内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

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内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一次函数的应用（共3小题）
1．（2023•内蒙古）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．
（1）求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；
（2）商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打8折出售．
B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．
该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y2元，其函数图象如图所示：
①分别求出y1，y2与x之间的函数关系；
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？

2．（2022•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
3．（2021•兴安盟）移动公司推出A，B，C三种套餐，收费方式如表：
套餐
月保底费（元）
包通话时间（分钟）
超时费（元/分钟）
A
38
120
0.1
B
　 　
　 　
　 　
C
118
不限时

设月通话时间为x分钟，A套餐，B套餐的收费金额分别为y1元，y2元．其中B套餐的收费金额y2元与通话时间x分钟的函数关系如图所示．

（1）结合表格信息，求y1与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）结合图象信息补全表格中B套餐的数据；
（3）选择哪种套餐所需费用最少？说明理由．
二．二次函数综合题（共3小题）
4．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点P做x轴平行线交AC于点E，过点P做y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；
（3）如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．

5．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）

6．（2021•兴安盟）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于点A（，）和点B（4，m）．抛物线与x轴的交点分别为H、K（点H在点K的左侧）．点F在线段AB上运动（不与点A、B重合），过点F作直线FC⊥x轴于点P，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AC，是否存在点F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，当△CEF的周长最大时，过点F作任意直线l，把△CEF沿直线l翻折180°，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当△CEF的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值．

三．平行四边形的判定与性质（共1小题）
7．（2022•内蒙古）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接BD，AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若BD＝CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．

四．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
8．（2021•兴安盟）如图，AB是⊙O的直径，＝＝2，连接AC、CD、AD．CD交AB于点F，过点B作⊙O的切线BM交AD的延长线于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．

五．相似形综合题（共1小题）
9．（2023•内蒙古）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．
（1）如图1，连接BE，DE．求证：△ABE≌△ADE；
（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE．判断△FBG的形状并说明理由；
（3）在第（2）题的条件下，BE＝BF＝2．求的值．

六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
10．（2023•内蒙古）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30°，线段AM＝24米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中tanα＝2．求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：≈1.7）．
11．（2022•内蒙古）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）

七．频数（率）分布直方图（共2小题）
12．（2023•内蒙古）为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图不完整的统计图表．请结合统计图表，解答如下问题：
（1）本次调查的样本容量为 　 　，学生成绩统计表中m＝　 　；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 　 　组；
（3）求出扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数；
（4）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少名？
学生成绩统计表
组别
成绩x
频数
A
75≤x＜80
20
B
80≤x＜85
m
C
85≤x＜90
144
D
90≤x＜95
45
E
95≤x≤100
n

13．（2021•兴安盟）某校九年级在“停课不停学”期间，为促进学生身体健康，布置了“云健身”任务．为了解学生完成情况，体育教师随机抽取一班与二班各10名学生进行网上视频跳绳测试，他的测试结果与分析过程如下：
（1）收集数据：两班学生每分钟跳绳个数分别记录如下（二班一个数据不小心被墨水遮盖）：
一班：100 94 86 86 84 94 76 69 59 94
二班：99 96 82 96 79 65 96 55 96
（2）整理、描述数据：根据上面得到的两组数据，分别绘制了频数分布直方图如图；

（3）分析数据：两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
班级
平均数
众数
中位数
方差
一班
①
94
86
147.76
二班
83.7
96
②
215.21
根据以上数据填出表格中①、②两处的数据并补全二班的频数分布直方图；
（4）得出结论：根据以上信息，判断哪班完成情况较好？说明理由（至少从两个不同角度说明判断的合理性）．
八．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2021•兴安盟）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字﹣2，0.3，，0．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出的小球上的数字是分数的概率（直接写出结果）；
（2）从口袋中一次随机摸出两个小球，摸出的小球上的数字分别记作x、y，请用列表法（或树状图）求点（x，y）在第四象限的概率．

内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共3小题）
1．（2023•内蒙古）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．
（1）求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；
（2）商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打8折出售．
B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．
该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付y1元，去B厂家购买应付y2元，其函数图象如图所示：
①分别求出y1，y2与x之间的函数关系；
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？

【答案】（1）50，40元；
（2）①y1＝32x，y2＝；
②该商家购买豆沙粽礼盒的数量若少于75盒，从A厂家购买比较划算；若等于75盒，从A和B两个厂家任选一家即可；若超过75盒，从B厂家购买比较划算．
【解答】解：（1）设每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为x元和y元．
根据题意，得，解得．
∴每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元40元．
（2）①根据题意，得：
y1＝0.8×40x＝32x；
当x≤25时，y2＝40x；
当x＞25时，y2＝25×40+0.7×40（x﹣25）＝28x+300．
综上，y1＝32x；y2＝．
②设y1和y2两函数图象交点的横坐标为x，则32x＝28x+300，解得x＝75．
根据函数图象可知：
当x＜75时，y1＜y2；
当x＝75时，y1＝y2；
当x＞75时，y2＜y1．
∴该商家购买豆沙粽礼盒的数量若少于75盒，从A厂家购买比较划算；若等于75盒，从A和B两个厂家任选一家即可；若超过75盒，从B厂家购买比较划算．
2．（2022•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设该商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，
由题意，得，
解得，
∴该商店购进A种纪念品每件需50元，购进B种纪念品每件需100元；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，
根据题意，得50x+100y＝10000，
由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，
把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，
∵y≥20，
∴20≤y≤25且为正整数，
∴y可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，
与y相对应的x可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，
∴共有6种进货方案；
（3）设总利润为W元，
则W＝20x+30y＝﹣10y+4000，
∵﹣10＜0，
∴W随y的增大而减小，
∴当y＝20时，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
3．（2021•兴安盟）移动公司推出A，B，C三种套餐，收费方式如表：
套餐
月保底费（元）
包通话时间（分钟）
超时费（元/分钟）
A
38
120
0.1
B
　58　
　360　
　0.1　
C
118
不限时

设月通话时间为x分钟，A套餐，B套餐的收费金额分别为y1元，y2元．其中B套餐的收费金额y2元与通话时间x分钟的函数关系如图所示．

（1）结合表格信息，求y1与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）结合图象信息补全表格中B套餐的数据；
（3）选择哪种套餐所需费用最少？说明理由．
【答案】（1）；
（2）58，360，0.1；
（3）当0≤x≤320 时，A套餐所需费用最少；当320＜x≤960时，B套餐所需费用最少；当x＞960 时，C套餐所需费用最少．
【解答】解：（1）当0≤x≤120 时，y1＝38；
当x＞120时，y1＝38+0.1（x﹣120）＝0.1x+26，
∴；
（2）由图象可知，当月保底费为58元；包通话时间360分钟；超时费：（70﹣58）÷（480﹣360）＝0.1（元），
故答案为：58，360，0.1；
（3）当x＞360时，设：y2＝kx+b，
又∵图象过点（360，58），（480，70）两点，
∴，
解得，
∴y2＝0.1x+22；
∴；
当y1＝58，0.1x+26＝58，
解得x＝320，
∴当x＝320 时，A、B套餐所需费用一样多，都比C套餐花费少；
当0≤x＜320 时，A套餐所需费用最少．
当y2＝118时，0.1x+22＝118，
解得x＝960，
当x＝960 时，B、C套餐所需费用一样多，都比A套餐花费少；
当320＜x＜960时，B套餐所需费用最少．
当x＞960 时，C套餐所需费用最少，
综上所述：当0≤x≤320 时，A套餐所需费用最少；
当320＜x≤960时，B套餐所需费用最少；
当x＞960 时，C套餐所需费用最少．
二．二次函数综合题（共3小题）
4．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B（1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），点P是直线AC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点P做x轴平行线交AC于点E，过点P做y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；
（3）如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）PD+PE取最大值，P（﹣，）；
（3）N点坐标为（0，4）．
【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2﹣2x+3，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），
由A（﹣3，0），C（0，3）得直线AC解析式为y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则D（t，0），E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），
∴PD+PE＝﹣t2﹣2t+3+（﹣t2﹣2t）﹣t＝﹣2t2﹣5t+3＝﹣2（t+）2+，
∵﹣2＜0，
∴当t＝﹣时，PD+PE取最大值，
此时P（﹣，）；
（3）设M（﹣1，m），P（t，﹣t2﹣2t+3），
设PC的中点为K（t，﹣t2﹣t+3），
∵N点、M点的中点为K，
∴N（t+1，﹣t2﹣2t+6﹣m），
∵N点在坐标轴上，
∴t+1＝0或﹣t2﹣2t+6﹣m＝0，
当t＝﹣1时，此时PM∥y轴，
∵四边形PMCN是矩形，
∴PM⊥MC，
∴M（﹣1，3），
∴N（0，4）；
当m＝t2+2t﹣6＝（t+1）2﹣7时，
∵P点在直线AC上方，
∴﹣3＜t＜0，
∴﹣7≤m＜﹣3，
当P点与A点重合时，m＝，
∴m＞，
∴此时M点不存在，
综上所述：N点坐标为（0，4）．
5．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）

【答案】（1）y＝﹣x2+x+，C（0，）；
（2）△MBC的面积有最大值，M（，）；
（3）（2，）或（﹣4，﹣）或（4，﹣）．
【解答】解：（1）将B（3，0），D（﹣2，﹣）代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+，
令x＝0，则y＝，
∴C（0，）；
（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+
设M（m，﹣m2+m+），则N（m，﹣m+），
∴MN＝﹣m2+m，
∴S△MBC＝•MN•OB＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，△MBC的面积有最大值，
此时M（，）；
（3）令y＝0，则﹣x2+x+＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
设Q（0，t），P（m，﹣m2+m+），
①当AB为平行四边形的对角线时，m＝3﹣1＝2，
∴P（2，）；
②当AQ为平行四边形的对角线时，3+m＝﹣1，
解得m＝﹣4，
∴P（﹣4，﹣）；
③当AP为平行四边形的对角线时，m﹣1＝3，
解得m＝4，
∴P（4，﹣）；
综上所述：P点坐标为（2，）或（﹣4，﹣）或（4，﹣）．

6．（2021•兴安盟）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于点A（，）和点B（4，m）．抛物线与x轴的交点分别为H、K（点H在点K的左侧）．点F在线段AB上运动（不与点A、B重合），过点F作直线FC⊥x轴于点P，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AC，是否存在点F，使△FAC是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，当△CEF的周长最大时，过点F作任意直线l，把△CEF沿直线l翻折180°，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当△CEF的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值．

【答案】（1）；
（2）存在点 F（3，5）或（，）；
（3）当时，CF最大即△FEC的周长最大，此时F点坐标为，折叠过程中，KQ的最大值为，
KQ的最小值为．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+2过点B（4，m），
∴m＝4+2，
解得m＝6，
∴B（4，6），
把点A和B代入抛物线的解析式，得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在点F，使△FAC为直角三角形，
设F（n，n+2），直线AB与x轴交于M，则M（﹣2，0），直线AB与y轴交于点N，则N（0，2），

∵FC∥y轴，
∴C（n，2n2﹣8n+6），
∵直线y＝x+2与x轴的交点为M（﹣2，0），与y轴交点为N（0，2），
∴OM＝ON＝2，
∴∠ONM＝45°，
∵FC∥y轴，
∴∠AFC＝∠ONM＝45°，
若△FAC为直角三角形，则分两种情况讨论：
（i）若点A为直角顶点，即∠FAC＝90°，
过点A作AD⊥FC于点D，
在Rt△FAC中，
∵∠AFC＝45°，
∴AF＝AC，
∴DF＝DC，
∴AD＝FC，
∵n＝，
化简得：2n2﹣7n+3＝0，
解得：n1＝3，（与A重合舍去），
∴F（3，5），
（ii）若点C为直角顶点，即∠FCA＝90°，则AC∥x轴，

在Rt△FAC中，
∵∠AFC＝45°，
∴AC＝CF，
∴n＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6，
化简得：4n2﹣16n+7＝0，
解得：，（舍去），
∴F（，），
综上所述：存在点 F（3，5）或（，），使△FAC为直角三角形；
（3）设F（c，c+2），
∵FC∥y轴，
∴C（c，2c2﹣8c+6），

在Rt△FEC中，
∵∠AFC＝45
∴EF＝EC＝CF•sin∠AFC＝，
∴当CF最大时，△FEC的周长最大，
∵CF＝（c+2）﹣（2c2﹣8c+6）＝﹣2c2+9c﹣4＝，
又∵﹣2＜0，
∴当时，CF最大即△FEC的周长最大，此时F点坐标为，
折叠过程中，当K，F，Q共线，且K和Q在F两侧时，KQ的最大，K和Q在F同侧时，KQ的最小，
∵CF＝，
由（1）知点K的坐标为（3，0），
∴KF＝，
∴KQ的最大值为CF+KF＝，KQ的最小值为CF﹣KF＝．
三．平行四边形的判定与性质（共1小题）
7．（2022•内蒙古）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接BD，AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若BD＝CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；
（2）菱形，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABO＝∠DEO，
∵点O是边AD的中点，
∴AO＝DO，
在△ABO和△DEO中，
，
∴△ABO≌△DEO（AAS），
∴OB＝OE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：四边形ABDE是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵BD＝CD，
∴AB＝BD，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴平行四边形ABDE是菱形．
四．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
8．（2021•兴安盟）如图，AB是⊙O的直径，＝＝2，连接AC、CD、AD．CD交AB于点F，过点B作⊙O的切线BM交AD的延长线于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．

【答案】（1）见解析；
（2）2．
【解答】证明：（1）∵＝＝2，
∴AD＝CD，B是CD的中点，
∵AB是直径，
∴AD＝AC，
∴AC＝CD；
（2）如图，连接BD，

∵AD＝DC＝AC，
∴∠ADC＝∠DAC＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠DAB＝∠DAC＝30°，
∵BM切⊙O于点B，AB是直径，
∴BM⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴BM∥CD，
∴∠AEB＝∠ADC＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△BDE中，
∵∠DBE＝90°﹣∠DEB＝30°，
∴BE＝2DE＝4，
∴BD＝＝＝2，
在Rt△BDA中，
∵∠DAB＝30°，
∴AB＝2BD＝4，
∴OB＝AB＝2，
在Rt△OBE中，OE＝＝＝2．
五．相似形综合题（共1小题）
9．（2023•内蒙古）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．
（1）如图1，连接BE，DE．求证：△ABE≌△ADE；
（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE．判断△FBG的形状并说明理由；
（3）在第（2）题的条件下，BE＝BF＝2．求的值．

【答案】（1）证明见解答；
（2）△FBG是等腰三角形，理由见解答；
（3）的值为﹣1．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
（2）解：△FBG是等腰三角形，理由如下：
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ADC﹣∠ADE，
∴∠EBC＝∠EDC，
∵AB∥CD，
∴∠FGB＝∠EDC，
∴∠FGB＝∠EBC，
∵BF⊥BE，
∴∠FBE＝90°，
∴∠FBG＝∠EBC＝90°﹣∠ABE，
∴∠FGB＝∠FBG，
∴BF＝GF，
∴△FBG是等腰三角形．
（3）解：∵BE＝BF＝2，∠FBE＝90°，
∴∠F＝∠BEF＝45°，
∴∠BAC＝∠F，
∴∠AEG＝∠AGF﹣∠BAC＝∠AGF﹣∠F＝∠FBG，
∵∠AGE＝∠FGB，且∠FGB＝∠FBG，
∴∠AGE＝∠AEG，
∴AE＝AG，
∵EF＝＝＝2，BF＝GF＝2，
∴GE＝EF﹣GF＝2﹣2，
∵△ABE≌△ADE，
∴BE＝DE＝2，
∵AG∥CD，
∴△AGE∽△CDE，
∴＝＝＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴的值为﹣1．
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
10．（2023•内蒙古）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30°，线段AM＝24米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中tanα＝2．求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：≈1.7）．
【答案】64米．
【解答】解：过点B作BE⊥MD于点E．则四边形AMEB是矩形．

∴BE＝AM＝24，ME＝AB＝12米，
∵AF∥MD，
∴∠ACM＝α．
在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，
∴tanα＝＝2，
∴＝2，
∴MC＝12米，
在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝90°﹣30°＝60°，
∴tan∠DBE＝，
∴tan60°＝＝，
∴DE＝24＝72（米），
CD＝DE﹣CE＝DE﹣（MC﹣ME）＝72﹣（12﹣12）＝84﹣12≈84﹣12×1.7＝84﹣20.4＝64（米）．
答：河流的宽度CD约为64米．
11．（2022•内蒙古）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）

【答案】建筑物的高度AB约为31.9米．
【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，

则DE＝AF，DF＝AE，
在Rt△DEC中，tanθ＝＝，
设DE＝3x米，则CE＝4x米，
∵DE2+CE2＝DC2，
∴（3x）2+（4x）2＝400，
∴x＝4或x＝﹣4（舍去），
∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，
设BF＝y米，
∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，
在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，
∴DF＝＝＝y（米），
∴AE＝DF＝y米，
∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
解得：y＝6+8，
经检验：y＝6+8是原方程的根，
∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），
∴建筑物的高度AB约为31.9米．
七．频数（率）分布直方图（共2小题）
12．（2023•内蒙古）为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图不完整的统计图表．请结合统计图表，解答如下问题：
（1）本次调查的样本容量为 　400　，学生成绩统计表中m＝　176　；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 　C　组；
（3）求出扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数；
（4）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少名？
学生成绩统计表
组别
成绩x
频数
A
75≤x＜80
20
B
80≤x＜85
m
C
85≤x＜90
144
D
90≤x＜95
45
E
95≤x≤100
n

【答案】（1）400，176；
（2）C；
（3）13.5°；
（4）300名．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量为144÷36%＝400（人），学生成绩统计表中m＝400×44%＝176，
故答案为：400，176；
（2）∵B组的人数为176人，
∴所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数，A，B组的人数和为：20+176＝196，C组人数为144，
∴所抽取学生成绩的中位数落在C组；
故答案为：C；
（3）∵n＝400﹣20﹣176﹣144﹣45＝15，
∴360°×＝13.5°，
答：扇形统计图中“E”所在扇形的圆心角度数13.5°；
（4）2000×＝300（名）．
答：估计该校成绩优秀的学生有300名．
13．（2021•兴安盟）某校九年级在“停课不停学”期间，为促进学生身体健康，布置了“云健身”任务．为了解学生完成情况，体育教师随机抽取一班与二班各10名学生进行网上视频跳绳测试，他的测试结果与分析过程如下：
（1）收集数据：两班学生每分钟跳绳个数分别记录如下（二班一个数据不小心被墨水遮盖）：
一班：100 94 86 86 84 94 76 69 59 94
二班：99 96 82 96 79 65 96 55 96
（2）整理、描述数据：根据上面得到的两组数据，分别绘制了频数分布直方图如图；

（3）分析数据：两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
班级
平均数
众数
中位数
方差
一班
①
94
86
147.76
二班
83.7
96
②
215.21
根据以上数据填出表格中①、②两处的数据并补全二班的频数分布直方图；
（4）得出结论：根据以上信息，判断哪班完成情况较好？说明理由（至少从两个不同角度说明判断的合理性）．
【答案】（3）84.2，89，补全的二班的频数分布直方图见解答；
（4）一班完成情况较好，理由见解答．
【解答】解：（3）表格中①对应的数据为：＝84.2，
由（1）中二班的数据和（2）中二班对应的频数分布直方图可得，表格中②对应的数据是（82+96）÷2＝89，
由二班的平均数是83.7可得，被墨水遮盖的数据是：83.7×10﹣（99+96+82+96+79+65+96+55+96）＝837﹣764＝73，
则二班60～70对应的频数是1，70～80对应的频数是2，补全的频数分布直方图如图所示；
（4）一班完成情况较好，
理由：一班的平均数高于二班，说明一班的成绩好于二班；一班的方差小于二班，说明一班的同学成绩波动小，大部分同学都在参加锻炼，故一班的完成情况好．

八．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2021•兴安盟）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字﹣2，0.3，，0．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出的小球上的数字是分数的概率（直接写出结果）；
（2）从口袋中一次随机摸出两个小球，摸出的小球上的数字分别记作x、y，请用列表法（或树状图）求点（x，y）在第四象限的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）P（分数）＝＝；
（2）列表得；

﹣2
0.3

0
﹣2

（0.3，﹣2）
（，﹣2）
（0，﹣2）
0.3
（﹣2，0.3）

（，0.3）
（0，0.3）

（﹣2，）
（0.3，）

（0，）
0
（﹣2，0）
（0.3，0）
（，0）

共出现12种等可能结果，其中点在第四象限的有2种（0.3，﹣2）、（0.3，），
∴P（第四象限）＝．