【4题答案】
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：
观察图象可得丁射击10次的成绩为8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，则丁的成绩的平均数为×（8+8+9+7+8+8+9+7+8+8）=8，方差为×[（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]=0.4，比较可得丁的成绩的方差最小，即丁的成绩最稳定，所以参赛选手应选丁，故答案选D．
考点：算术平均数；方差．
5. 已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【5题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】要求两直线的交点，就是联立解析式构成的方程组的解．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点坐标为（3，﹣1），
∵x＝3＞0，y＝﹣1＜0，
∴交点在第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，本题属于基础题型．
6. 如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（ ）

A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】首先设每块小长方形地砖的长为xcm,宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长= 1个长+3个宽，②一个长+一个宽= 80cm，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，根据题意，得

故选：C．
【点睛】此题主要考查了用二元一次方程组解决实际问题，做题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
7. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 平方根等于本身的实数只有0； B. 两直线平行，内错角相等；
C. 点P（2，－5）到x轴的距离为5； D. 数轴上没有点表示π这个无理数．
【7题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方根的定义可判断A，根据平行线的性质，可判断B，根据坐标系中，点与坐标轴的距离，可判断C，根据数轴上的点与实数一一对应，可判断D．
【详解】A. 平方根等于本身的实数只有0，是真命题，不符合题意；
B. 两直线平行，内错角相等，是真命题，不符合题意；
C. 点P（2，－5）到x轴的距离为5，是真命题，不符合题意；
D. ∵数轴上的点与实数一一对应，
∴数轴上有点表示π这个无理数，故原命题假命题，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查真假命题的判断，熟练掌握平方根的定义，平行线的性质，坐标系中点与坐标轴的距离以及数轴上点表示的数，是解题的关键．
8. 小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝70°，则∠1＝（　　）

A. 22° B. 20° C. 25° D. 30°
【8题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】过点F作FG∥AD，则FG∥BC，即可得到∠2=∠EFG=70°，再根据∠AFE=90°，即可得出∠AFG=90°－70°=20°，进而得到∠1=∠AFG=20°．
【详解】解：如图，过点F作FG∥AD，则FG∥BC，

∴∠2=∠EFG=70°，∠1=∠AFG，
又∵∠AFE=90°，
∴∠AFG=90°－70°=20°，
∴∠1=∠AFG=20°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记平行线的性质是解题的关键．
9. 如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则EF的长是（　　）

A. 14 B. 13 C. 14 D. 14
【9题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF的长．
【详解】解：∵AE=10，BE=24，即24和10为两条直角边长时，
小正方形的边长=24-10=14，
∴EF=．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
10. 如图，，平分交于点，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：
①；
②；
③平分；
④．
其中正确的有（ ）

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【10题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据，，可得∠CED=∠1，从而∠C=90°，可得①正确；由①可得∠BAD=∠AND，从而∠BAD+∠ADC=180°，又由∠AEB≠∠BAD，可得②错误；根据∠DAE+∠ADE=90°，，且平分，可得∠ADE=∠2，从而得到③正确；由，可得∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°，再由和的平分线交于点，可得∠EAF+∠EDF=135°，然后根据四边形的内角和，可得④正确．
【详解】解：∵，，
∴∠AEB+∠CED=90°，∠1+∠AEB=90°，
∴∠CED=∠1，
∵，
∴∠CED+∠2=90°，
∴∠C=180°-（∠CED+∠2）=90°，
即DC⊥BC，
∴，故①正确；
∴∠BAD=∠ADN，
∵∠ADN+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠AEB≠∠BAD，
∴，故②错误；
∵∠DAE+∠ADE=90°，，且平分，
∴∠ADE=∠2，
∴平分，故③正确；
∵，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°，
∵和的平分线交于点，
∴∠EAF+∠EDF= （∠EAM+∠EDN）=135°，
∵，
∴∠AED=90°，
∴∠F=360°-（∠AED+∠EAF+∠EDF）=135°，故④正确；
故正确的有①③④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和与四边形的内角和，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
第二部分 非选择题
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 的算术平方根是________．
【11题答案】
【答案】3
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴的算术平方根是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
12. 如图，为边上一点，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接．若，，则的度数为______．

【12题答案】
【答案】25°
【解析】
【分析】利用三角形的内角和定理即可求出∠CAB，利用三角形外角的性质可得∠ADE＋∠AED=50°，最后根据等边对等角即可求出结论．
【详解】解：∵，
∴∠CAB=180°－∠B－∠C=50°
∴∠ADE＋∠AED=∠CAB=50°
由题意可知：AD=AE
∴∠ADE=∠AED=×50°=25°
故答案为：25°．
【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题关键．
13. 如图是高空秋千的示意图, 小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B, 最终荡到最高点C处,若∠AOC=90°, 点A与点B的高度差AD=1米, 水平距离BD=4米,则点C与点B的高度差CE为_____米.

【13题答案】
【答案】4.5
【解析】
【分析】如图（见解析），过点A作，过点C作，先利用勾股定理求出OA的长，再根据三角形全等的判定定理与性质求出OG的长，最后根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过点A作，过点C作，则四边形ADBH和四边形CEBG都是矩形
由题意得，
由矩形的性质得，
在中，，即
则，解得


又



则（米）
故答案为：4.5．

【点睛】本题考查了勾股定理、三角形全等的判定定理与性质、矩形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键．
14. 对于x，y定义一种新运算“*”：x*y＝ax＋by，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：3*5＝15，4*7＝28，那么2*3＝________．
【14题答案】
【答案】2
【解析】
【分析】利用题中的新定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代回到新定义的式子中，然后再根据新定义计算2*3即可．
【详解】∵x*y＝ax＋by，3*5=15，4*7=28，
∴，
解得，
∴x*y=-35x+24y，
∴2*3=-35×2+24×3=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了新定义运算与解二元一次方程组，求出a、b的值是解题的关键．
15. 如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点 ，为轴上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，过点作线段轴，垂足为，直线与直线交于点，且，连接，直线与直线交于点，则点的坐标是______

【15题答案】
【答案】，
【解析】
【分析】过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，由两点坐标公式求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，

，
，，
，
，
，，
在和中，

，
，，
，
设，，
，
，
则，
，即．
直线，
，
点
，
在中，由勾股定理得：，
则坐标是，
设直线的解析式是，
把代入得：，
即直线的解析式是，
组成方程组
解得：
点，，
故答案为：，．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
三、解答题（共55分）
16. 计算：
（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，进行乘法计算，再进行减法计算；
（2）先根据二次根式和绝对值进行化简得到，再去括号进行有理数的加减计算即可得到答案.
【详解】（1）
=
=
=
（2）
=
=
=
【点睛】本题考查二次根式化简、有理数的四则运算和绝对值，解题的关键是掌握二次根式的化简、有理数的四则运算和求绝对值.
17. 解方程组：
（1）；
（2）．
【17题答案】
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先将方程组化简，进而根据代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）
②①，得
解得
将代入②得，
原方程组的解为；
（2）
原方程组可化为：
由①可得③
将③代入②得：
解得
将代入③，得
原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
18. 2020年注定是不平凡一年，新年伊始，一场突如其来的疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情，为了早日取得抗疫的胜利，各级政府、各大新闻媒体都加大了对防疫知识的宣传，某校为了了解初一年级共480名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试，现随机抽取甲、乙两班各1名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：
78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100
乙班15名学生测试成绩中的成绩如下：91，92，94，90，93
【整理数据】
班级





甲
1
1
3
4
6
乙
1
2
3
5
4
【分析数据】
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
92

93
47.3
乙
90
87

50.2
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：______分，______分；
（2）若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
【18题答案】
【答案】答案：（1）100；91；（2）304；（3）甲班学生防疫测试整体成绩较好．
【解析】
【分析】（1）根据众数定义在甲班15名学生的分数数据中即可得到a，根据中位数的定义在乙班15名学生的分数即可得到b；
（2）算出90分以上的人所占百分比再与总人数相乘即可；
（3）通过平均数与方差发现，甲班的平均防疫测试水平较高，且根据“方差越小越稳定”即可知道甲班学生的整体水平较好．
【详解】（1）在78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100这组数据中，100出现次数最多，设．
乙组15名学生测试成绩中，中位数是第8个数，
即出现在这一组中，故
（2）（人）
∴成绩为优秀的学生共304人．
（3）∵甲班平均数＞乙班平均数，且甲班方差乙班方差，
∴甲班学生掌握防疫测试整体水平较好．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差等相关知识点，基础知识扎实是解题关键．
19. 已知，如图，，C为上一点，与相交于点F，连接．，．

（1）求证：；
（2）已知，，，求的长度．
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先证明再结合证明 从而可得结论；
（2）先证明 再证明 从而利用等面积法可得的长度.
【详解】解：（1） ，
而






（2） ，，，







【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，平行线的性质与判定，勾股定理的逆定理的应用，证明是解本题的关键.
20. 小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为，且粗细相同的钢管分别为100根，32根，并要求这些用料不能是焊接而成的，现钢材市场的这种规格的钢管每根为．
（1）试问一根长的圆钢管有哪些剪裁方法呢，请填写下空（余料作废）．
方法①：当只裁剪长为的用料时，最多可剪_______根．
方法②：当先剪下1根时，余下部分最多能剪_______根长．
方法③：当先剪下2根时，余下部分最多能剪________根长．
（2）分别用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料．
【20题答案】
【答案】（1）7，4，1（2）用方法②剪24根，方法③裁剪4根6m长的钢管.
【解析】
【分析】（1）由总数÷每份数=份数就可以直接得出结论；
（2）设用方法②剪x根，方法③裁剪y根6m长的钢管，就有x+2y=32，4x+y=100，由此构成方程组求出其解即可．
【详解】解：（1）①6÷0.8=7…0.4，因此当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪7根；
②（6-2.5）÷0.8=4…0.3，因此当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料4根；
③（6-2.5×2）÷0.8=1…0.2，因此当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料1根；
故答案为：7，4，1．
（2）设用方法②剪x根，方法③裁剪y根6m长的钢管，
由题意，得，
解得：．
答：用方法②剪24根，方法③裁剪4根6m长的钢管；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21. 学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示

（1）根据图象信息，当t＝　 　分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为　 　米/分钟；
（2）求出线段AB所表示的函数表达式
（3）甲、乙两人何时相距400米？
【21题答案】
【答案】（1）24，40；（2）y＝40t（40≤t≤60）；（3）出发20分钟或28分钟后，甲、乙两人何时相距400米
【解析】
【分析】（1）根据图象信息，当t＝24分钟时甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速度＝路程÷时间可得甲的速度；
（2）由t＝24分钟时甲乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为2400÷24＝100米/分钟，减去甲的速度得出乙的速度，再求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标，用A点的横坐标乘以甲的速度得出A点的纵坐标，再将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段AB所表示的函数表达式；
（3）分相遇前后两种情况列方程解答即可．
【详解】解：（1）根据图象信息，当t＝24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为2400÷60＝40（米/分钟）．
故答案为24，40；
（2）∵甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t＝24分钟时甲乙两人相遇，
∴甲、乙两人的速度和为2400÷24＝100米/分钟，
∴乙的速度为100﹣40＝60（米/分钟）．
乙从图书馆回学校的时间为2400÷60＝40分钟，
40×40＝1600，
∴A点的坐标为（40，1600）．
设线段AB所表示的函数表达式为y＝kt+b，
∵A（40，1600），B（60，2400），
∴，解得，
∴线段AB所表示的函数表达式为y＝40t（40≤t≤60）；
（3）设出发t分钟后两人相距400米，根据题意得
（40+60）t＝2400﹣400或（40+60）t＝2400+400，
解得t＝20或t＝28，
答：出发20分钟或28分钟后，甲、乙两人何时相距400米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型．读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．
22. 如图，将一张边长为8的正方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与y轴重合，OC与x轴重合，点P为正方形AB边上的一点(不与点A、点B重合)．将正方形纸片折叠，使点O落在P处，点C落在G处，PG交BC于H，折痕为EF．连接OP、OH．
初步探究
（1）当AP=4时
①直接写出点E的坐标　　　　；
②求直线EF的函数表达式．
深入探究
（2）当点P在边AB上移动时，∠APO与∠OPH的度数总是相等，请说明理由．
拓展应用
（3）当点P在边AB上移动时，△PBH的周长是否发生变化？并证明你的结论．

【22题答案】
【答案】（1）①(0，5)；②；（2）理由见解析；（3）周长=16，不会发生变化，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）①设：OE＝PE＝a，则AE＝8﹣a，AP＝4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2＝AE2+AP2，即可求解；
②证明△AOP≌△FRE（AAS），则ER＝AP＝4，故点F（8，1），即可求解；
（2）∠EOP＝∠EPO，而∠EPH＝∠EOC＝90°，故∠EPH﹣∠EPO＝∠EOC﹣∠EOP，即∠POC＝∠OPH，又因为AB∥OC，故∠APO＝∠POC，即可求解；
（3）证明△AOP≌△QOP（AAS）、△OCH≌△OQH（SAS），则CH＝QH，即可求解．
【详解】（1）①设：OE=PE=a，则AE=8﹣a，AP=4，
在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2=AE2+AP2，
即a2=(8﹣a)2+16，解得：a=5，
故点E(0，5)．
故答案为：(0，5)；
②过点F作FR⊥y轴于点R，

折叠后点O落在P处，则点O、P关于直线EF对称，则OP⊥EF，
∴∠EFR+∠FER=90°，而∠FER+∠AOP=90°，
∴∠AOP=∠EFR，
而∠OAP=∠FRE，RF=AO，
∴△AOP≌△FRE(AAS)，
∴ER=AP=4，
OR=EO﹣OR=5﹣4=1，故点F(8，1)，
将点E、F的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b
得：，解得：，
故直线EF的表达式为：y=﹣x+5；
（2）∵PE=OE，
∴∠EOP=∠EPO．
又∵∠EPH=∠EOC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPO=∠EOC﹣∠EOP．
即∠POC=∠OPH．
又∵AB∥OC，
∴∠APO=∠POC，
∴∠APO=∠OPH；
（3）如图，过O作OQ⊥PH，垂足为Q．

由（1）知∠APO=∠OPH，
在△AOP和△QOP中，

∴△AOP≌△QOP(AAS)，
∴AP=QP，AO=OQ．
又∵AO=OC，
∴OC=OQ．
又∵∠C=∠OQH=90°，OH=OH，
∴△OCH≌△OQH(SAS)，
∴CH=QH，
∴△PHB的周长=PB+BH+PH=AP+PB+BH+HC=AB+CB=16．
故答案为：16．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．


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