山东省东营市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题

这是一份山东省东营市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题，共46页。试卷主要包含了计算，﹣1，0﹣tan60°；等内容，欢迎下载使用。
山东省东营市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题
一．分式的化简求值（共4小题）
1．（2023•东营模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣3＝0．
2．（2023•广饶县二模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：•（1+）÷，其中x＝2．
3．（2023•利津县二模）（1）计算：3tan60°﹣|1﹣|+（﹣）0+42023×（﹣0.25）2023﹣（）﹣1．
（2）先化简，再求值：，其中．
4．（2023•垦利区二模）（1）计算：（）﹣1+16÷（﹣2）3+（2011﹣）0﹣tan60°；
（2）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．
二．一元一次不等式的应用（共1小题）
5．（2023•垦利区二模）某花店计划在母亲节来临之前购进一批康乃馨和百合花，已知购买2支康乃馨和3支百合共需40元；购买3支康乃馨和1支百合共需25元．
（1）求每支康乃馨和百合花的价格分别是多少元？
（2）若该花店准备同时购进这两种花共300支，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
三．一次函数的应用（共3小题）
6．（2023•广饶县二模）为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫共100件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍．
（1）求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲品牌以每件50元出售，乙品牌以每件100元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润．
7．（2023•利津县二模）新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．已知甲种图书每本进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进乙种图书的数量少10本．
（1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？
（2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价为每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完）
8．（2023•东营模拟）5月13日是母亲节，为了迎接母亲节的到来，利客来商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于24件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
（3）在（2）条件下，若每件甲种玩具售价30元，每件乙种玩具售价45元，请求出卖完这批玩具获利W（元）与甲种玩具进货量m（件）之间的函数关系式，并求出最大利润为多少？
四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
9．（2023•利津县二模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y＝﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y＝的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积是四边形BMON面积的3倍，求点P的坐标．

五．二次函数综合题（共4小题）
10．（2023•东营模拟）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），BP交y轴于点D，连接BC．

（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限抛物线上一点，当△BCD的面积为12时，求P点坐标．
（3）抛物线上是否存在点Q使得∠QCB＝∠CBO？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2023•广饶县二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设四边形APCB的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M的坐标；若不存在，说明理由．
12．（2023•垦利区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣8（a≠0）的图象交x轴于点A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点M为直线BC下方二次函数图象上一个动点，连接MB，MC，求△MBC面积的最大值；
（3）点P为直线BC上一个动点，将点P向右平移6个单位长度得到点Q，设点P的横坐标为m，若线段PQ与二次函数的图象只有一个交点，直接写出m的取值范围．

13．（2023•利津县二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求二次函数的函数表达式；
（2）设二次函数的图象的顶点为D，求直线BD的函数表达式以及sin∠CBD的值；
（3）若点M在线段AB上（不与A、B重合），点N在线段BC上（不与B、C重合），是否存在△CMN与△AOC相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
六．直线与圆的位置关系（共1小题）
14．（2023•利津县二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作EF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF＝9，EF＝12，求⊙O的半径和AD的长．

七．切线的性质（共1小题）
15．（2023•垦利区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的平分线；
（2）若AD＝6，AB＝8，求AC的长．

八．切线的判定与性质（共2小题）
16．（2023•东营模拟）如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD平分∠ABC，经过点B、C的⊙O交BD于点E，连接OE交BC于点F，OF⊥BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝BC，BD＝，tan∠CBD＝，求⊙O的半径．

17．（2023•广饶县二模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，BD＝2，求CE的长．

九．几何变换综合题（共1小题）
18．（2023•广饶县二模）【问题发现】
（1）如图1所示，△ABC和△ADE均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段BD、CE之间的数量关系为 　 　；∠BEC＝　 　°；
【类比探究】
（2）如图2所示，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，B、D、E三点共线，线段BE、AC交于点F．此时，线段BD、CE之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出∠BEC的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC＝8，DE为△ABC的中位线，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，当DE所在直线经过点B时，请直接写出CE的长．


一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
19．（2023•利津县二模）如图大楼AB的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°．已知斜坡ED与水平面的夹角∠EDG＝37°，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到0.1m）
（1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD．
（2）求旗杆的AC高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

一十一．列表法与树状图法（共4小题）
20．（2023•东营二模）为弘扬优秀传统文化，我区某校开展了“文化润心，学思践行”传统文化知识竞赛．张老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成不完整的统计图表．

组别
成绩x（分）
频数
A
75.5≤x＜80.5
6
B
80.5≤x＜85.5
14
C
85.5≤x＜90.5
m
D
90.5≤x＜95.5
n
E
95.5≤x＜100.5
4
​请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）表中的m＝　 　，n＝　 　；
（2）请补全频数分布直方图．
（3）已知该校有1500名学生参赛，请估计竞赛成绩在90.5分以上的学生有多少人？
（4）现要从E组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，E组中的小明和小红是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小明和小红的概率．
21．（2023•东营模拟）为积极配合城市推行垃圾分类工作，某教育集团调查小组挂出“垃圾变宝源自分类，呵护环境始于点滴”等宣传标语，同时在各校区（1）、（2）、（3）、（4）四个学部随机抽取部分学生进行垃圾分类常识测试，并将各部门测试成绩优秀的人数统计后绘制成如图所示的两幅统计图（部分数据不完整）．
请你结合图中信息回答下列问题：
（1）扇形统计图中的m%＝　 　%，α的度数为 　 　°；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）假设一学生无垃圾分类常识，参加这次分类测试：袋中有三件垃圾记为a、b、c，分别属于“A——可回收物、B——其他垃圾、C——有害垃圾”三类，该学生从袋中随机抽取一件垃圾再随机投进三类垃圾箱中的一个，请用列表法或画树状图法求该学生投放正确的概率．

22．（2023•广饶县二模）某市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的型号，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 　 　名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 　 　度；
（2）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（3）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，求出恰好抽中A，B两人的概率．
23．（2023•垦利区二模）为了解九年级学生“居家学习”的学习能力，某校随机抽取该年级部分学生，对他们的学习能力进行了统计，（其中学习能力指数级别“1”级，代表学习能力很强；“2”级，代表学习能力较强；“3”级，代表学习能力一般；“4”级，代表学习能力较弱）请结合图中相关数据回答问题．
（1）本次抽查的学生人数为 　 　人，并将条形统计图补充完整；
（2）本次抽查学生“居家学习”能力指数级别的众数为 　 　级，中位数为 　 　级；
（3）已知学习能力很强的学生中有2名女生，现从中随机抽取两人写有“居家学习”的报告，请用列表或画树状图的方法求所抽查的两位学生中恰好是同性别的概率．


山东省东营市2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共4小题）
1．（2023•东营模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣3＝0．
【答案】（1）﹣7；
（2）2（a2+2a），6．
【解答】解：（1）原式＝3×﹣+1+1﹣9
＝﹣+1+1﹣9
＝﹣7；
（2）原式＝[﹣]•
＝•
＝•
＝•
＝2a（a+2）
＝2（a2+2a），
∵a满足a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴原式＝2×3＝6．
2．（2023•广饶县二模）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：•（1+）÷，其中x＝2．
【答案】（1）．
（2）．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝．
（2）原式＝
＝
＝，
当时，
原式＝．
3．（2023•利津县二模）（1）计算：3tan60°﹣|1﹣|+（﹣）0+42023×（﹣0.25）2023﹣（）﹣1．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）2﹣2；
（2），3+2．
【解答】解：（1）原式＝3×﹣（﹣1）+1+[4×（﹣）]2023﹣3
＝3﹣+1+1﹣1﹣3
＝2﹣2；
（2）原式＝•
＝•
＝，
∵|x﹣|+（x﹣）2＝0，
∴x﹣＝0，
∴x＝，
∴原式＝＝（+1）2＝2+1+2＝3+2．
4．（2023•垦利区二模）（1）计算：（）﹣1+16÷（﹣2）3+（2011﹣）0﹣tan60°；
（2）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．
【答案】（1）﹣1；（2）．
【解答】解：（1）原式＝
＝3﹣2+1﹣3
＝﹣1；
（2）
＝•
＝•
＝，
∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2＝2x+2，
∴当x2＝2x+2时，
原式＝．
二．一元一次不等式的应用（共1小题）
5．（2023•垦利区二模）某花店计划在母亲节来临之前购进一批康乃馨和百合花，已知购买2支康乃馨和3支百合共需40元；购买3支康乃馨和1支百合共需25元．
（1）求每支康乃馨和百合花的价格分别是多少元？
（2）若该花店准备同时购进这两种花共300支，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）每支康乃馨和百合花的价格分别是5元、10元；
（2）省钱的购买方案是购买康乃馨200支，购买百合花100支，理由见解答．
【解答】解：（1）设每支康乃馨和百合花的价格分别是x元、y元，
，
解得，
答：每支康乃馨和百合花的价格分别是5元、10元；
（2）最省钱的购买方案是购买康乃馨200支，购买百合花100支，
理由：设购买康乃馨m支，则购买百合花（300﹣m）支，费用为w元，
w＝5m+10（300﹣m）＝﹣5m+3000，
∴w随m的增大而减小，
∵康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，
∴m≤2（300﹣m），
解得m≤200，
∴当m＝200时，w取得最小值，此时w＝2000，300﹣m＝100，
∴最省钱的购买方案是购买康乃馨200支，购买百合花100支．
三．一次函数的应用（共3小题）
6．（2023•广饶县二模）为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫共100件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍．
（1）求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲品牌以每件50元出售，乙品牌以每件100元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为（x+30）元，
，
解得，x＝30
经检验，x＝30是原分式方程的解，
∴x+30＝60，
答：甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元；
（2）设该商场购进甲品牌T恤衫a件，则购进乙品牌T恤衫（100﹣a）件，利润为w元，
∵购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，
∴a≥4（100﹣a）
解得，a≥80
w＝（50﹣30）a+（100﹣60）（100﹣a）＝﹣20a+4000，
∵a≥80，
∴当a＝80时，w取得最大值，此时w＝2400元，100﹣a＝20，
答：获利最大的进货方案是：购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，最大利润是2400元．
7．（2023•利津县二模）新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．已知甲种图书每本进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进乙种图书的数量少10本．
（1）甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？
（2）新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价为每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完）
【答案】（1）甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；
（2）书店甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润是13000元．
【解答】解：（1）设乙种图书进价每本x元，则甲种图书进价为每本1.4x元，
由题意得：﹣＝10，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
则1.4x＝1.4×20＝28，
答：甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；
（2）设书店甲种图书进货a本，总利润为w元，
由题意得：w＝（40﹣28）a+（30﹣20）（1200﹣a）＝2a+12000，
∵28a+20×（1200﹣a）≤28000，
解得：a≤500，
∵w随a的增大而增大，
∴当a最大时w最大，
∴当a＝500时，w最大＝2×500+12000＝13000（元），
此时，乙种图书进货本数为1200﹣500＝700（本）．
答：书店甲种图书进货500本，乙种图书进货700本时利润最大，最大利润是13000元．
8．（2023•东营模拟）5月13日是母亲节，为了迎接母亲节的到来，利客来商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于24件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
（3）在（2）条件下，若每件甲种玩具售价30元，每件乙种玩具售价45元，请求出卖完这批玩具获利W（元）与甲种玩具进货量m（件）之间的函数关系式，并求出最大利润为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，
根据题意，得＝，
解得x＝15，
经检验x＝15是原方程的解．
则40﹣x＝25．
答：甲、乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；

（2）设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具（48﹣m）件，
由题意，得，
解得20≤m＜24．
∵m是整数，
∴m取20，21，22，23，
故商场共有四种进货方案：
方案一：购进甲种玩具20件，乙种玩具28件；
方案二：购进甲种玩具21件，乙种玩具27件；
方案三：购进甲种玩具22件，乙种玩具26件；
方案四：购进甲种玩具23件，乙种玩具25件；

（3）设购进甲种玩具m件，卖完这批玩具获利W元，则购进乙种玩具（48﹣m）件，
根据题意得：W＝（30﹣15）m+（45﹣25）（48﹣m）＝﹣5m+960，
∵比例系数k＝﹣5＜0，
∴W随着m的增大而减小，
∴当m＝20时，有最大利润W＝﹣5×20+960＝860元．
四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
9．（2023•利津县二模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y＝﹣x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y＝的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积是四边形BMON面积的3倍，求点P的坐标．

【答案】（1）y＝；
（2）P（0，12）或（0，﹣12）．
【解答】解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝2，
将y＝2代入y＝﹣x+3得：x＝2，
∴M（2，2），
将x＝4代入y＝﹣x+3得：y＝1，
∴N（4，1），
把M的坐标代入y＝得：k＝4，
∴反比例函数的解析式是y＝；
（2）由题意可得：
S四边形BMON＝S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON
＝4×2﹣×2×2﹣×4×1
＝4；
∵△OPM的面积是四边形BMON面积的3倍，
∴OP×AM＝12，
∵AM＝2，
∴OP＝12，
∴点P的坐标是（0，12）或（0，﹣12）．

五．二次函数综合题（共4小题）
10．（2023•东营模拟）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），BP交y轴于点D，连接BC．

（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限抛物线上一点，当△BCD的面积为12时，求P点坐标．
（3）抛物线上是否存在点Q使得∠QCB＝∠CBO？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）P（﹣3，﹣7）；
（3）点Q的坐标为（3，2）或（，﹣）．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴；
（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴，
∴OD＝4，
∴D（0，﹣4），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣4，
联立方程组，
解得或，
∴P（﹣3，﹣7）；
（3）如图所示，当点Q在第一象限抛物线上时，

∵∠QCB＝∠CBO，
∴CQ∥OB，
∴点Q和点C关于对称轴对称，
∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴抛物线的对称轴为，
∵C（0，2），
∴点Q的坐标为（3，2）；
如图所示，当点Q在第四象限的抛物线上时，设CQ与x轴交于点E

∵∠QCB＝∠CBO，
∴EC＝EB，
∴设EC＝EB＝x，
∵C（0，2），B（4，0），
∴OC＝2，OE＝4﹣x，
∴在Rt△OEC中，OC2+OE2＝CE2，即22+（4﹣x）2＝x2，
∴解得，
∴OE＝，
∴E（，0），
∴设直线CE的解析式为y＝k1x+b1，
将C（0，2），E（，0）代入得，，
解得；
∴y＝﹣x+2，
联立直线CE和抛物线得，，
解得或

∴点Q的坐标为（，﹣）．
综上所述，点Q的坐标为（3，2）或（，﹣）．
11．（2023•广饶县二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设四边形APCB的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；
（2）S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，）；
（3）存在，点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣1﹣，﹣2）或（2﹣，0）或（﹣1+，﹣2）．
【解答】解：（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2中，
∴，
解得．
∴y＝﹣x2﹣x+2；

（2）令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+p，
∴，
解得，
∴y＝x+2，
过点P作PG∥y轴交AC于点G，

设P（t，﹣t2﹣t+2），则G（t，t+2），
∴PG＝﹣t2﹣t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣2t，
∴S＝S四边形APCB＝S△APC+S△ACB＝×2×（3+1）+×3×（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣3t+4＝﹣（t+）2+，
∵点P是直线AC上方，
∴﹣3＜t＜0，
∴当t＝﹣时，S有最大值，
此时点P的坐标为（﹣，）；

（3）如图2，当AQ∥CM且AQ＝CM时，

∵yC＝2，
∴yM＝2，
在y＝﹣x2﹣x+2中，
当y＝2时，x1＝0，x2＝﹣2，
∴M1（﹣2，2），
∴CM＝2，
∴AQ＝2，
∵A（﹣3，0），
∴Q（﹣5，0）或（﹣1，0）；
当AM∥CQ时，
∵yC﹣yA＝2，
∴yQ﹣yM＝2，
∴yM＝﹣2，
在y＝﹣x2﹣x+2中，
当y＝﹣2时，x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+，
∴M2（﹣1﹣，﹣2），M3（﹣1+，﹣2），
∵xC﹣xA＝3，
∴xQ﹣xM＝3，
∴xQ＝2﹣或2+，
∴Q（2﹣，0）或（2+，0），
综上所述，点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣1﹣，﹣2）或（2﹣，0）或（﹣1+，﹣2）．
12．（2023•垦利区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣8（a≠0）的图象交x轴于点A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点M为直线BC下方二次函数图象上一个动点，连接MB，MC，求△MBC面积的最大值；
（3）点P为直线BC上一个动点，将点P向右平移6个单位长度得到点Q，设点P的横坐标为m，若线段PQ与二次函数的图象只有一个交点，直接写出m的取值范围．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣8；（2）8；（3）0＜m≤4或m＝．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣8，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8；
（2）当x＝0时，y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
设直线BC的解析式为：y＝kx﹣8，
将B（4，0）代入，得：
0＝4k﹣8，
解得：k＝2，
∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣8，
∵B（4，0），
∴OB＝4．
过点M作MH⊥x轴，垂足为H，交直线BC于点N，设H（x，0），如图，

∴N（x，2x﹣8），M（x，x2﹣2x﹣8），
∴MN＝（2x﹣8）﹣（x2﹣2x﹣8）＝﹣x2+4x，
∴S△MBC＝S△MNC+S△MNB
＝MN•OB
＝（﹣x2+4x）×4
＝﹣2x2+8x
＝﹣2（x﹣2）2+8，
∵0＜x＜4，﹣2＜0，
∴当x＝2时，△MBC面积的最大值为8；
（3）若线段PQ与二次函数的图象只有一个交点，则m的取值范围0＜m≤4或m＝．理由：
①当点P在线段BC上时，

∵P，Q的距离为6，而C，B的水平距离是4，
∴此时只有一个交点，即0＜m≤4；
∴线段PQ与抛物线只有一个公共点；
②当点P在点B的右侧时，线段PQ与抛物线没有公共点；
③当点P在点C的左侧时，

∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴抛物线的顶点为（1，﹣9），
令y＝2x﹣8＝﹣9，
解得：x＝，
∵1﹣（）＝＜6，
∴当m＝时，抛物线和PQ交于抛物线的顶点（1，﹣9），
即m＝时，线段PQ与抛物线只有一个公共点，
综上，0＜m≤4或m＝．



13．（2023•利津县二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求二次函数的函数表达式；
（2）设二次函数的图象的顶点为D，求直线BD的函数表达式以及sin∠CBD的值；
（3）若点M在线段AB上（不与A、B重合），点N在线段BC上（不与B、C重合），是否存在△CMN与△AOC相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）二次函数的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）直线BD的函数表达式为：；sin∠CBD＝；
（3）存在△CMN与△AOC相似，点N的坐标为：或或．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣2得：
∴，
解得，
∴二次函数的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，
∴抛物线顶点；
设直线BD的函数表达式为y＝kx+n，
∴，
解得，
∴直线BD的函数表达式为：；
设BD与y轴交于E，过点C作CP⊥BE于点P，如图：

在y＝x2﹣x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
在y＝x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，
∴E（0，﹣4），
∴BE＝＝＝5，CE＝OE﹣OC＝2，
∵2S△CBE＝BE•CP＝CE•OB，
∴CP＝＝＝，
∵BC＝＝＝，
∴sin∠CBD＝＝＝；
（3）存在△CMN与△AOC相似，理由如下：
由C（0，﹣2），B（3，0）得直线BC解析式为y＝x﹣2，
设M（p，0），N（q，q﹣2），
∵△AOC是直角三角形，且＝，
∴△CMN与△AOC相似，△CMN是直角三角形，且两直角边的比为，
①点M在线段AB上（不与A、B重合），点N在线段BC上（不与B、C重合），∠MCN不可能是直角；
②若∠CMN是直角，则＝或＝，过N作NH⊥x轴于H，如图：

∵∠NMH＝90°﹣∠CMO＝∠MCO，∠MHN＝90°＝∠COM，
∴△MHN∽△COM，
∴＝＝，即＝＝，
若＝，则＝＝，
解得，
∴N（，﹣）；
若＝，则＝＝2，
解得（此时N不在线段BC上，舍去）；
③若∠CNM为直角，则＝或＝，过N作KT⊥x轴于K，过C作CT⊥KT于T，如图：

同理可得△CNT∽△NMK，
∴＝＝，
当＝时，
＝＝，
解得q＝，
∴N（，﹣），
当＝时，
＝＝2，
解得q＝，
∴N（，﹣）；
综上所述，点N的坐标为：或或．
六．直线与圆的位置关系（共1小题）
14．（2023•利津县二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作EF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF＝9，EF＝12，求⊙O的半径和AD的长．

【答案】（1）直线EF是⊙O的切线．理由见解答过程；
（2），．
【解答】（1）直线EF是⊙O的切线．理由如下：
连接OE，OC，
∵AE平分∠CAE，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴，
∴∠COE＝∠BOE，
∵OC＝OB，
∴OE⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△OEF中，由勾股定理得：
OE2+EF2＝OF2，
∵OE＝OB，
∴OE2+EF2＝（OE+BF）2，
即：OE2+122＝（OE+9）2，
解得：OE＝，
∴⊙O的半径为；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠OEF＝90°，
∴∠BEF＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠AEO，
∴∠BEF＝∠BAE，
∵∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴，
∴，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，即，
解得：BE＝4.2，
∴AE＝5.6，
∵BC∥EF，
∴，即，
∴．
∴⊙O的半径为，AD的长为．

七．切线的性质（共1小题）
15．（2023•垦利区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的平分线；
（2）若AD＝6，AB＝8，求AC的长．

【答案】（1）证明见详解；
（2）AC＝4．
【解答】（1）证明：如图所示：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB平分线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AD•AB＝6×8＝48，
∴AC＝4．
八．切线的判定与性质（共2小题）
16．（2023•东营模拟）如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD平分∠ABC，经过点B、C的⊙O交BD于点E，连接OE交BC于点F，OF⊥BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝BC，BD＝，tan∠CBD＝，求⊙O的半径．

【答案】（1）见解析；（2）5．
【解答】（1）证明：连接OB，如图：

∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠OBE+∠ABD＝∠OEB+∠CBD，
∴∠OBA＝∠OFB，
∵OF⊥BC，
∴∠OBA＝∠OFB＝∠EFB＝90°，
∴OB⊥AB，
∵OB是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴tan∠CBD＝，
∵BD＝，
∴CD＝，
∵∠BDC＝90°，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴BC＝8，
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF＝BC＝4，
∵∠EFB＝90°，
∴tan∠CBD＝＝，
∴EF＝2，
令OB＝OE＝r，
∴OF＝OE﹣EF＝r﹣2，
∵∠OFB＝90°，
∴OF2+BF2＝OB2，
即（r﹣2）2+42＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
17．（2023•广饶县二模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，BD＝2，求CE的长．

【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ACB＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
即EF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，

∵AB是⊙O直径，
∴AD⊥BC，
∵DE⊥AC，
∴∠ADC＝∠DEC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴，
∵AB＝AC，
∴DC＝DB＝2，
∵AC＝AB＝5，
∴，
∴．
九．几何变换综合题（共1小题）
18．（2023•广饶县二模）【问题发现】
（1）如图1所示，△ABC和△ADE均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段BD、CE之间的数量关系为 　BD＝EC　；∠BEC＝　60　°；
【类比探究】
（2）如图2所示，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，B、D、E三点共线，线段BE、AC交于点F．此时，线段BD、CE之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出∠BEC的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC＝8，DE为△ABC的中位线，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，当DE所在直线经过点B时，请直接写出CE的长．


【答案】（1）BD＝CE，60；
（2）结论：BD＝2CE，∠BEC＝45°，证明见解析部分；
（3）CE的长为为﹣或+．
【解答】解：（1）∵△ACB和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠AEC＝120°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°，
综上所述，∠BEC的度数为60°，线段BD与CE之间的数量关系是BD＝CE，
故答案为：BD＝CE，60；

（2）结论：BD＝2CE，∠BEC＝45°，理由如下：
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ADE＝∠DAE＝45°，∠ACB＝∠AED＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠ADB＝135°，
Rt△ABC和Rt△ADE中，sin∠ABC＝，sin∠ADE＝，sin45°＝，
∴＝＝，
∴＝，
又∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝135°，BDCE＝ABAC＝ADAE，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，
∵＝＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴BD＝CE；

（3）分两种情况：
①如图4，

∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BC＝8，
∴AC＝BC＝4，
∴AB＝＝＝4，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝4，DE∥AB，AE＝AC，AD＝AB，
∴∠CDE＝∠ABC＝30°，＝＝，
由旋转的性质得：∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝，∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝150°，
∵∠AED＝90°﹣∠CDE＝60°，
∴∠CEB＝∠AEC﹣∠AED＝150°﹣60°＝90°，
设CE＝x，则BD＝x，BE＝BD+DE＝x+4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：x2+（x+4）2＝82，
解得：x＝或x＝﹣﹣（舍去）
∴BE＝﹣；
②如图5，同①得：△AEC∽△ABD，
则＝＝，∠CEB＝90°，

设CE＝y，则BD＝y，BE＝BD﹣DE＝y﹣4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：y2+（y﹣4）2＝82，
解得：y＝+或y＝﹣﹣（舍去），
∴CE＝+；
综上所述，CE的长为﹣或+．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
19．（2023•利津县二模）如图大楼AB的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°．已知斜坡ED与水平面的夹角∠EDG＝37°，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到0.1m）
（1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD．
（2）求旗杆的AC高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

【答案】（1）斜坡ED的铅直高度EG约为12m，水平宽度GD约为16m；
（2）旗杆的AC高度约为2.7m．
【解答】解：（1）在Rt△DEG中，∠EDG＝37°，DE＝20m，
∴EG＝DE•sin37°≈20×0.60＝12（m），
DG＝DE•cos37°≈20×0.80＝16（m），
∴斜坡ED的铅直高度EG约为12m，水平宽度GD约为16m；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H，

由题意得：DB＝32m，
∴EH＝GB＝GD+DB＝16+32＝48（m），
在Rt△CEH中，∠CEH＝30°，
∴CH＝EH•tan30°＝48×＝16（m），
∴AC＝CH+BH﹣AB＝16+12﹣37≈2.7（m），
∴旗杆的AC高度约为2.7m．
一十一．列表法与树状图法（共4小题）
20．（2023•东营二模）为弘扬优秀传统文化，我区某校开展了“文化润心，学思践行”传统文化知识竞赛．张老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成不完整的统计图表．

组别
成绩x（分）
频数
A
75.5≤x＜80.5
6
B
80.5≤x＜85.5
14
C
85.5≤x＜90.5
m
D
90.5≤x＜95.5
n
E
95.5≤x＜100.5
4
​请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）表中的m＝　18　，n＝　8　；
（2）请补全频数分布直方图．
（3）已知该校有1500名学生参赛，请估计竞赛成绩在90.5分以上的学生有多少人？
（4）现要从E组随机抽取两名学生参加上级部门组织的党史知识竞赛，E组中的小明和小红是一对好朋友，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到小明和小红的概率．
【答案】（1）18，8；
（2）见解答；
（3）360人；
（4）．
【解答】解：（1）∵B组频数14，占百分比为28%，
∴抽取的总人数为：14÷28%＝50（人），
∵C组占比36%，
∴m＝50×36%＝18（人），
n＝50﹣6﹣14﹣18﹣4＝8（人），
故答案为：18，8；
（2）补全频数分布直方图如下：

（3）∵竞赛成绩在90.5分以上的学生占×100%＝24%，
∴估计竞赛成绩在90.5分以上的学生有：24%1500＝360（人）；
答：估计全校竞赛成绩在90.5分以上的学生有360人；
（4）E组有4人，记为：M，H，A，B，其中M表示小明，H表示小红，画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小明和小红的结果数有2种，
∴P（恰好抽到小明和小红）＝．
21．（2023•东营模拟）为积极配合城市推行垃圾分类工作，某教育集团调查小组挂出“垃圾变宝源自分类，呵护环境始于点滴”等宣传标语，同时在各校区（1）、（2）、（3）、（4）四个学部随机抽取部分学生进行垃圾分类常识测试，并将各部门测试成绩优秀的人数统计后绘制成如图所示的两幅统计图（部分数据不完整）．
请你结合图中信息回答下列问题：
（1）扇形统计图中的m%＝　10　%，α的度数为 　144　°；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）假设一学生无垃圾分类常识，参加这次分类测试：袋中有三件垃圾记为a、b、c，分别属于“A——可回收物、B——其他垃圾、C——有害垃圾”三类，该学生从袋中随机抽取一件垃圾再随机投进三类垃圾箱中的一个，请用列表法或画树状图法求该学生投放正确的概率．

【答案】（1）10，144°；
（2）见解答；
（3）．
【解答】解：（1）这次测试成绩优秀的人数共有：60÷30%＝200（人），
∴m%＝20÷200×100%＝10%，
∠α的度数为：360°×＝144°，
故答案为：10，144°；
（2）第（2）学部的人数为：200﹣60﹣20﹣80＝40（人），
将条形统计图补充完整如下：

（3）画树状图：

共有9种等可能的结果，该学生投放正确的结果有3种，
∴该学生投放正确的概率为．
22．（2023•广饶县二模）某市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的型号，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 　200　名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 　198　度；
（2）若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（3）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，求出恰好抽中A，B两人的概率．
【答案】（1）200，198；
（2）288人；
（3）．
【解答】解：（1）此次调查一共随机采访学生44÷22%＝200（名），
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝198°，
故答案为：200，198；
（2）估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数3600×＝288（人）；
（3）列表如下：

A
B
C
D
A

（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）

（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）

（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）

由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，
所以恰好抽中A，B两人的概率为＝．
23．（2023•垦利区二模）为了解九年级学生“居家学习”的学习能力，某校随机抽取该年级部分学生，对他们的学习能力进行了统计，（其中学习能力指数级别“1”级，代表学习能力很强；“2”级，代表学习能力较强；“3”级，代表学习能力一般；“4”级，代表学习能力较弱）请结合图中相关数据回答问题．
（1）本次抽查的学生人数为 　50　人，并将条形统计图补充完整；
（2）本次抽查学生“居家学习”能力指数级别的众数为 　3　级，中位数为 　3　级；
（3）已知学习能力很强的学生中有2名女生，现从中随机抽取两人写有“居家学习”的报告，请用列表或画树状图的方法求所抽查的两位学生中恰好是同性别的概率．

【答案】（1）50，见解析；
（2）3，3；
（3）．
【解答】解：（1）本次抽查的学生人数为：12÷24%＝50（人），
故答案为：50，
“1”级的学生数为50×8%＝4（人），
将条形统计图补充完整如图：

（2）本次抽查学生“居家学习”能力指数级别的众数为3级，
中位数为第25，26个同学即为3级．
故答案为：3，3；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中同性别的结果数为4，所以恰好抽到同性别的概率＝．