辽宁省阜新市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份辽宁省阜新市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共35页。试卷主要包含了，交y轴于点C，，与y轴交于点C，，且AE＝CF等内容，欢迎下载使用。
辽宁省阜新市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2023•阜新）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元．
（1）求：足球和排球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？
二．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
2．（2023•阜新）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数y＝a|x﹣b|+c（a，b，c是常数，a≠0）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
（1）当a＝1，b＝c＝0时，即y＝|x|．当x≥0时，函数化简为y＝x；当x＜0时，函数化简为y＝　 　．
（2）当a＝2，b＝1，c＝0时，即y＝2|x﹣1|．
①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
6
m
2
0
2
4
6
…
其中m＝　 　．
②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数y＝2|x﹣1|的图象．
（3）当a＝﹣2，b＝1，c＝2时，即y＝﹣2|x﹣1|+2．
①当x≥1时，函数化简为y＝　 　．
②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数y＝﹣2|x﹣1|+2的图象．
（4）请写出函数y＝a|x﹣b|+c（a，b，c是常数，a≠0）的一条性质：　 　．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准）
三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2022•阜新）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0＜t＜5）．当t为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．


4．（2021•阜新）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2023•阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．
（3）如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

四．四边形综合题（共3小题）
6．（2023•阜新）如图，在正方形ABCD中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为α，点F在直线DE上，且AD＝AF，连接BF．
（1）如图1，当0°＜α＜90°时，
①求∠BAF的大小（用含α的式子表示）．
②求证：EF＝BF．
（2）如图2，取线段EF的中点G，连接AG，已知AB＝2，请直接写出在线段CE旋转过程中（0°＜α＜360°）△ADG面积的最大值．

7．（2021•阜新）在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且AE＝CF．
（1）如图2，求证：DE＝DF；
（2）若直线AC与EF相交于点G，
①如图3，求证：DG⊥EF；
②设正方形ABCD的中心为O，∠CFE＝α，用含α的式子表示∠DGO的度数（不必证明）．

8．（2022•阜新）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．
（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；
（2）直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．


五．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
9．（2021•阜新）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．
（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G，G关于y轴的对称图形为G1，关于x轴的对称图形为G2．则将图形G1绕 　 　点顺时针旋转 　 　度，可以得到图形G2．
（2）在图2中分别画出G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2．将图形G1绕 　 　点（用坐标表示）顺时针旋转 　 　度，可以得到图形G2．
（3）综上，如图3，直线l1：y＝﹣2x+2和l2：y＝x所夹锐角为α，如果图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，那么将图形G1绕 　 　点（用坐标表示）顺时针旋转 　 　度（用α表示），可以得到图形G2．

六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
10．（2023•阜新）如图，小颖家所在居民楼高AB为46m．从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角α是45°，而大厦底部D的俯角β是37°．
（1）求两楼之间的距离BD．
（2）求大厦的高度CD．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

11．（2022•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）

七．条形统计图（共2小题）
12．（2023•阜新）端午节是中华民族的传统节日，节日里吃粽子是传统习俗，为了了解附近居民对A（肉粽子），B（蛋黄粽子），C（红枣粽子），D（葡萄干粽子）四种口味粽子的喜爱情况，某商场随机抽取了某小区的部分居民进行问卷调查（每人只能选一种口味），并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）参加此次问卷调查的居民共有 　 　人．
（2）通过计算将条形统计图补充完整．
（3）若该小区共有2000名居民，请估计喜爱A（肉粽子）的居民约有多少人．
13．（2021•阜新）育红学校为了了解学生家长对教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》（以下简称《通知》）的了解程度，随机抽取了该校部分学生家长进行问卷调查，问卷分为A（十分了解），B（了解较多），C（了解较少），D（不了解）四个选项，要求每位被调查家长必选且只能选择其中的一项．在对调查数据进行统计分析时，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：

（1）参与这次学校调查的学生家长共 　 　人；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有2000名学生家长，请估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共有多少人？

辽宁省阜新市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2023•阜新）为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元．
（1）求：足球和排球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？
【答案】（1）足球的单价是80元，排球的单价是65元．
（2）学校最多可以购买70个足球．
【解答】解：（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是（x﹣15）元，
依题意得：，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣15＝65．
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元．
（2）设学校可以购买m个足球，则可以购买（100﹣m）个排球，
依题意得：80m+65（100﹣m）≤7550，
解得：m≤70．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为70．
答：学校最多可以购买70个足球．
二．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
2．（2023•阜新）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数y＝a|x﹣b|+c（a，b，c是常数，a≠0）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
（1）当a＝1，b＝c＝0时，即y＝|x|．当x≥0时，函数化简为y＝x；当x＜0时，函数化简为y＝　﹣x　．
（2）当a＝2，b＝1，c＝0时，即y＝2|x﹣1|．
①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
6
m
2
0
2
4
6
…
其中m＝　4　．
②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数y＝2|x﹣1|的图象．
（3）当a＝﹣2，b＝1，c＝2时，即y＝﹣2|x﹣1|+2．
①当x≥1时，函数化简为y＝　﹣2x+4　．
②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数y＝﹣2|x﹣1|+2的图象．
（4）请写出函数y＝a|x﹣b|+c（a，b，c是常数，a≠0）的一条性质：　当a＞0，函数y＝a|x﹣b|+c有最低点（b，c）　．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准）
【答案】（1）﹣x；
（2）①4；
②见解答；
（3）①﹣2x+4；
②见解答；
（4）当a＞0，函数y＝a|x﹣b|+c有最低点（b，c）；
当a＜0时，函数y＝a|x﹣b|+c有最高点（b，c）．
【解答】解：（1）y＝|x|．当x＜0时，函数化简为y＝﹣x，
故答案为：﹣x；
（2）①当x＝﹣1时，y＝2|x﹣1|＝2|﹣1﹣1|＝4，
故答案为：4；
②如图1所示：

（3）①当x≥1时，函数化简为y＝﹣2（x﹣1）+2＝﹣2x+4，
故答案为：﹣2x+4；
②如图2所示：
（4）当a＞0，函数y＝a|x﹣b|+c有最低点（b，c）；
故答案为：当a＞0，函数y＝a|x﹣b|+c有最低点（b，c）．
三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2022•阜新）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0＜t＜5）．当t为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？
（3）已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．


【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；
（2）当时，△BMN的面积最大，最大面积是；
（3）存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，Q的坐标为（﹣7，12）或（7，﹣2）或（1，4）或（2，3）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得，
解这个方程组得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，如图：

设△BMN面积为S，
根据题意得：ON＝t，BM＝．
∵B（5，0），
∴BN＝5﹣t，
在y＝﹣x2+4x+5中，令x＝0得y＝5，
∴C（0，5），
∴OC＝OB＝5，
∴∠OBC＝45°．
∴ME＝BMsin45°＝，
∴S＝BN•ME＝（5﹣t）•t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
∵0＜t＜5，
∴当时，△BMN的面积最大，最大面积是；
（3）存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由B（5，0），C（0，5）得直线BC解析式为y＝﹣x+5，
设Q（m，﹣m+5），P（n，﹣n2+4n+5），又A（﹣1，0），C（0，5），
①当PQ，AC是对角线，则PQ，AC的中点重合，
∴，
解得m＝0（与C重合，舍去）或m＝﹣7，
∴Q（﹣7，12）；
②当QA，PC为对角线，则QA，PC的中点重合，
∴，
解得m＝0（舍去）或m＝7，
∴Q（7，﹣2）；
③当QC，PA为对角线，则QC，PA的中点重合，
∴，
解得m＝1或m＝2，
∴Q（1，4）或（2，3），
综上所述，Q的坐标为（﹣7，12）或（7，﹣2）或（1，4）或（2，3）．
4．（2021•阜新）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3．
（2）当m＝时，S△PBC的最大值为．
（3）点M的坐标为M1（0，﹣3），M2 ，M3，M4（，）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：
，
解得：，
∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E （m，），
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，
联立方程组：，
解得：，，
∵点B坐标为（3，0），
∴点C的坐标为（，﹣），
∴BD+CF＝3+，
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC
＝PE•BD+PE•CF
＝PE（BD+CF）
＝（﹣m2+m+1）•
＝（）2+，（其中＜m＜3），
∵，
∴这个二次函数有最大值．
当m＝时，S△PBC的最大值为．
（3）如图2，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：，，
M1（0，﹣3），M2 ，
如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：t1＝，t2＝，
∴M3，M4（，）；
综上所述，点M的坐标为M1（0，﹣3），M2 ，M3，M4（，）．



5．（2023•阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．
（3）如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）；
（3）Q（1﹣，﹣）或（1+，）．
【解答】解：（1）由题意得，
y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，

作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°，
∴∠MEQ＝∠AEF＝90°﹣∠CAO＝45°，
抛物线的对称轴是直线：x＝，
∴y＝x+3＝﹣1+3＝2，
∴D（1，2），
∵C（0，3），
∴CD＝，
故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大，
设过点M与AC平行的直线的解析式为：y＝x+m，
当直线y＝x+m与抛物线相切时，△MCD的面积最大，
由x+m＝﹣x2﹣2x+3得，
x2+3x+（m﹣3）＝0，
由Δ＝0得，
32﹣4（m﹣3）＝0得，
m﹣3＝，
∴x2+3x+＝0，
∴x1＝x2＝﹣，
∴y＝﹣（﹣）2﹣2×+3＝，
y＝x+3＝﹣+3＝，
∴ME＝，
∴MQ＝ME•sin∠MEQ＝ME•sin45°＝，
∴S△MCD最大＝＝；
（3）如图2，

当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，
∵点B和点Q关于CQ对称，
∴CP＝CB，
设P（t，t+3），
由CP2＝CB2得，
2t2＝10，
∴t1＝﹣，t2＝（舍去），
∴P（﹣，3﹣），
∵PQ∥BC，
∴，
∴CR＝QR，
∴四边形BCPQ是平行四边形，
∵1+（﹣）﹣0＝1﹣，0+（3﹣）﹣3＝﹣，
∴Q（1﹣，﹣）；
如图3，

当点P在AC的延长线上时，由上可知：P（，3+），
同理可得：Q（1+，），
综上所述：Q（1﹣，﹣）或（1+，）．
四．四边形综合题（共3小题）
6．（2023•阜新）如图，在正方形ABCD中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角为α，点F在直线DE上，且AD＝AF，连接BF．
（1）如图1，当0°＜α＜90°时，
①求∠BAF的大小（用含α的式子表示）．
②求证：EF＝BF．
（2）如图2，取线段EF的中点G，连接AG，已知AB＝2，请直接写出在线段CE旋转过程中（0°＜α＜360°）△ADG面积的最大值．

【答案】（1）①∠BAF＝90°﹣α；
②见解析；
（2）△ADG面积的最大值为1+．
【解答】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA．∠ADC＝∠BCD＝∠DAB＝90°，
由题意得CD＝CE，∠DCE＝α：
∴∠CDE＝∠CED＝（180°﹣α）＝90°﹣α．
∴∠ADF＝90°﹣∠CDE＝90°﹣（90°﹣α）＝α，
∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD＝α，
∴∠FAD＝180°﹣∠ADF﹣∠AFD＝180°﹣α，
∴∠BAF＝∠FAD﹣∠BAD＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α；
②连接BE．

∵∠DCE＝α，
∴∠BCE﹣90°﹣α＝∠BAF，
∵CD＝CE＝AD＝AF＝BC，
∴△BCE≌△BAF（SAS），
∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE．
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝90°
∴△EBF是等腰直角三角形，
∴EF＝BF；
（2）解：过点G作AD的垂线，交直线AD于点H，连接AC，BD相交于点，O，连接OG，
由（1）得△EBF是等腰直角三角形，又点G为斜边EF的中点，
∴BG⊥EF，即∠BGD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD．
∴OB＝OD＝OG，
∴点G在以点O为圆心，OB为半径的一段弧上，
当点H、O、G在同一直线上时，GH有最大值，则△ADG面积的最大值，
∴GH＝AB+OG＝AB+BD＝×2+×2＝1+．
∴△ADG面积的最大值为AD×GH＝1+．
7．（2021•阜新）在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且AE＝CF．
（1）如图2，求证：DE＝DF；
（2）若直线AC与EF相交于点G，
①如图3，求证：DG⊥EF；
②设正方形ABCD的中心为O，∠CFE＝α，用含α的式子表示∠DGO的度数（不必证明）．

【答案】（1）证明见解答过程；（2）①证明见解答过程；②∠DGO＝α+45°或∠DGO＝α﹣45°或∠DGO＝45°﹣α．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠C＝∠DAB＝90°．
∴∠DAE＝∠C＝90°，
又∵AE＝CF，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF；
（2）①证明：作EH∥BC交AC于点H，如图3．

∴∠EHG＝∠FCG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°．
∴∠BAC＝∠BCA＝45°
∵EH∥BC，
∴∠AHE＝∠ACB＝45°．
∴∠BAH＝∠AHE．
∴AE＝EH，
∵AE＝CF，
∴EH＝CF．
又∵∠EGH＝∠FGC，
∴△EHG≌△FCG（AAS），
∴EG＝GF．
由（1）同理可得 DE＝DF，
∴DG⊥EF；
②解：Ⅰ当点E在线段AB上时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，
∵DE＝DF，DG⊥EF，
∴∠GDF＝∠2＝45°，
∴∠1＝45°﹣∠3，
∵∠BCD＝90°，
∴∠3+∠2+∠CFE＝90°，
∴∠3＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α，
∴∠1＝45°﹣∠3＝α，
∵∠DGO＝∠ACD+∠1，
∴∠DGO＝α+45°；
Ⅱ当点E在线段BA的延长线上时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，
∵DE＝DF，DG⊥EF，
∴∠GDF＝∠GFD＝∠BDC＝45°，
∴∠1＝∠2，
∵∠BCD＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，
∵∠3＝∠CFE﹣∠GFD＝α﹣45°，
∴∠2＝90°﹣α+45°＝135°﹣α，
∴∠1＝∠2＝135°﹣α，
∴∠DGO＝90°﹣∠1＝α﹣45°；
Ⅲ当点E在线段AB的延长线上时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠ACD＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵DE＝DF，DG⊥EF，
∴∠GDE＝∠DEG＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CFE+∠2+∠DEG＝90°，
∴∠CFE+∠2＝45°，
∴∠CFE＝∠1＝α，
∴∠DGO+∠1＝∠ACD＝45°，
∴∠DGO＝45°﹣α．
综上：∠DGO＝α+45°或∠DGO＝α﹣45°或∠DGO＝45°﹣α．
8．（2022•阜新）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．
（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；
（2）直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．


【答案】（1）证明见解析部分；
（2）①证明见解析部分；
②2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°．
∵DE＝DF，∠EDF＝90°．
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF（SAS）；

（2）①证明：如图2中，设AG与CD相交于点P．

∵∠ADP＝90°，
∴∠DAP+∠DPA＝90°．
∵△ADE≌△CDF，
∴∠DAE＝∠DCF．
∵∠DPA＝∠GPC，
∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°．
∴∠PGN＝90°，
∵BM⊥AG，BN⊥GN，
∴四边形BMGN是矩形，
∴∠MBN＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°．
∴∠ABM＝∠CBN．
又∵∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴△AMB≌△CNB．
∴MB＝NB．
∴矩形BMGN是正方形；

②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，

此时△AMB≌△AHD．
∴BM＝AH．
∵AH2＝AD2﹣DH2，AD＝4，
∴DH最大时，AH最小，DH最大值＝DE＝2．
∴BM最小值＝AH最小值＝．
由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形，
∴BG最小值＝．
五．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
9．（2021•阜新）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．
（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G，G关于y轴的对称图形为G1，关于x轴的对称图形为G2．则将图形G1绕 　O　点顺时针旋转 　180　度，可以得到图形G2．
（2）在图2中分别画出G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2．将图形G1绕 　（0，1）　点（用坐标表示）顺时针旋转 　90　度，可以得到图形G2．
（3）综上，如图3，直线l1：y＝﹣2x+2和l2：y＝x所夹锐角为α，如果图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，那么将图形G1绕 　（，）　点（用坐标表示）顺时针旋转 　2α　度（用α表示），可以得到图形G2．

【答案】（1）O，180；
（2）图见解答过程；（0，1），90；
（3）（，），2α．
【解答】解：（1）由图象即可知，将图形G1绕O点顺时针旋转180度，可以得到图形G2，
故答案为：O，180；
（2）G关于y轴和直线y＝x+1的对称图形G1，G2，如图2所示，
∵图形G1，G2对应点连线的垂直平分线交于点（0，1），
∴图形G1绕（0，1）点顺时针旋转90度，可以得到图形G2，
即答案为：G1，G2如图2；（0，1），90；
（3）图形G关于直线l1的对称图形为G1，关于直线l2的对称图形为G2，
则直线l1与直线l2的交点即为图形G1，G2对应点连线的垂直平分线交点，
即旋转中心，
∴，
解得，
∴图形G1绕点（，）旋转可以得到图形G2，
如图3，设A点，点A'，点A''分别是在图形G，G1，G2上的对应点，
设旋转中心为P，则∠A'PA''即为旋转角，
连接AP，A'P，A''P，
∵两直线所夹的锐角为α，
由图象的对称性可知，∠APA'+∠APA''＝180°﹣α，
∴∠A'PA''＝360°﹣2（∠APA'+∠APA''）＝360°﹣（360°﹣2α）＝2α，
故答案为：（，），2α．


六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
10．（2023•阜新）如图，小颖家所在居民楼高AB为46m．从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角α是45°，而大厦底部D的俯角β是37°．
（1）求两楼之间的距离BD．
（2）求大厦的高度CD．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【答案】（1）两楼之间的距离BD约为61.3m；
（2）大厦的高度CD约为107.3m．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥CD，垂足为E，

由题意得：AE＝BD，AB＝DE＝46m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝β＝37°，
∴AE＝≈≈61.3（m），
∴AE＝BD≈61.3m，
∴两楼之间的距离BD约为61.3m；
（2）在Rt△ACE中，∠CAE＝45°，
∴CE＝AE•tan45°＝61.3（m），
∴CD＝CE+DE≈61.3+46＝107.3（m），
∴大厦的高度CD约为107.3m．
11．（2022•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）

【答案】（1）9m．
（2）24m．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，

∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，
∴（m）．
∴（m）．
答：C，D两点的高度差为9m．
（2）过点D作DF⊥AB于F，
由题意可得BF＝DE，DF＝BE，
设AF＝xm，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，
解得DF＝x，
在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，
tan60°＝＝，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴AB＝++9≈24（m）．
答：居民楼的高度AB约为24m．
七．条形统计图（共2小题）
12．（2023•阜新）端午节是中华民族的传统节日，节日里吃粽子是传统习俗，为了了解附近居民对A（肉粽子），B（蛋黄粽子），C（红枣粽子），D（葡萄干粽子）四种口味粽子的喜爱情况，某商场随机抽取了某小区的部分居民进行问卷调查（每人只能选一种口味），并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）参加此次问卷调查的居民共有 　50　人．
（2）通过计算将条形统计图补充完整．
（3）若该小区共有2000名居民，请估计喜爱A（肉粽子）的居民约有多少人．
【答案】（1）50；
（2）见解析；
（3）400人．
【解答】解：（1）参加此次问卷调查的居民共有20÷40%＝50（人），
故答案为：50；
（2）喜欢B的人数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人），
补全条形统计图如下：
；
（3）2000×＝400（人），
答：估计喜爱A（肉粽子）的居民约有400人．
13．（2021•阜新）育红学校为了了解学生家长对教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》（以下简称《通知》）的了解程度，随机抽取了该校部分学生家长进行问卷调查，问卷分为A（十分了解），B（了解较多），C（了解较少），D（不了解）四个选项，要求每位被调查家长必选且只能选择其中的一项．在对调查数据进行统计分析时，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：

（1）参与这次学校调查的学生家长共 　150　人；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有2000名学生家长，请估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共有多少人？
【答案】（1）150；（2）见解答；（3）1120人．
【解答】解：（1）参与这次学校调查的学生家长共30÷20%＝150（人），
故答案为：150；
（2）C选项人数为：150﹣30﹣54﹣24＝42（人），
补全图形如下：


（3）×2000＝1120（人），
答：估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共有1120人．