湖北省仙桃、潜江、天门、江汉油田2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份湖北省仙桃、潜江、天门、江汉油田2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共35页。试卷主要包含了两点，两段不同的图象组成等内容，欢迎下载使用。

湖北省仙桃、潜江、天门、江汉油田2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
1．（2022•湖北）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．
（1）求k1，k2的值；
（2）若点C，D分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．

二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2021•湖北）如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（2，m），直线CD：y1＝ax+b与双曲线：y2＝交于C，P（﹣4，﹣1）两点．
（1）求双曲线y2的函数关系式及m的值；
（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
（3）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．

三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2023•湖北）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：

时间：第x（天）
1≤x≤30
31≤x≤60
日销售价（元/件）
0.5x+35
50
日销售量（件）
124﹣2x
（1≤x≤60，x为整数）
设该商品的日销售利润为w元．
（1）直接写出w与x的函数关系式 　 　；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
四．二次函数综合题（共2小题）
4．（2023•湖北）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接BC．
（1）抛物线的解析式为 　 　；（直接写出结果）
（2）在图1中，连接AC并延长交BD的延长线于点E，求∠CEB的度数；
（3）如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与BC不重合），连接CN，BM，直线CN与BM交于点P．当MN∥BC时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由．

5．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．
（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；
（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．

五．三角形综合题（共3小题）
6．（2021•湖北）已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．
（1）当n＝60时，
①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：　 　；
②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
（2）当n＝90时，
①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
②当BE∥AC，AB＝3，AD＝1时，请直接写出DC的长．

7．（2022•湖北）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD＝m，BD＝n，△ADE与△BDF的面积之和为S．
（1）填空：当∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，
①如图1，若∠B＝45°，m＝5，则n＝　 　，S＝　 　；
②如图2，若∠B＝60°，m＝4，则n＝　 　，S＝　 　；
（2）如图3，当∠ACB＝∠EDF＝90°时，探究S与m，n的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，当∠ACB＝60°，∠EDF＝120°，m＝6，n＝4时，请直接写出S的大小．

8．（2021•湖北）如图1，已知∠RPQ＝45°，△ABC中，∠ACB＝90°，动点P从点A出发，以2cm/s的速度在线段AC上向点C运动，PQ，PR分别与射线AB交于E，F两点，且PE⊥AB，当点P与点C重合时停止运动，如图2，设点P的运动时间为xs，∠RPQ与△ABC的重叠部分面积为ycm2，y与x的函数关系由C1（0＜x≤5）和C2（5＜x≤n）两段不同的图象组成．
（1）填空：①当x＝5s时，EF＝　 　cm；
②sinA＝　 　；
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当y≥36cm2时，请直接写出x的取值范围．

六．圆内接四边形的性质（共1小题）
9．（2022•湖北）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：FB2＝FE•FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的长．

七．切线的判定与性质（共1小题）
10．（2021•湖北）如图，AB为⊙O直径，D为⊙O上一点，BC⊥CD于点C，交⊙O于点E，CD与BA的延长线交于点F，BD平分∠ABC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，CE＝1，求CD和DF的长．

八．作图—复杂作图（共1小题）
11．（2023•湖北）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．
（1）在图1中作出以BE为对角线的一个菱形BMEN；
（2）在图2中作出以BE为边的一个菱形BEPQ．

九．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
12．（2023•湖北）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM．
（1）求证：∠AMB＝∠BMP；
（2）若DP＝1，求MD的长．

一十．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
13．（2023•湖北）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）

一十一．条形统计图（共1小题）
14．（2023•湖北）为了解学生“防诈骗意识”情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果将“防诈骗意识”按A（很强），B（强），C（一般），D（弱），E（很弱）分为五个等级，将收集的数据整理后，绘制成如下不完整的统计图表．

等级
人数
A（很强）
a
B（强）
b
C（一般）
20
D（弱）
19
E（很弱）
16
（1）本次调查的学生共 　 　人；
（2）已知a：b＝1：2，请将条形统计图补充完整；
（3）若将A，B，C三个等级定为“防诈骗意识”合格，请估计该校2000名学生中“防诈骗意识”合格的学生有多少人？

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参考答案与试题解析
一．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
1．（2022•湖北）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．
（1）求k1，k2的值；
（2）若点C，D分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）k1＝4，k2＝﹣4；
（2）C（4，1），D（1，﹣4）．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AG⊥y轴于G，过点B作BH⊥y轴于H，

∵A（1，4），
∴k1＝1×4＝4，AG＝1，OG＝4，
∵∠AOB＝∠AOG+∠BOH＝∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠AOG＝∠OBH，
∵OA＝OB，∠AGO＝∠BHO＝90°，
∴△AGO≌△OHB（AAS），
∴OH＝AG＝1，BH＝OG＝4，
∴B（4，﹣1），
∴k2＝4×（﹣1）＝﹣4；
（2）存在，
如图2，∵△COD≌△AOB，

∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，
∴C（4，1），D（1，﹣4）．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2021•湖北）如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（2，m），直线CD：y1＝ax+b与双曲线：y2＝交于C，P（﹣4，﹣1）两点．
（1）求双曲线y2的函数关系式及m的值；
（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
（3）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．

【答案】（1）双曲线y2的函数关系式为y2＝，m＝2；
（2）点B在双曲线上，理由见解答；
（3）﹣4＜x＜0或x＞2．
【解答】解：（1）将点P（﹣4，﹣1）代入y＝中，得k2＝﹣4×（﹣1）＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点C（2，m）代入y＝中，得m＝＝2；

（2）因为四边形ABCD是菱形，A（2，0），C（2，2），
∴m＝2，B（4，m），
∴B（4，1），
由（1）知双曲线的解析式为y2＝；
∵4×1＝4，
∴点B在双曲线上；

（3）由（1）知C（2，2），
由图象知，当y1＞y2时的x值的范围为﹣4＜x＜0或x＞2．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2023•湖北）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：

时间：第x（天）
1≤x≤30
31≤x≤60
日销售价（元/件）
0.5x+35
50
日销售量（件）
124﹣2x
（1≤x≤60，x为整数）
设该商品的日销售利润为w元．
（1）直接写出w与x的函数关系式 　w＝　；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
【答案】（1）w＝；
（2）该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．
【解答】解：（1）当1≤x≤30时，
w＝（0.5x+35﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620，
当31≤x≤60时，
w＝（50﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣40x+2480，
∴w与x的函数关系式w＝，
故答案为：w＝；
（2）当1≤x≤30时，
w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296，
∵﹣1＜0，
∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；
当31≤x≤60时，w＝﹣40x+2480，
∵﹣40＜0，
∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240，
∵1296＞1240，
∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．
四．二次函数综合题（共2小题）
4．（2023•湖北）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接BC．
（1）抛物线的解析式为 　y＝　；（直接写出结果）
（2）在图1中，连接AC并延长交BD的延长线于点E，求∠CEB的度数；
（3）如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与BC不重合），连接CN，BM，直线CN与BM交于点P．当MN∥BC时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由．

【答案】（1）y＝．
（2）∠CEB＝45°．
（3）3，理由见解答．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝．
故答案为：y＝．
（2）∵A（﹣2，0），C（0，﹣6），
设直线AC的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣6，
同理，由点D（2，﹣8），B（6，0），可得直线BD的解析式为y＝2x﹣12，
零﹣3x﹣6＝2x﹣12，
解得x＝，
∴点E的坐标为（），
由题意可得，OA＝2，OB＝OC＝6，AB＝8，
∴AC＝，
如图，过点E作EF⊥x轴于点F，

∴AE＝，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB，
∴∠ABC＝∠AEB，
∵OB＝OC，∠COB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵∠AEB＝45°，
∴∠CEB＝45°，
答：∠CEB的度数为45°．
（3）设点M的坐标为（m，），点N的坐标为（n，），
∵直线MN与BC不重合，
∴m≠0且m≠6，n≠0且n≠6，
如图，

由点B（6，0），点C（0，﹣6），可得直线BC的解析式为y＝x﹣6，
∵MN∥BC，
设直线MN的解析式为y＝x+t，
∴x+t＝，
∴
∴m+n＝6
∴点N的坐标可以表示为（6﹣m，），
设直线CN的解析式为y＝k2x+b2，
∴，
解得，
∴直线CN的解析式为y＝，
同上，可得直线BM的解析式为y＝，
∴＝，
∴mx＝3m，
∴x＝3，
∴点P的横坐标为定值3．
5．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．
（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；
（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．

【答案】（1）B（2，﹣3），y＝﹣x﹣3；
（2）m的值﹣1或1﹣；
（3）n＝，1＜n≤4．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点A（1，﹣4），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵CB∥x轴，
∴B（2，﹣3），
设直线AC解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝﹣x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，
①当m＞1时，
x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，
解得m＝（舍）；
②当m+2＜1，即m＜﹣1，
x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2时，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，
解得m＝﹣（舍）；
③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，
x＝1时，q＝﹣4，
x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，
解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；
④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，
x＝1时，q＝﹣4，
x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，
解得m＝1+（舍）或m＝1﹣，
综上所述：m的值﹣1或1﹣；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，
设直线BA的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣5，
联立方程组，
整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，
当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，
解得h＝，
此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；
②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，
当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，
解得k＝0（舍）或k＝3，
此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，
当抛物线经过点A时，（1﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣4，
解得k＝0（舍）或k＝1，
当抛物线的顶点为（2，﹣5）时，平移后的抛物线与射线BA有一个公共点，
∴综上所述：1＜n≤4或n＝．


五．三角形综合题（共3小题）
6．（2021•湖北）已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．
（1）当n＝60时，
①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：　BE＝AD　；
②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
（2）当n＝90时，
①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
②当BE∥AC，AB＝3，AD＝1时，请直接写出DC的长．

【答案】（1）①BE＝AD；
②BE＝AD，理由详见解析；
（2）①BE＝AD，理由详见解析；
②DC＝5或．
【解答】解：（1）①当n＝60时，△ABC和△DEC均为等边三角形，
∴BC＝AC，EC＝DC，
又∵BE＝BC﹣EC，
AD＝AC﹣DC，
∴BE＝AD，
故答案为：BE＝AD；
②BE＝AD，理由如下：
当点D不在AC上时，
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝60°，∠DCE＝∠BCE+∠DCB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）①BE＝AD，理由如下：
当n＝90时，在等腰直角三角形DEC中：＝sin45，
在等腰直角三角形ABC中：＝，
∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE+∠DCA＝45°，
∴∠ECB＝∠DCA
在△DCA和△ECB中，
，
∴△DCA∽△ECB，
∴，
∴BE＝，
②DC＝5或，理由如下：
当点D在△ABC外部时，设EC与AB交于点F，如图所示：

∵AB＝3，AD＝1
由上可知：AC＝AB＝3，BE＝＝，
又∵BE∥AC，
∴∠EBF＝∠CAF＝90°，
而∠EFB＝∠CFA，
∴△EFB∽△CFA，
∴＝＝，
∴AF＝3BF，而AB＝BF+AF＝3，
∴BF＝＝，
在Rt△EBF中：EF＝＝＝，
又∵CF＝3EF＝3×＝，
∴EC＝EF+CF＝＝5（或EC＝4EF＝5），
在等腰直角三角形DEC中，DC＝EC•cos45°＝5×＝5．
当点D在△ABC内部时，过点D作DH⊥AC于H

∵AC＝3，AD＝1，∠DAC＝45°
∴AH＝DH＝，CH＝AC﹣AH＝，
∴CD＝＝＝，
综上所述，满足条件的CD的值为5或．
7．（2022•湖北）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD＝m，BD＝n，△ADE与△BDF的面积之和为S．
（1）填空：当∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，
①如图1，若∠B＝45°，m＝5，则n＝　5　，S＝　25　；
②如图2，若∠B＝60°，m＝4，则n＝　4　，S＝　8　；
（2）如图3，当∠ACB＝∠EDF＝90°时，探究S与m，n的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，当∠ACB＝60°，∠EDF＝120°，m＝6，n＝4时，请直接写出S的大小．

【答案】（1）①5，25；
②4，8；
（2）S＝mn；
（3）6．
【解答】解：（1）①如图1中，∵∠ACB＝90°，∠B＝45°，
∴CA＝CB，
∵CD平分∠ACB，
∴AD＝DB＝5，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠A＝∠B＝45°，
∴△ADE，△BDF都是等腰直角三角形，
∴BF＝DF＝5，AE＝DE＝5，
∴S＝×5×5+×5×5＝25，
故答案为：5，25；
②如图2中，

在Rt△ADE中，AD＝4，∠A＝90°﹣∠B＝30°，
∴DE＝AD＝2，AE＝DE＝6，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，CD平分∠ACB，
∴DE＝DF＝2，
∴BF＝2，BD＝2BF＝4，
∴n＝4，
∴S＝×2×6+×2×2＝8，
故答案为：4，8；

（2）如图3中，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．

∵DM⊥AC，DN⊥BC，CD平分∠ACB，
∴DM＝DN，
∵∠DMC＝∠DNC＝∠MCN＝90°，
∴四边形DNCM是矩形，
∴DM＝DN，
∴四边形DMCN是正方形，
∴∠MDN＝∠EDF＝90°，
∴∠MDE＝∠NDF，
∵∠DME＝∠DNF，
∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，
把△BDN绕点D逆时针旋转90°得到右边△ADH，∠ADH＝90°，AD＝m，DH＝n，
∴S＝mn；

（3）如图4中，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N．

∵DM⊥AC，DN⊥BC，CD平分∠ACB，
∴DM＝DN，
∵∠DMC＝∠DNC＝90°，
∴∠MDN＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠EDF＝∠MDN＝120°，
∴∠EDM＝∠FDN，
∵∠DME＝∠DNF＝90°，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴S＝S△ADE+S△BDF＝S△ADM+S△BDN，
把△ADM绕点D顺时针旋转120°得到△DNT，∠BDT＝60°，DT＝6，DB＝4，
过点B作BH⊥DT于点H，
∴BH＝BD×sin60°＝4×＝2，
∴S＝S△BDT＝×6×2＝6．
8．（2021•湖北）如图1，已知∠RPQ＝45°，△ABC中，∠ACB＝90°，动点P从点A出发，以2cm/s的速度在线段AC上向点C运动，PQ，PR分别与射线AB交于E，F两点，且PE⊥AB，当点P与点C重合时停止运动，如图2，设点P的运动时间为xs，∠RPQ与△ABC的重叠部分面积为ycm2，y与x的函数关系由C1（0＜x≤5）和C2（5＜x≤n）两段不同的图象组成．
（1）填空：①当x＝5s时，EF＝　10　cm；
②sinA＝　　；
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当y≥36cm2时，请直接写出x的取值范围．

【答案】（1）10，．
（2）y＝．
（3）3≤x≤6．
【解答】解：（1）当x＝5时，如图3中，点F与B重合．

∵∠RPQ＝45°，PE⊥AB，
∴∠PEF＝90°，
∴∠EPF＝∠PFE＝45°，
∴EF＝EP，
由题意•EF•PE＝50，
∴EF＝PE＝10（cm），
∵AP＝5×2＝10（cm），
∴sinA＝＝＝．
故答案为：10，．

（2）当0＜x≤5时，重叠部分是△PEF，y＝×（×2x）2＝2x2．
如图3中，在Rt△APE中，AE＝＝＝20（cm），
∴AB＝EF+AE＝30（cm），
∴BC＝AB＝6（cm），
∴AC＝＝＝12，
∴点P从A运动到C的时间x＝＝6，
当5＜x≤6时，如图4中，重叠部分是四边形PTBE，作BL∥PF交AC于L，过点L作LJ⊥AB于J，LK⊥AC交AB于K，过点B作BH⊥PF于H．

∵BL∥PF，
∴∠LBJ＝∠PFE＝45°，
∴△BLJ是等腰直角三角形，
∴BJ＝LJ＝10（cm），BL＝10（cm），
∵tanA＝＝，
∴LK＝5，AK＝25，
∴BK＝AB﹣AK＝30﹣25＝5，
∵BC∥KL，
∴∠FBT＝∠BKL，
∴△FBT∽△BKL，
∴＝，
∴＝，
∴FT＝（12x﹣60）（cm），
∵BH＝BF＝（6x﹣30）＝3x﹣15，
∴y＝S△PEF﹣S△BTF＝×2x×2x﹣×（12x﹣60）•（3x﹣15）＝﹣34x2+360x﹣900．
解法二：过点T作TW⊥BF于W，求出TW，根据S△TBF＝•BF•TW，求解．
综上所述，y＝．

（3）当y＝36时，2x2＝36，x＝3，
﹣34x2+360x﹣900＝36，
解得x＝6或，
∵＜5，
∴x＝不符合题意舍弃，
观察图象可知，满足条件的x的值为3≤x≤6．
六．圆内接四边形的性质（共1小题）
9．（2022•湖北）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：FB2＝FE•FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）BF＝2；EG＝．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴．
∴∠DBA＝∠G．
∵∠EFB＝∠BFG，
∴△EFB∽△BFG，
∴，
∴FB2＝FE•FG；
（2）解：连接OE，如图，

∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，
∴BD＝＝6．
∴OB＝BD＝3．
∵点E为AB的中点，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，
∴OE∥BC，OE＝BE＝AB．
∴．
∴，
∴，
∴BF＝2；
∵点E为AB的中点，
∴AE＝BE＝3，
∴EC＝＝3．
∵AE•BE＝EG•EC，
∴EG＝．
七．切线的判定与性质（共1小题）
10．（2021•湖北）如图，AB为⊙O直径，D为⊙O上一点，BC⊥CD于点C，交⊙O于点E，CD与BA的延长线交于点F，BD平分∠ABC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，CE＝1，求CD和DF的长．

【答案】（1）见解答过程；
（2）CD＝3；DF＝．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵BD平分∠ABC．
∴∠ABD＝∠DBC，
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠DBC＝∠ODB，
又∵BC⊥CD，
∴∠C＝90°，
∴∠DBC+∠BDC＝90°，
∴∠ODB+∠BDC＝90°，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接AE交OD于点H，

∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠HEC＝90°，
∵BC⊥CD，OD⊥DC，
∴∠ODC＝∠C＝90°，
∴四边形HECD是矩形，
∴DH＝CE＝1，HE＝CD，∠EHD＝90°，HE∥CD，
∴OD⊥AE，
∴AH＝HE，
∵AB＝10，
∴OA＝OD＝5，
∴OH＝OD﹣DH＝5﹣1＝4，
∴AH＝，
∴HE＝AH＝3，
∴CD＝HE＝3，
∵HE∥CD，
∴△OAH∽△OFD，
∴，
∴，
∴DF＝．
八．作图—复杂作图（共1小题）
11．（2023•湖北）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．
（1）在图1中作出以BE为对角线的一个菱形BMEN；
（2）在图2中作出以BE为边的一个菱形BEPQ．

【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解答】解：如图：

（1）菱形BMEN、菱形BPEQ即为所求；
（2）菱形BEPQ即为所求．
九．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
12．（2023•湖北）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM．
（1）求证：∠AMB＝∠BMP；
（2）若DP＝1，求MD的长．

【答案】（1）证明过程见详解；（2）MD＝．
【解答】（1）证明：点B、M关于线段EF对称，由翻折的性质可知：∠MBC＝∠BMP，
∵ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠MBC＝∠AMB，
∴∠AMB＝∠BMP（等量代换）．
（2）解：设MD＝x，则AM＝3﹣x，设AE＝y，则EM＝EB＝3﹣y．
在Rt△AEM中，AE2+AM2＝EM2，
∴y2+（3﹣x）2＝（3﹣y）2，
∴y＝﹣x2+x．即AE＝﹣x2+x．
∵∠ABC＝∠EMN＝90°，
∴∠AME+∠DMP＝90°，
又∵∠AEM+∠AME＝90°，
∴∠AEM＝∠DMP，∠A＝∠D，
∴△AEM∽△DMP．
∴＝，＝，
整理得：，
∴x＝．
∴MD＝．

一十．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
13．（2023•湖北）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）

【答案】斜坡AB的长约为10.3米．
【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，

由题意得：AF⊥BC，DE＝AF，
∵斜面AB的坡度i＝3：4，
∴＝，
∴设AF＝3x米，则BF＝4x米，
在Rt△ABF中，AB＝＝＝5x（米），
在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米，
∴DE＝CD•sin18°≈20×0.31＝6.2（米），
∴AF＝DE＝6.2米，
∴3x＝6.2，
解得：x＝，
∴AB＝5x≈10.3（米），
∴斜坡AB的长约为10.3米．
一十一．条形统计图（共1小题）
14．（2023•湖北）为了解学生“防诈骗意识”情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果将“防诈骗意识”按A（很强），B（强），C（一般），D（弱），E（很弱）分为五个等级，将收集的数据整理后，绘制成如下不完整的统计图表．

等级
人数
A（很强）
a
B（强）
b
C（一般）
20
D（弱）
19
E（很弱）
16
（1）本次调查的学生共 　100　人；
（2）已知a：b＝1：2，请将条形统计图补充完整；
（3）若将A，B，C三个等级定为“防诈骗意识”合格，请估计该校2000名学生中“防诈骗意识”合格的学生有多少人？
【答案】（1）100；（2）补充完整的条形统计图见解答；（3）1300人．
【解答】解：（1）20÷20%＝100（人），
即本次调查的学生共100人，
故答案为：100；
（2）∵a：b＝1：2，
∴a＝（100﹣20﹣19﹣16）×＝15，b＝（100﹣20﹣19﹣16）×＝30，
补充完整的条形统计图如图所示；
（3）2000×＝1300（人），
答：估计该校2000名学生中“防诈骗意识”合格的学生有1300人．