陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类

这是一份陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类，共18页。试卷主要包含了，与y轴的交点为C，，与y轴交于点C，，它的对称轴为直线l，问题提出等内容，欢迎下载使用。

陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类
一．二次函数综合题（共3小题）
1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴的交点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．
2．（2021•陕西）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2021•陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P关于x轴对称．在该抛物线上，是否存在点D、E、F，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在，求点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
二．全等三角形的判定与性质（共1小题）
4．（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．

三．三角形综合题（共1小题）
5．（2022•陕西）问题提出
（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为 　 　．
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．
问题解决
（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；
②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；
③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．
请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．

四．四边形综合题（共1小题）
6．（2022•陕西）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4．若点P是边AC上一点，则BP的最小值为 　 　；
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，点E是BC的中点．若点P是边AC上一点，试求PB+PE的最小值；
问题解决
（3）某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知AD＝2000米，CD＝1000米，∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝150°．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此时BE，DF的长．（路面宽度忽略不计）


五．圆的综合题（共1小题）
7．（2021•陕西）问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4．求BC+CD的值．
问题解决：
（2）有一个直径为30cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小，试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值，及此时OA的长；若不存在，请说明理由．


六．作图—复杂作图（共1小题）
8．（2023•陕西）如图．已知锐角△ABC，∠B＝48°，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P．使PB＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作图痕迹，不写作法）

七．列表法与树状图法（共1小题）
9．（2023•陕西）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3．这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 　 　；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．

陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共3小题）
1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴的交点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）如图：

∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，
∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，
在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵△PMN和△OBC相似，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，
∴∠MPN＝90°，PM＝PN，
设P（m，m2﹣m﹣4），
∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，
∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，
解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，
∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，
∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．

2．（2021•陕西）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）B（4，0），C（0，8）；
（2）P（0，16）或P（0，）．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+8，
取x＝0，得y＝8，
∴C（0，8），
取y＝0，得﹣x2+2x+8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴B（4，0）；
（2）存在点P，设P（0，y），
∵CC'∥OB，且PC与PO是对应边，
∴，
即：，
解得：y1＝16，，
∴P（0，16）或P（0，）．
3．（2021•陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P关于x轴对称．在该抛物线上，是否存在点D、E、F，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在，求点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+6x+5，B（﹣1，0）；
（2）抛物线上存在D（﹣4，﹣3），E（﹣3，﹣4），F（﹣2，﹣3），使四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′．
【解答】解：（1）∵A（﹣5，0）、C（0，5）在抛物线y＝x2+bx+c上，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2+6x+5，
令y＝0得x＝﹣1或x＝﹣5，
∴B（﹣1，0）；
（2）存在，理由如下：
延长AP'交抛物线于F，延长BP'交抛物线于D，对称轴交抛物线于E，如图：

由y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4知：E（﹣3，﹣4），抛物线对称轴为直线x＝﹣3，
∵点P（m，2）在对称轴直线l上，
∴P（﹣3，2），
∵点P′与点P关于x轴对称，
∴P'（﹣3，﹣2），
∴PP'＝4，P'E＝2，
由A（﹣5，0），P'（﹣3，﹣2）可得直线AP'为y＝﹣x﹣5，
解得或，
∴F（﹣2，﹣3），
∴AP'＝＝2，P'F＝＝，
由B（﹣1，0）、P'（﹣3，﹣2）可得直线BP'为y＝x+1，
解得或，
∴D（﹣4，﹣3），
∴BP'＝＝2，P'D＝＝，
∴＝＝＝2，
由位似图形定义知，四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′，
∴抛物线上存在D（﹣4，﹣3），E（﹣3，﹣4），F（﹣2，﹣3），使四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′．
二．全等三角形的判定与性质（共1小题）
4．（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．

【答案】见解析．
【解答】证明：在△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．
∵AE⊥BC．
∴∠AEC＝90°．
∴∠DAF＝∠AEC+∠C＝110°，
∴∠DAF＝∠CAB．
在△DAF和△CAB中，
，
∴△DAF≌△CAB（SAS）．
∴DF＝CB．
三．三角形综合题（共1小题）
5．（2022•陕西）问题提出
（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为 　75°　．
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．
问题解决
（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；
②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；
③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．
请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．

【答案】（1）75°；
（2）；
（3）符合要求，证明见解答过程．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的中线，
∴∠PAC＝∠BAC＝30°，
∵AP＝AC，
∴∠APC＝×（180°﹣30°）＝75°，
故答案为：75°；
（2）如图2，连接PB，
∵AP∥BC，AP＝BC，
∴四边形PBCA为平行四边形，
∵CA＝CB，
∴平行四边形PBCA为菱形，
∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°﹣∠C＝60°，
∴BE＝PB•cos∠PBC＝3，PE＝PB•sin∠PBC＝3，
∵CA＝CB，∠C＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∴OE＝BE•tan∠ABC＝，
∴S四边形OECA＝S△ABC﹣S△OBE
＝×6×3﹣×3×
＝；
（3）符合要求，
理由如下：如图3，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，
∵CA＝CD，∠DAC＝45°，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形FDCA为正方形，
∵PE是CD的垂直平分线，
∴PE是AF的垂直平分线，
∴PF＝PA，
∵AP＝AC，
∴PF＝PA＝AF，
∴△PAF为等边三角形，
∴∠PAF＝60°，
∴∠BAP＝60°﹣45°＝15°，
∴裁得的△ABP型部件符合要求．


四．四边形综合题（共1小题）
6．（2022•陕西）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4．若点P是边AC上一点，则BP的最小值为 　　；
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，点E是BC的中点．若点P是边AC上一点，试求PB+PE的最小值；
问题解决
（3）某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知AD＝2000米，CD＝1000米，∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝150°．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此时BE，DF的长．（路面宽度忽略不计）


【答案】（1）；
（2）PB+PE的最小值为；
（3）BE的长为500米，DF的长为1000米．
【解答】解：（1）过B作BP⊥AC于P，如图：

由垂线段最短可知，BP⊥AC时，BP的值最小，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵2S△ABC＝AB•BC＝AC•BP，
∴BP＝＝＝，
故答案为：；
（2）作E关于直线AC的对称点E'，连接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，如图：

∵E，E'关于直线AC对称，
∴PE＝PE'，
∴PB+PE＝PB+PE'，
∵B，P，E'共线，
∴此时PB+PE最小，最小值为BE'的长度，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠ACB＝45°，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝1，
∵E，E'关于直线AC对称，
∴∠ACE'＝∠ACB＝45°，CE＝CE'＝1，
∴∠BCE'＝90°，
在Rt△BCE'中，
BE'＝＝＝，
∴PB+PE的最小值为；
（3）作C关于AD的对称点M，连接DM，CM，CM交AD于H，作C关于AB的对称点N，连接BN，延长DC，AB交于G，连接NG，连接MN交AB于E，交AD于F，如图：

∵C，N关于AB对称，C，M关于AD对称，
∴CE＝NE，CF＝MF，
∴CE+EF+CF＝NE+EF+MF，
∵N，E，F，M共线，
∴此时CE+EF+CF最小，
∵∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝150°，
∴∠ADC＝60°，
∵C，M关于AD对称，
∴∠MDH＝∠CDH＝60°，∠CHD＝∠MHD＝90°，CD＝MD＝1000米，
∴∠MCD＝∠CMD＝30°，
∴DH＝CD＝500米，CH＝MH＝DH＝500米，
∴CM＝1000米，
∵∠ADC＝60°，∠A＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴DG＝AD＝2000米，
∴CG＝DG﹣CD＝1000米，
∵∠BCD＝150°，
∴∠BCG＝30°，
∵C，N关于AB对称，∠ABC＝90°，
∴C，B，N共线，CG＝NG＝1000米，∠BNG＝∠BCG＝30°，
∴BG＝CG＝500米，BC＝BN＝BG＝500米，
∴CN＝1000米＝CM，
∴∠CNM＝∠CMN，
∵∠BCD＝150°，∠MCD＝30°，
∴∠NCM＝120°，
∴∠CNM＝∠CMN＝30°，
在Rt△BNE中，
BE＝＝＝500（米），
在Rt△MHF中，
FH＝＝＝500（米），
∴DF＝FH+DH＝500+500＝1000（米），
答：BE的长为500米，DF的长为1000米．



五．圆的综合题（共1小题）
7．（2021•陕西）问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4．求BC+CD的值．
问题解决：
（2）有一个直径为30cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小，试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值，及此时OA的长；若不存在，请说明理由．


【答案】（1）4；
（2）cm2，OA＝5cm．
【解答】解：（1）如图1，

∵∠BCD＝∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴可以将△ABC绕A点逆时针旋转90°得△ADE，
∴∠ADE＝∠B，AE＝AC，∠CAE＝90°，
∴∠ADE+∠ADC＝180°，
∴C、D、E在同一条直线上，
∴CD+DE＝CE＝＝4；
（2）如图2，

连接OB，
∵∠AOC＝60°，OA＝OC，
∴将△AOB绕O点顺时针旋转60°至△COE，连接BE，
∴∠BOE＝60°，OE＝OB，
∴△BOE是等边三角形，
∴BE＝OB＝15，∠BEO＝60°，∠CBE＝∠ABO＝∠CEO，
∴∠CBE+∠CEB＝60°，
∴∠BCE＝120°，
∵S四边形OABC＝S△AOB+S△BCO＝S△COE+S△BCO
＝S△BOE﹣S△BCE
＝﹣S△BCE，
∴要使四边形OABC的面积最小，就要使△BCE的面积最大，
作正△BEF，作它的外接圆⊙I，作直径FC′，
当C与C′重合时，S△BCE最大，
S△BCE最大＝×15×（）＝，
∴S四边形OABC最小＝cm2，
此时OA＝OC＝＝＝5cm．
六．作图—复杂作图（共1小题）
8．（2023•陕西）如图．已知锐角△ABC，∠B＝48°，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P．使PB＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解答．
【解答】解：如图，点P即为所求．

七．列表法与树状图法（共1小题）
9．（2023•陕西）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3．这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 　　；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）由题意可得，
从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为＝，
故答案为：；
（2）树状图如下：

由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，
∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．