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辽宁省盘锦市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
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这是一份辽宁省盘锦市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共34页。试卷主要包含了，与y轴交于点C等内容，欢迎下载使用。
辽宁省盘锦市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2021•盘锦）如图，直线y＝x﹣交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，EA的延长线交直线y＝x﹣于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2023•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2023•盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元
…
24
26
28
30
32
…
月销售量y/件
…
52
48
44
40
36
…
（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．
5．（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标为 ；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．
6．（2023•盘锦）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点Q是x轴上方抛物线上一点，射线QM⊥x轴于点N，若QM＝BM，且tan∠MBN＝，请直接写出点Q的坐标．
（3）如图2，点E是第一象限内一点，连接AE交y轴于点D，AE的延长线交抛物线于点P，点F在线段CD上，且CF＝OD，连接FA，FE，BE，BP，若S△AFE＝S△ABE，求△PAB的面积．
五．三角形综合题（共1小题）
7．（2022•盘锦）在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．
（1）如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系： ．
（2）如图2．若∠ACB＝90°，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长．
六．四边形综合题（共1小题）
8．（2021•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连接NA，以NA，NF为邻边作▱ANFG，连接DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，DG与DN的关系为 ．
（2）如图2，当0°＜α＜45°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）在Rt△ECF的旋转过程中，当▱ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝5时，连接GN，请直接写出GN的长．
七．几何变换综合题（共1小题）
9．（2023•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，BM＝DN，连接AM，AN，点H在BC的延长线上，∠MAH＝2∠BAM，点E在线段BH上，且HE＝AM，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得∠HEG＝∠MAH，EG交AH于点F．
（1）线段AM与线段AN的关系是 ．
（2）若EF＝5，FG＝4，求AH的长．
（3）求证：FH＝2BM．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
10．（2022•盘锦）某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α
α＝58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β
β＝31°
测角仪到地面的距离
AB＝DC＝1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离
BC＝2m
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
11．（2021•盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
九．列表法与树状图法（共2小题）
12．（2022•盘锦）某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、国画鉴赏、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；
（4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；
（5）在经典诵读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率．
13．（2021•盘锦）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
（1）填空：a＝ ，b＝ ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）．
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
辽宁省盘锦市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2021•盘锦）如图，直线y＝x﹣交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，EA的延长线交直线y＝x﹣于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．
【答案】（1）y＝；
（2）（﹣2，0）或（4，0）．
【解答】解：（1）∵S矩形OMAE＝4，即|k|＝4，
又∵k＞0，
∴k＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）当y＝4时，即4＝x﹣，
解得x＝6，
即D（6，4），而A（1，4），
∴AD＝DE﹣AE＝6﹣1＝5，
由于AB＝AD＝5，AM＝4，点B在x轴上，
在Rt△AMB中，由勾股定理得，
MB＝＝3，
①当点B在点M的左侧时，
点B的横坐标为1﹣3＝﹣2，
∴点B（﹣2，0），
②当点B在点M的右侧时，
点B的横坐标为1+3＝4，
∴点B（4，0），
因此点B的坐标为（﹣2，0）或（4，0）．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2023•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）y＝；
（2）F（2+，2）．
【解答】解：（1）过C点作MN⊥x轴于M点，过B作BN⊥CM于N点，如图所示：
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
设C（m，），
∵B（0，3），A（1，0）
则CM＝，M（m，0），N（m，3），
∵AN＝m﹣1，CN＝3﹣，BN＝m，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCN+∠ACM＝90°，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，
∴∠BCN＝∠MAC，
又∵AC＝BC，
∠BCN＝∠MAC，
∠AMC＝∠BNC＝90°
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CN＝AM，BN＝CM，
∴3﹣＝m﹣1，m＝，
∴k＝m2，
∴3﹣m＝m﹣1，
m＝2，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式：y＝；
（2）由（1）可得C（2，2），
∵A（1，0），
∴AC＝＝，
∵CE∥x轴，∠DAC的平分线交直线EC于点F，
∴F点纵坐标为2，∠CAF＝DAF＝∠CFA，
∴CF＝AC＝，
∴F点横坐标为2+，
∴F（2+，2）．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2023•盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元
…
24
26
28
30
32
…
月销售量y/件
…
52
48
44
40
36
…
（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
【答案】（1）y＝﹣2x+100；
（2）①三月份每件产品的成本是20万元；②四月份最少利润是500万元．
【解答】解：（1）在表格取点（30，40）、（32，36），
设一次函数的表达式为：y＝kx+b，
则，解得：，
则一次函数的表达式为：y＝﹣2x+100；
（2）①设三月的成本为m万元，
当x＝35时，y＝﹣2x+100＝30，
由题意得：450＝30（35﹣m），
解得：m＝20，
即三月份每件产品的成本是20万元；
②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为20﹣14＝6，
由题意得：w＝y（x﹣6）﹣450＝（﹣2x+100）（x﹣6）﹣450＝﹣2x2+112x﹣1050（25≤x≤30），
则抛物线的对称轴为x＝28，
则x＝25时，w取得最小值，
此时，w＝500，
即四月份最少利润是500万元．
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；
（2）P（3，﹣4）；
（3）点P的横坐标为．
【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），
设点P（m，m2﹣3m﹣4），
则，，
∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，
∴S△BCE＝S△BPE，
∴，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
∴P（3，﹣4）；
方法二：∵S1＝S2，
∴S△PBE＝S△CBE，
∴PC∥x轴，
∴点P与C关于对称轴x＝对称，
∴P（3，﹣4）；
（3）如图，作CE⊥l于E，PQ⊥BC于Q，PN⊥x轴于N，连接PC交x轴于点H，
设P（n，n2﹣3n﹣4），PC的表达式为：y＝kx+d（k≠0），
将P，C代入y＝kx+d（k≠0）得，
，
解得：，
∴PC的表达式为：y＝（n﹣3）x﹣4，
将y＝0代入y＝（n﹣3）x﹣4得，
0＝（n﹣3）x﹣4，
即，
∴，
∵S△PCB＝S△PHB+S△HCB，
∴PQ•BC＝PN•HB+OC•HB，
∵BC＝＝，
∴，
∵，
由题可知，，
∴，
将代入y＝x2﹣3x﹣4得，，
∴，
∴，
∵∠PBC+∠CFG＝90°，PQ⊥BC，CE⊥l，
∴∠PBQ＝∠FCE，∠CEF＝∠PQB，
∴△CEF∽△PQB，
∴，
∴，
解得：（舍去）．
∴点P的横坐标为﹣，
方法二：将CF绕点F顺时针旋转90°得C'，连接CC'，作CE⊥l于E，
求出点C'（），
从而求出直线CC'的解析式，
∴∠ECF＝∠BCC'＝∠PBC，
∴BP∥CC'，
求出直线BP的解析式与抛物线求交点即可．
5．（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标为 （4，2） ；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．
【答案】（1）（4，2）；（2）（1，）或（3，）；（3）2s．
【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2+2x+6中，
令y＝0，则﹣x2+2x+6＝0，
∴x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
令x＝0，则y＝6，
∴C（0，6），
在直线y＝x﹣2，令y＝0，则x＝2，
∴E（2，0），
令x＝0，则y＝﹣2，
∴D（0，﹣2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+6，
联立，
解得，
∴F（4，2），
故答案为（4，2）；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，
∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMF＝∠QNF，
∴△PMF∽△QNF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵FH∥PG，
∴＝＝，
∵FH＝2，
∴PG＝，
∴P点纵坐标为，
∴﹣x2+2x+6＝，
∴x＝1或x＝3，
∴P（1，）或P（3，）；
（3）如图2，过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，
由题意得，EG＝4t，
∵SE＝SG，
∴EK＝GK＝EG＝2t，
在Rt△SEK中，tan∠SEG＝＝，
∴SK＝t，
∵E（2，0），D（0，﹣2），
∴OE＝OD，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴∠OED＝45°，
∴∠KEH＝∠OED＝45°，
∴△EHL为等腰直角三角形，
∴LK＝SK＝t，SL＝SK＝2t，
∴EL＝EK﹣LK＝t，
∴EH＝LH＝t，
∴OH＝OE+EH＝t+2，SH＝SL+LH＝3t，
∴S（t+2，3t），
∴﹣（t+2）2+2（t+2）+6＝3t，
∴t＝2或t＝﹣8（舍），
∴点G的运动时间为2s．
6．（2023•盘锦）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点Q是x轴上方抛物线上一点，射线QM⊥x轴于点N，若QM＝BM，且tan∠MBN＝，请直接写出点Q的坐标．
（3）如图2，点E是第一象限内一点，连接AE交y轴于点D，AE的延长线交抛物线于点P，点F在线段CD上，且CF＝OD，连接FA，FE，BE，BP，若S△AFE＝S△ABE，求△PAB的面积．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）点Q（2，3）；
（3）．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵tan∠MBN＝，
故设MN＝4m，NB＝3m，则BM＝5m，
则点N、M的坐标分别为：（3﹣3m，0）、（3﹣3m，4m），
当x＝3﹣3m时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣9m2+12m，
则点Q（3﹣3m，﹣9m2+12m），
∵QM＝BM，
即﹣9m2+12m﹣4m＝5m，
解得：m＝0（舍去）或，
则点Q（2，3）；
（3）设点P（m，﹣m2+2m+3），
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y＝﹣（m﹣3）（x+1），
则点D（0，3﹣m），
则OD＝CF＝3﹣m，
则DF＝3﹣OD﹣CF＝2m﹣3，
设点E的坐标为：（t，（3﹣m）（t+1）），
∵S△AFE＝S△ABE，
即DF×（xE﹣xA）＝AB×yE，
即（2m﹣3）（t+1）＝4×（3﹣m）（t+1），
解得：m＝2.5，
即点P的坐标为：（，），
则△PAB的面积＝AB×yP＝4×＝．
五．三角形综合题（共1小题）
7．（2022•盘锦）在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．
（1）如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系： EF＝AC ．
（2）如图2．若∠ACB＝90°，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长．
【答案】（1）；
（2）①；②或．
【解答】解：（1）过点C作CG⊥AB于G，如图1，
∵EF⊥AB，
∴∠EFD＝∠CGD＝90°，
∵∠EDF＝∠CDG，DE＝CD，
∴△EDF≌△CDG（AAS），
∴EF＝CG；
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①过点C作CH⊥AB于H，如图2，
与（1）同理，可证△EDF≌△CDH，
∴DF＝DH，
∴AD+DF＝AD+DH＝AH，
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAH＝45°，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②如图3，过点C作CG⊥AB于G，
与（1）同理可证，△EDF≌△CDG，
∴DF＝DG＝1，
∵AD＝3，
当点F在点A、D之间时，有
∴AG＝1+3＝4，
与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，
∴；
当点D在点A、F之间时，如图4：
∴AG＝AD﹣DG＝3﹣1＝2，
与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，
∴；
综合上述，线段AC的长为或．
六．四边形综合题（共1小题）
8．（2021•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连接NA，以NA，NF为邻边作▱ANFG，连接DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，DG与DN的关系为 DG⊥DN，DG＝DN ．
（2）如图2，当0°＜α＜45°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）在Rt△ECF的旋转过程中，当▱ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝5时，连接GN，请直接写出GN的长．
【答案】（1）DG⊥DN，DG＝DN；
（2）结论成立，证明见解析部分．
（3）GN的值为7或13．
【解答】解：（1）如图1中，连接AE，AF，CN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，
∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
∵EN＝NF，
∴AN⊥EF，CN＝NF＝EN，
∵CE＝CF，EN＝NF，
∴CN⊥EF，
∴A，N，C共线，
∵四边形ANFG是平行四边形，∠ANF＝90°，
∴四边形ANFG是矩形，
∴AG＝FN＝CN，∠GAN＝90°，
∵∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴∠GAD＝∠NCD＝45°，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，
∴∠GDN＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥DN，DG＝DN．
故答案为：DG⊥DN，DG＝DN；
（2）结论成立．
理由：如图2中，作直线EF交AD于J，交BC于K，连接CN．
∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG∥KJ，AG＝NF，
∴∠DAG＝∠J，
∵AJ∥BC，
∴∠J＝∠CKE，
∵CE＝CF，EN＝NF，
∴CN＝NE＝NF＝AG，CN⊥EF，
∴∠ECN＝∠CEN＝45°，
∴∠EKC+∠ECK＝∠ECK+∠DCN，
∴∠DCN＝∠CKE，
∴∠GAD＝∠DCN，
∵GA＝CN，AD＝CD，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，
∴∠GDN＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥DN，DG＝DN；
解法二：连接CN并延长与直线AG 交于点M，与AD交于点P，
∵△AMP与△CDP都是直角三角形，
∴∠AMP＝∠DCP＝90°，
∵∠APM＝∠DPC，
∴∠GAD＝∠DCP，
∵GA＝CN，AD＝CD，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，
∴∠GDN＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥DN，DG＝DN；
（3）如图3﹣1中，当点G落在AD上时，
∵△ECN是等腰直角三角形，EC＝5，
∴EN＝CN＝NF＝5，
∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG＝NF＝5，
∵AD＝CD＝12，
∴DG＝DN＝7，
∴GN＝7．
如图3﹣2中，当点G落在AB上时，
同法可证，CN＝5，
∵△DAG≌△DCN，
∴AG＝CN＝5，
∴BG＝AB﹣AG＝7，BN＝BC+CN＝17，
∴GN＝＝＝13．
综上所述，满足条件的GN的值为7或13．
七．几何变换综合题（共1小题）
9．（2023•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，BM＝DN，连接AM，AN，点H在BC的延长线上，∠MAH＝2∠BAM，点E在线段BH上，且HE＝AM，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得∠HEG＝∠MAH，EG交AH于点F．
（1）线段AM与线段AN的关系是 垂直且相等 ．
（2）若EF＝5，FG＝4，求AH的长．
（3）求证：FH＝2BM．
【答案】（1）垂直且相等；
（2）；
（3）证明过程详见解答．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADN＝∠ADC＝∠B＝90°，AD＝AB，
∵BM＝DN，
∴△ADN≌△ABM（SAS），
∴BM＝CN，∠DAN＝∠BAM，
∴∠DAN+∠DAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝90°，
∴∠MAN＝90°，
∴AM⊥AN，
故答案为：垂直且相等；
（2）解：∵∠H＝∠H，∠HEG＝∠MAH，
∴△HEF∽△HAM，
∴，
∵线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，
∴EH＝EG＝EF+FG＝9，
∴AM＝HE＝9，
∴，
∴AH＝；
（3）证明：如图，
延长MB至X，使BX＝BM，作∠AMB＝∠H，交AX于R，
∴XM＝2BM，
∵AB⊥XM，
∴AX＝AM，
∴∠XAB＝∠BAM，∠X＝∠AMB，
设∠XBA＝∠BAM＝α，
∴∠MAH＝∠XAM＝∠HEF＝2α，∠X＝∠AMB＝90°﹣α，
∴∠AMR＝∠H＝90°﹣∠BAH＝90°﹣3α，
∴∠MRX＝∠XAM+∠AMR＝2α+（90°﹣3α）＝90°﹣α，
∴∠X＝∠MRX，
∴RM＝XM，
∵∠XAM＝∠HEF＝2α，∠AMR＝∠H，EH＝AM，
∴△HEF≌△MAR（ASA），
∴FH＝RM＝XM＝2BM．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
10．（2022•盘锦）某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α
α＝58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β
β＝31°
测角仪到地面的距离
AB＝DC＝1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离
BC＝2m
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【答案】路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．
【解答】解：如图：延长DA，交PE于点F，
则DF⊥PE，AD＝BC＝2m，AB＝CD＝EF＝1.6m，
设AF＝xm，
∴DF＝AF+AD＝（x+2）m，
在Rt△PFA中，∠PAF＝58°，
∴PF＝AF•tan58°≈1.6x（m），
在Rt△PDF中，∠PDF＝31°，
∴tan31°＝＝≈0.6，
∴x＝1.2，
经检验：x＝1.2是原方程的根，
∴PF＝1.6x＝1.92（m），
∴PE＝PF+EF＝1.92+1.6≈3.5（m），
∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．
11．（2021•盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】约是38m．
【解答】解：过A作AC⊥MN于C，如图所示：
则CN＝AB，AC＝BN，
∵＝，
∴＝，
由题意得：EF＝6m，AB⊥BN，EF⊥BN，
∴AB∥EF，
∴△EFN∽△ABN，
∴＝＝，
∴AB＝3EF＝18（m），
∴CN＝18m，
在Rt△ACN中，tan∠CAN＝＝tan31°≈0.60＝，
∴AC≈CN＝×18＝30（m），
在Rt△ACM中，cos∠MAC＝＝cos37°≈0.80＝，
∴AM＝AC＝×30≈38（m），
即无人机飞行的距离AM约是38m．
九．列表法与树状图法（共2小题）
12．（2022•盘锦）某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、国画鉴赏、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
（1）本次调查共抽取了 300 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；
（4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；
（5）在经典诵读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率．
【答案】（1）300；
（2）见详解；
（3）120°；
（4）200；
（5）．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生人数为：30÷10%＝300（人）；
故答案为：300；
（2）根据题意可知：
花样跳绳的人数为：300﹣40﹣100﹣30﹣50＝80（人）；
补全条形图如下：
（3）根据题意可知：
“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数为：；
（4）全校选择“民族舞蹈”课程的学生人数估计为：（人）；
（5）列表如下：
A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
共有9种等可能的结果，其中甲乙两人至少有一人抽到A有5种，
所以两人至少有一人抽到A《出师表》的概率为．
13．（2021•盘锦）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
（1）填空：a＝ 8 ，b＝ 8 ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）．
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【答案】（1）8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由见解析；
（3）700人；
（4）．
【解答】解：（1）由众数的定义得：a＝8，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），
故答案为：8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）500×80%+500×60%＝700（人），
即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；
（4）把七年级获得10分的学生记为A，八年级获得10分的学生记为B，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，
∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为＝．
辽宁省盘锦市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2021•盘锦）如图，直线y＝x﹣交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，EA的延长线交直线y＝x﹣于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2023•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2023•盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元
…
24
26
28
30
32
…
月销售量y/件
…
52
48
44
40
36
…
（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．
5．（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标为 ；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．
6．（2023•盘锦）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点Q是x轴上方抛物线上一点，射线QM⊥x轴于点N，若QM＝BM，且tan∠MBN＝，请直接写出点Q的坐标．
（3）如图2，点E是第一象限内一点，连接AE交y轴于点D，AE的延长线交抛物线于点P，点F在线段CD上，且CF＝OD，连接FA，FE，BE，BP，若S△AFE＝S△ABE，求△PAB的面积．
五．三角形综合题（共1小题）
7．（2022•盘锦）在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．
（1）如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系： ．
（2）如图2．若∠ACB＝90°，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长．
六．四边形综合题（共1小题）
8．（2021•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连接NA，以NA，NF为邻边作▱ANFG，连接DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，DG与DN的关系为 ．
（2）如图2，当0°＜α＜45°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）在Rt△ECF的旋转过程中，当▱ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝5时，连接GN，请直接写出GN的长．
七．几何变换综合题（共1小题）
9．（2023•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，BM＝DN，连接AM，AN，点H在BC的延长线上，∠MAH＝2∠BAM，点E在线段BH上，且HE＝AM，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得∠HEG＝∠MAH，EG交AH于点F．
（1）线段AM与线段AN的关系是 ．
（2）若EF＝5，FG＝4，求AH的长．
（3）求证：FH＝2BM．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
10．（2022•盘锦）某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α
α＝58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β
β＝31°
测角仪到地面的距离
AB＝DC＝1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离
BC＝2m
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
11．（2021•盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
九．列表法与树状图法（共2小题）
12．（2022•盘锦）某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、国画鉴赏、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；
（4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；
（5）在经典诵读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率．
13．（2021•盘锦）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
（1）填空：a＝ ，b＝ ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）．
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
辽宁省盘锦市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2021•盘锦）如图，直线y＝x﹣交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，EA的延长线交直线y＝x﹣于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．
【答案】（1）y＝；
（2）（﹣2，0）或（4，0）．
【解答】解：（1）∵S矩形OMAE＝4，即|k|＝4，
又∵k＞0，
∴k＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）当y＝4时，即4＝x﹣，
解得x＝6，
即D（6，4），而A（1，4），
∴AD＝DE﹣AE＝6﹣1＝5，
由于AB＝AD＝5，AM＝4，点B在x轴上，
在Rt△AMB中，由勾股定理得，
MB＝＝3，
①当点B在点M的左侧时，
点B的横坐标为1﹣3＝﹣2，
∴点B（﹣2，0），
②当点B在点M的右侧时，
点B的横坐标为1+3＝4，
∴点B（4，0），
因此点B的坐标为（﹣2，0）或（4，0）．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2023•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）y＝；
（2）F（2+，2）．
【解答】解：（1）过C点作MN⊥x轴于M点，过B作BN⊥CM于N点，如图所示：
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
设C（m，），
∵B（0，3），A（1，0）
则CM＝，M（m，0），N（m，3），
∵AN＝m﹣1，CN＝3﹣，BN＝m，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCN+∠ACM＝90°，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，
∴∠BCN＝∠MAC，
又∵AC＝BC，
∠BCN＝∠MAC，
∠AMC＝∠BNC＝90°
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CN＝AM，BN＝CM，
∴3﹣＝m﹣1，m＝，
∴k＝m2，
∴3﹣m＝m﹣1，
m＝2，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式：y＝；
（2）由（1）可得C（2，2），
∵A（1，0），
∴AC＝＝，
∵CE∥x轴，∠DAC的平分线交直线EC于点F，
∴F点纵坐标为2，∠CAF＝DAF＝∠CFA，
∴CF＝AC＝，
∴F点横坐标为2+，
∴F（2+，2）．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2023•盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元
…
24
26
28
30
32
…
月销售量y/件
…
52
48
44
40
36
…
（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
【答案】（1）y＝﹣2x+100；
（2）①三月份每件产品的成本是20万元；②四月份最少利润是500万元．
【解答】解：（1）在表格取点（30，40）、（32，36），
设一次函数的表达式为：y＝kx+b，
则，解得：，
则一次函数的表达式为：y＝﹣2x+100；
（2）①设三月的成本为m万元，
当x＝35时，y＝﹣2x+100＝30，
由题意得：450＝30（35﹣m），
解得：m＝20，
即三月份每件产品的成本是20万元；
②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为20﹣14＝6，
由题意得：w＝y（x﹣6）﹣450＝（﹣2x+100）（x﹣6）﹣450＝﹣2x2+112x﹣1050（25≤x≤30），
则抛物线的对称轴为x＝28，
则x＝25时，w取得最小值，
此时，w＝500，
即四月份最少利润是500万元．
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；
（2）P（3，﹣4）；
（3）点P的横坐标为．
【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），
设点P（m，m2﹣3m﹣4），
则，，
∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，
∴S△BCE＝S△BPE，
∴，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
∴P（3，﹣4）；
方法二：∵S1＝S2，
∴S△PBE＝S△CBE，
∴PC∥x轴，
∴点P与C关于对称轴x＝对称，
∴P（3，﹣4）；
（3）如图，作CE⊥l于E，PQ⊥BC于Q，PN⊥x轴于N，连接PC交x轴于点H，
设P（n，n2﹣3n﹣4），PC的表达式为：y＝kx+d（k≠0），
将P，C代入y＝kx+d（k≠0）得，
，
解得：，
∴PC的表达式为：y＝（n﹣3）x﹣4，
将y＝0代入y＝（n﹣3）x﹣4得，
0＝（n﹣3）x﹣4，
即，
∴，
∵S△PCB＝S△PHB+S△HCB，
∴PQ•BC＝PN•HB+OC•HB，
∵BC＝＝，
∴，
∵，
由题可知，，
∴，
将代入y＝x2﹣3x﹣4得，，
∴，
∴，
∵∠PBC+∠CFG＝90°，PQ⊥BC，CE⊥l，
∴∠PBQ＝∠FCE，∠CEF＝∠PQB，
∴△CEF∽△PQB，
∴，
∴，
解得：（舍去）．
∴点P的横坐标为﹣，
方法二：将CF绕点F顺时针旋转90°得C'，连接CC'，作CE⊥l于E，
求出点C'（），
从而求出直线CC'的解析式，
∴∠ECF＝∠BCC'＝∠PBC，
∴BP∥CC'，
求出直线BP的解析式与抛物线求交点即可．
5．（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标为 （4，2） ；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．
【答案】（1）（4，2）；（2）（1，）或（3，）；（3）2s．
【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2+2x+6中，
令y＝0，则﹣x2+2x+6＝0，
∴x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
令x＝0，则y＝6，
∴C（0，6），
在直线y＝x﹣2，令y＝0，则x＝2，
∴E（2，0），
令x＝0，则y＝﹣2，
∴D（0，﹣2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+6，
联立，
解得，
∴F（4，2），
故答案为（4，2）；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，
∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMF＝∠QNF，
∴△PMF∽△QNF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵FH∥PG，
∴＝＝，
∵FH＝2，
∴PG＝，
∴P点纵坐标为，
∴﹣x2+2x+6＝，
∴x＝1或x＝3，
∴P（1，）或P（3，）；
（3）如图2，过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，
由题意得，EG＝4t，
∵SE＝SG，
∴EK＝GK＝EG＝2t，
在Rt△SEK中，tan∠SEG＝＝，
∴SK＝t，
∵E（2，0），D（0，﹣2），
∴OE＝OD，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴∠OED＝45°，
∴∠KEH＝∠OED＝45°，
∴△EHL为等腰直角三角形，
∴LK＝SK＝t，SL＝SK＝2t，
∴EL＝EK﹣LK＝t，
∴EH＝LH＝t，
∴OH＝OE+EH＝t+2，SH＝SL+LH＝3t，
∴S（t+2，3t），
∴﹣（t+2）2+2（t+2）+6＝3t，
∴t＝2或t＝﹣8（舍），
∴点G的运动时间为2s．
6．（2023•盘锦）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点Q是x轴上方抛物线上一点，射线QM⊥x轴于点N，若QM＝BM，且tan∠MBN＝，请直接写出点Q的坐标．
（3）如图2，点E是第一象限内一点，连接AE交y轴于点D，AE的延长线交抛物线于点P，点F在线段CD上，且CF＝OD，连接FA，FE，BE，BP，若S△AFE＝S△ABE，求△PAB的面积．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）点Q（2，3）；
（3）．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵tan∠MBN＝，
故设MN＝4m，NB＝3m，则BM＝5m，
则点N、M的坐标分别为：（3﹣3m，0）、（3﹣3m，4m），
当x＝3﹣3m时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣9m2+12m，
则点Q（3﹣3m，﹣9m2+12m），
∵QM＝BM，
即﹣9m2+12m﹣4m＝5m，
解得：m＝0（舍去）或，
则点Q（2，3）；
（3）设点P（m，﹣m2+2m+3），
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y＝﹣（m﹣3）（x+1），
则点D（0，3﹣m），
则OD＝CF＝3﹣m，
则DF＝3﹣OD﹣CF＝2m﹣3，
设点E的坐标为：（t，（3﹣m）（t+1）），
∵S△AFE＝S△ABE，
即DF×（xE﹣xA）＝AB×yE，
即（2m﹣3）（t+1）＝4×（3﹣m）（t+1），
解得：m＝2.5，
即点P的坐标为：（，），
则△PAB的面积＝AB×yP＝4×＝．
五．三角形综合题（共1小题）
7．（2022•盘锦）在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．
（1）如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系： EF＝AC ．
（2）如图2．若∠ACB＝90°，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长．
【答案】（1）；
（2）①；②或．
【解答】解：（1）过点C作CG⊥AB于G，如图1，
∵EF⊥AB，
∴∠EFD＝∠CGD＝90°，
∵∠EDF＝∠CDG，DE＝CD，
∴△EDF≌△CDG（AAS），
∴EF＝CG；
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①过点C作CH⊥AB于H，如图2，
与（1）同理，可证△EDF≌△CDH，
∴DF＝DH，
∴AD+DF＝AD+DH＝AH，
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAH＝45°，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②如图3，过点C作CG⊥AB于G，
与（1）同理可证，△EDF≌△CDG，
∴DF＝DG＝1，
∵AD＝3，
当点F在点A、D之间时，有
∴AG＝1+3＝4，
与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，
∴；
当点D在点A、F之间时，如图4：
∴AG＝AD﹣DG＝3﹣1＝2，
与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，
∴；
综合上述，线段AC的长为或．
六．四边形综合题（共1小题）
8．（2021•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连接NA，以NA，NF为邻边作▱ANFG，连接DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，DG与DN的关系为 DG⊥DN，DG＝DN ．
（2）如图2，当0°＜α＜45°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）在Rt△ECF的旋转过程中，当▱ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝5时，连接GN，请直接写出GN的长．
【答案】（1）DG⊥DN，DG＝DN；
（2）结论成立，证明见解析部分．
（3）GN的值为7或13．
【解答】解：（1）如图1中，连接AE，AF，CN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，
∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
∵EN＝NF，
∴AN⊥EF，CN＝NF＝EN，
∵CE＝CF，EN＝NF，
∴CN⊥EF，
∴A，N，C共线，
∵四边形ANFG是平行四边形，∠ANF＝90°，
∴四边形ANFG是矩形，
∴AG＝FN＝CN，∠GAN＝90°，
∵∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴∠GAD＝∠NCD＝45°，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，
∴∠GDN＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥DN，DG＝DN．
故答案为：DG⊥DN，DG＝DN；
（2）结论成立．
理由：如图2中，作直线EF交AD于J，交BC于K，连接CN．
∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG∥KJ，AG＝NF，
∴∠DAG＝∠J，
∵AJ∥BC，
∴∠J＝∠CKE，
∵CE＝CF，EN＝NF，
∴CN＝NE＝NF＝AG，CN⊥EF，
∴∠ECN＝∠CEN＝45°，
∴∠EKC+∠ECK＝∠ECK+∠DCN，
∴∠DCN＝∠CKE，
∴∠GAD＝∠DCN，
∵GA＝CN，AD＝CD，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，
∴∠GDN＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥DN，DG＝DN；
解法二：连接CN并延长与直线AG 交于点M，与AD交于点P，
∵△AMP与△CDP都是直角三角形，
∴∠AMP＝∠DCP＝90°，
∵∠APM＝∠DPC，
∴∠GAD＝∠DCP，
∵GA＝CN，AD＝CD，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，
∴∠GDN＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥DN，DG＝DN；
（3）如图3﹣1中，当点G落在AD上时，
∵△ECN是等腰直角三角形，EC＝5，
∴EN＝CN＝NF＝5，
∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG＝NF＝5，
∵AD＝CD＝12，
∴DG＝DN＝7，
∴GN＝7．
如图3﹣2中，当点G落在AB上时，
同法可证，CN＝5，
∵△DAG≌△DCN，
∴AG＝CN＝5，
∴BG＝AB﹣AG＝7，BN＝BC+CN＝17，
∴GN＝＝＝13．
综上所述，满足条件的GN的值为7或13．
七．几何变换综合题（共1小题）
9．（2023•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，BM＝DN，连接AM，AN，点H在BC的延长线上，∠MAH＝2∠BAM，点E在线段BH上，且HE＝AM，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得∠HEG＝∠MAH，EG交AH于点F．
（1）线段AM与线段AN的关系是 垂直且相等 ．
（2）若EF＝5，FG＝4，求AH的长．
（3）求证：FH＝2BM．
【答案】（1）垂直且相等；
（2）；
（3）证明过程详见解答．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADN＝∠ADC＝∠B＝90°，AD＝AB，
∵BM＝DN，
∴△ADN≌△ABM（SAS），
∴BM＝CN，∠DAN＝∠BAM，
∴∠DAN+∠DAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝90°，
∴∠MAN＝90°，
∴AM⊥AN，
故答案为：垂直且相等；
（2）解：∵∠H＝∠H，∠HEG＝∠MAH，
∴△HEF∽△HAM，
∴，
∵线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，
∴EH＝EG＝EF+FG＝9，
∴AM＝HE＝9，
∴，
∴AH＝；
（3）证明：如图，
延长MB至X，使BX＝BM，作∠AMB＝∠H，交AX于R，
∴XM＝2BM，
∵AB⊥XM，
∴AX＝AM，
∴∠XAB＝∠BAM，∠X＝∠AMB，
设∠XBA＝∠BAM＝α，
∴∠MAH＝∠XAM＝∠HEF＝2α，∠X＝∠AMB＝90°﹣α，
∴∠AMR＝∠H＝90°﹣∠BAH＝90°﹣3α，
∴∠MRX＝∠XAM+∠AMR＝2α+（90°﹣3α）＝90°﹣α，
∴∠X＝∠MRX，
∴RM＝XM，
∵∠XAM＝∠HEF＝2α，∠AMR＝∠H，EH＝AM，
∴△HEF≌△MAR（ASA），
∴FH＝RM＝XM＝2BM．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
10．（2022•盘锦）某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α
α＝58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β
β＝31°
测角仪到地面的距离
AB＝DC＝1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离
BC＝2m
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【答案】路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．
【解答】解：如图：延长DA，交PE于点F，
则DF⊥PE，AD＝BC＝2m，AB＝CD＝EF＝1.6m，
设AF＝xm，
∴DF＝AF+AD＝（x+2）m，
在Rt△PFA中，∠PAF＝58°，
∴PF＝AF•tan58°≈1.6x（m），
在Rt△PDF中，∠PDF＝31°，
∴tan31°＝＝≈0.6，
∴x＝1.2，
经检验：x＝1.2是原方程的根，
∴PF＝1.6x＝1.92（m），
∴PE＝PF+EF＝1.92+1.6≈3.5（m），
∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．
11．（2021•盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】约是38m．
【解答】解：过A作AC⊥MN于C，如图所示：
则CN＝AB，AC＝BN，
∵＝，
∴＝，
由题意得：EF＝6m，AB⊥BN，EF⊥BN，
∴AB∥EF，
∴△EFN∽△ABN，
∴＝＝，
∴AB＝3EF＝18（m），
∴CN＝18m，
在Rt△ACN中，tan∠CAN＝＝tan31°≈0.60＝，
∴AC≈CN＝×18＝30（m），
在Rt△ACM中，cos∠MAC＝＝cos37°≈0.80＝，
∴AM＝AC＝×30≈38（m），
即无人机飞行的距离AM约是38m．
九．列表法与树状图法（共2小题）
12．（2022•盘锦）某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、国画鉴赏、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
（1）本次调查共抽取了 300 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；
（4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；
（5）在经典诵读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率．
【答案】（1）300；
（2）见详解；
（3）120°；
（4）200；
（5）．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生人数为：30÷10%＝300（人）；
故答案为：300；
（2）根据题意可知：
花样跳绳的人数为：300﹣40﹣100﹣30﹣50＝80（人）；
补全条形图如下：
（3）根据题意可知：
“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数为：；
（4）全校选择“民族舞蹈”课程的学生人数估计为：（人）；
（5）列表如下：
A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
共有9种等可能的结果，其中甲乙两人至少有一人抽到A有5种，
所以两人至少有一人抽到A《出师表》的概率为．
13．（2021•盘锦）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
（1）填空：a＝ 8 ，b＝ 8 ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）．
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【答案】（1）8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由见解析；
（3）700人；
（4）．
【解答】解：（1）由众数的定义得：a＝8，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），
故答案为：8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）500×80%+500×60%＝700（人），
即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；
（4）把七年级获得10分的学生记为A，八年级获得10分的学生记为B，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，
∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为＝．
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