山东省菏泽市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）

这是一份山东省菏泽市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题），共50页。试卷主要包含了0+|1﹣|﹣2sin45°，先化简再求值，作为竞赛奖品，在直线BE上，AC＝CD等内容，欢迎下载使用。

山东省菏泽市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023•郓城县一模）计算：（）﹣2﹣（π﹣3.14）0+|1﹣|﹣2sin45°．
二．二元一次方程组的应用（共1小题）
2．（2023•曹县一模）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件共需70元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品每件20元出售，乙商品每件50元出售，为了满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的4倍，请求出获得利润最大的进货方案．
三．根与系数的关系（共1小题）
3．（2023•单县一模）先化简再求值：，其中a，b是一元二次方程的两个根．
四．分式方程的应用（共1小题）
4．（2023•南阳一模）2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图．某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．
（1）若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
（2）在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？

五．一次函数的应用（共1小题）
5．（2023•丰顺县一模）某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示：

甲
乙
进价（元/千克）
x
x+4
售价（元/千克）
20
25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
6．（2023•曹县一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A，B，且点A的横坐标为1，过点B作BE∥x轴，交y轴于点F，过点A作AD⊥BE 于点D，点C（）在直线BE上，AC＝CD．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集．

7．（2023•单县一模）如图，点A（1，6）和B（n，2）是一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）设点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标．

七．二次函数综合题（共5小题）
8．（2023•牡丹区一模）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9．（2023•定陶区一模）已知抛物线C1：y＝ax2+b与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）把抛物线C1沿射线CA方向平移得到抛物线C2，此时点A、C分别平移到点D、E处，且都在直线AC上，设点F在抛物线 C1上，如果△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，设点M为线段BC上的一点，EN⊥EM，交直线BF于点N，求tan∠ENM的值．

10．（2023•鄄城县一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数及直线BC的表达式．
（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠NMO为直角，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


11．（2023•单县一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过A（﹣2，0），B（4，0）两点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．

12．（2023•郓城县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣5与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝ax2+4ax+c经过点A、点B．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标；
（2）若在第三象限的抛物线上有一动点M，当点M到直线AB的距离最大时，求点M的坐标；
（3）点C，D分别为线段AO，线段AB上的点，且BD＝AC，连接CD．将线段CD绕点D顺时针旋转90度，点C旋转后的对应点为点E，连接OE．当线段OE的长最小时，请直接写出直线DE的函数表达式．


八．菱形的判定与性质（共1小题）
13．（2023•牡丹区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥DC，CE∥DA．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）连接DE，若，△ADE是等边三角形，求BC的长．

九．正方形的性质（共1小题）
14．（2023•鄄城县一模）如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点G，点E、F分别在边BC、CD上，求证：BE＝CF．

一十．四边形综合题（共2小题）
15．（2023•牡丹区一模）点P是正方形ABCD所在平面内一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得线段CQ，连接BP，DQ．

（1）如图①，当P在CD边上时，直接写出BP与DQ之间的关系是 　 　；
（2）如图②，当P在正方形内部时，BP与DQ之间有怎样的关系？请说明理由；
（3）射线BP交DQ于E，若四边形PCQE是正方形，BC＝2，CP＝1，直接写出BE＝　 　．

16．（2023•郓城县一模）实践与探究
操作一：如图①，将矩形纸片ABCD对折并展开，折痕PQ与对角线AC交于点E，连结BE，则BE与AC的数量关系为 　 　．
操作二：如图②，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连结AF，M为AF的中点，连结DM、ME．求证：DM＝ME．
拓展延伸：如图③，摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，连结AF，M为AF的中点，连结DM、ME、DE．已知正方形纸片ABCD的边长为5，正方形纸片ECGF的边长为2，则△DME的面积为 　 　．

一十一．切线的性质（共1小题）
17．（2023•鄄城县一模）如图，在⊙O中，弦CD与直径AB交于点F，弦DC的延长线与过点A的⊙O的切线交于点E，连接AD，AC，BC，且AC＝CF．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若AC＝，tanB＝，求AE的长．

一十二．圆的综合题（共1小题）
18．（2023•郓城县一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE⊥AB；
（2）求证：DF2＝FH•FC；
（3）若DH＝9，tanC＝，求半径OA的长．

一十三．相似三角形的判定与性质（共2小题）
19．（2023•曹县一模）（1）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：BD＝CE．
（2）如图2，△ABC和左△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED，，连接BD，CE，求的值．

20．（2023•定陶区一模）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，△ABD沿直线BD翻折，点A恰好落在腰CD上的点E处．
（1）如图，当点E是腰CD的中点时，求证：△BCD是等边三角形；
（2）延长BE交线段AD的延长线于点F，联结CF，如果CE2＝DE•DC，求证：四边形ABCF是矩形．

一十四．相似形综合题（共1小题）
21．（2023•定陶区一模）已知，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC于H，P是AB上一动点，AD⊥CP，BE⊥CP，HD与BE两延长线交于点F．
（1）当AB＝AC时，求∠BFH的度数；
（2）当∠ABC＝30°时，探求BF与CD的数量关系，说明理由；
（3）当∠ABC＝α时，直接用α的代数式表示的值．

一十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
22．（2023•牡丹区一模）小明和他的学习小组开展“测量樟树的高度”的实践活动，他们按拟定的测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：
课题
测量樟树的高度
测量工具
测角仪和皮尺
测量示意图及说明

说明：BC为水平地面，樟树AB垂直于地面，斜坡CD的坡度i＝3：4，在斜坡CD上的点E处测樟树顶端A的仰角∠1的度数．
测量数据
BC＝8米，CE＝5米，∠1＝48°．
参考数据
Sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11．
请你根据以上测量报告中的数据，求樟树AB的高度．（结果精确到0.1米）

一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
23．（2023•曹县一模）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，BD＝150米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东45°方向，求步道AE的长．

一十七．方差（共1小题）
24．（2023•定陶区一模）某创业公司的月工资情况见下表：
某公司全体职工月工资

总经理
副总经理
项目经理
核心骨干
核心成员
科研骨干
普通员工
普通技工
卫生保洁
月工资：元
48000
45000
40000
30000
20000
12000
8000
5000
3000
人数
1
2
3
3
6
10
15
6
4
（1）求该公司全体职工月工资的平均数、中位数、众数；
（2）平均数、中位数、众数哪一个更能反映该公司的工资水平？
（3）由于公司效益较好，工资普涨2000元，请直接指出在初中学过的统计量
“平均数、中位数、众数、方差”中，哪个量的大小没发生变化？

山东省菏泽市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023•郓城县一模）计算：（）﹣2﹣（π﹣3.14）0+|1﹣|﹣2sin45°．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（）﹣2﹣（π﹣3.14）0+|1﹣|﹣2sin45°
＝4﹣1+﹣1﹣2×
＝2+﹣
＝2．
二．二元一次方程组的应用（共1小题）
2．（2023•曹县一模）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件共需70元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品每件20元出售，乙商品每件50元出售，为了满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的4倍，请求出获得利润最大的进货方案．
【答案】（1）甲、乙两种商品每件的进价分别是10元、30元；
（2）当购进甲商品48件，乙商品12件时可获得最大利润720元．
【解答】解：（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，
，
得，
答：甲、乙两种商品每件的进价分别是10元、30元；
（2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品（60﹣m）件，设卖完甲、乙两种商品商场的利润为w元，
则w＝（20﹣10）m+（50﹣30）（60﹣m）＝﹣10m+1200，
∵m≥4（60﹣m），
解得，m≥48，
∴当m＝48时，w取得最大值，最大利润为：﹣10×48+1200＝720元，60﹣m＝12，
答：当购进甲商品48件，乙商品12件时可获得最大利润720元．
三．根与系数的关系（共1小题）
3．（2023•单县一模）先化简再求值：，其中a，b是一元二次方程的两个根．
【答案】1﹣．
【解答】解：∵a，b是一元二次方程的两个根．
∴，ab＝﹣2，
∵
＝
＝（+）•
＝•
＝，
∴原式＝．
四．分式方程的应用（共1小题）
4．（2023•南阳一模）2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图．某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．
（1）若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
（2）在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？

【答案】（1）甲规格吉祥物每套70元，乙规格吉祥物每套90元；
（2）乙规格购买10套，甲规格购买20套，总费用最少．
【解答】解：（1）设甲规格吉祥物每套x元，
根据题意，得，
解得x＝70，
经检验，x＝70是原方程的根，且符合题意，
70+20＝90（元），
答：甲规格吉祥物每套70元，乙规格吉祥物每套90元；
（2）设乙规格吉祥物购买m套，总费用为w元，
根据题意，得30﹣m≤2m，
解得m≥10，m为正整数，
w＝90m+70（30﹣m）＝20m+2100，
∵20＞0，
∴w随着m的增大而增大，
当m＝10时，w取得最小值，
此时乙规格购买10套，甲规格购买20套，
答：乙规格购买10套，甲规格购买20套，总费用最少．
五．一次函数的应用（共1小题）
5．（2023•丰顺县一模）某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示：

甲
乙
进价（元/千克）
x
x+4
售价（元/千克）
20
25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）若该超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，若全部卖完所购进的这两种水果，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得，，
解得x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解，
答：甲的进价是16元/千克，乙的进价是20元/千克；
（2）假设购买甲a千克，则购买乙（100﹣a）千克，总利润是W元．
W＝4a+5（100﹣a）＝﹣a+500，
∵a≥3（100﹣a），
∴a≥75，
∵﹣1＜0，
∴a越小，W越大，
即a＝75时，W最大，为425元．
答：当超市进甲75千克，进乙25千克时，利润最大是425元．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
6．（2023•曹县一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A，B，且点A的横坐标为1，过点B作BE∥x轴，交y轴于点F，过点A作AD⊥BE 于点D，点C（）在直线BE上，AC＝CD．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集．

【答案】（1）一次函数的关系式为y1＝x+，反比例函数的关系式为y2＝；
（2）﹣4＜x＜0或x＞1．
【解答】解：（1）∵点C（，﹣），BE∥x轴，点A的横坐标为1，
∴FC＝，DF＝1，
∴CD＝﹣1＝，
∵AC＝CD，
∴∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝，
∴点A的纵坐标为﹣＝2，
∴点A（1，2），
∵点A（1，2）在反比例函数y2＝的图象上，
∴m＝1×2＝2，
∴反比例函数的关系式为y2＝，
∵点B的纵坐标与点C纵坐标相同，
∴点B的纵坐标是﹣，
当y＝﹣时，x＝﹣4，
∴点B（﹣4，﹣），
∵点A（1，2），点B（﹣4，﹣）在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的关系式为y1＝x+，
答：一次函数的关系式为y1＝x+，反比例函数的关系式为y2＝；
（2）不等式的解集就是不等式kx+b＜的解集，由两个函数的图象可得，
y1＜y2，即kx+b＜的解集为﹣4＜x＜0或x＞1．
7．（2023•单县一模）如图，点A（1，6）和B（n，2）是一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）设点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标．

【答案】（1）一次函数为y1＝﹣2x+8，反比例函数为；
（2）P（0，5）．
【解答】解：（1）∵反比例函数图象经过点A（1，6），
∴m＝1×6＝6，
∴反比例函数为，
将B（n，2）代入，得2＝，
∴n＝3，
∴B（3，2），
将A（1，6）和B（3，2）代入y1＝kx+b，得，
解得，
∴一次函数为y1＝﹣2x+8；
（2）作B点关于y轴的对称点B'，连接AB'交y轴于点P，连接PB，
∴PB＝PB'，
∴PB+PA+AB＝PB'+AP+AB＝AB'+AB，
此时，△PAB的周长最小，
∵B（3，2），
∴B'（﹣3，2），
设直线AB'的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴直线AB'的解析式为y＝x+5，
∴P（0，5）．

七．二次函数综合题（共5小题）
8．（2023•牡丹区一模）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；
（2）（2，4）；
（3）存在，或或，理由见解答过程．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），
把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线y＝ax2+x+c，
得：，
解之，得，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，过点E作EG∥y轴，交直线BC于点G．

设点E的坐标为，则点G的坐标为（m，﹣m+4），
∴，
∴，
∴当m＝2时，点E到BC的距离就最大．此时点E的坐标为（2，4）．
（3）存在．由抛物线可得对称轴是直线x＝1．
∵Q是抛物线对称轴上的动点，∴点Q的横坐标为1．
①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，
∴点Q到点P的水平距离也是4．
∴点P的横坐标是5或﹣3，∴点P的坐标为或；


②当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，
∴点B到点P的水平距离也是3，∴点P的坐标为．

综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是或或．
9．（2023•定陶区一模）已知抛物线C1：y＝ax2+b与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）把抛物线C1沿射线CA方向平移得到抛物线C2，此时点A、C分别平移到点D、E处，且都在直线AC上，设点F在抛物线 C1上，如果△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，设点M为线段BC上的一点，EN⊥EM，交直线BF于点N，求tan∠ENM的值．

【答案】（1）y＝﹣x2+2；
（2）F（﹣4，﹣6）；
（3）tan∠ENM＝2．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2+b经过点A（﹣2，0）和C（0，2），
∴，解得，
∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+2；
（2）如图1，

∵A（﹣2，0），C（0，2），
∴AC＝＝2，
设直线AC的解析式为y＝kx+c，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，
∴∠DEF＝45°，
由平移得DE＝AC＝2，
∴EF＝DE＝4，
设F（m，﹣m2+2），则E（m，m+2），
∴（m+2）﹣（﹣m2+2）＝4，
解得m＝2（舍）或m＝﹣4，
∴F（﹣4，﹣6）；
（3）如图2，

∵抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+2，令y＝0，则0＝﹣x2+2，
解得x＝2或﹣2，
∴B（2，0），
∵点A（﹣2，0）和C（0，2），
∴∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，
∴BC⊥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF∥BC，
∵DF＝DE＝BC＝AC，
∴四边形DFBC是矩形，
作EG⊥AC，交BF于G，
∴EG＝BC＝AC＝2，
∵EN⊥EM，
∴∠MEN＝90°，
∵∠CEG＝90°，
∴∠CEM＝∠NEG，
∴△ENG∽△EMC，
∴，
∵F（﹣4，﹣6），EF＝4，
∴E（﹣4，﹣2），
∵C（0，2），
∴EC＝＝4，
∴＝＝2，
∴tan∠ENM＝＝2．
10．（2023•鄄城县一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数及直线BC的表达式．
（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求PD的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠NMO为直角，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


【答案】（1）二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的表达式为y＝﹣x+3；
（2）PD的最大值为；
（3）点N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，3），
∴，
解得，
设直线BC的表达式为y＝kx+3，则3k+3＝0，
解得k＝﹣1，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
（2）如图1，设P（x，﹣x2+2x+3），
∵PD∥y轴交直线BC于点D，，
∴D（x，﹣x+3），
∴PD＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，
∵PD＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，PD最大＝，
∴PD的最大值为．
（3）存在，设N（m，﹣m2+2m+3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴是直线x＝1，
设直线x＝1交x轴于点G，则G（1，0），MG⊥x轴，
作NF⊥MG于点F，则∠MFN＝∠OGM＝90°，F（1，﹣m2+2m+3），
如图2，点M在x轴上方，且点N在直线OM左侧，
∵∠NMO＝90°，MN＝OM，
∴∠FMN＝∠GOM＝90°﹣∠OMG，
∴△FMN≌△GOM（AAS），
∴MF＝OG＝1，FN＝GM＝1﹣m，
∴﹣m2+2m+3﹣（1﹣m）＝1，
解得m1＝，m2＝（不符合题意，舍去），
∴GF＝GM+MF＝1﹣+1＝，
∴N（，）；
如图3，点M在x轴上方，且点N在直线OM右侧，
同理可得△FMN≌△GOM（AAS），
∴MF＝OG＝1，FN＝GM＝m﹣1，
∴m﹣1﹣（﹣m2+2m+3）＝1，
解得m1＝，m2＝（不符合题意，舍去），
∴GF＝GM﹣MF＝﹣1﹣1＝，
∴N（，）；
如图4，点M在x轴下方，且点N在直线OM右侧，
同理可得△FMN≌△GOM（AAS），
∴MF＝OG＝1，FN＝GM＝m﹣1，
∴M（1，1﹣m），
∴﹣m2+2m+3﹣（1﹣m）＝1，
解得m1＝，m2＝（不符合题意，舍去），
∴GF＝GM﹣MF＝﹣1﹣1＝，
∴yN＝yF＝﹣＝，
∴N（，）；
如图5，点M在x轴下方，且点N在直线OM左侧，
同理可得△FMN≌△GOM（AAS），
∴MF＝OG＝1，FN＝GM＝1﹣m，
∴M（1，m﹣1），
∴m﹣1﹣（﹣m2+2m+3）＝1，
解得m1＝，m2＝（不符合题意，舍去），
∴GF＝GM+MF＝1﹣+1＝，
∴yN＝yF＝﹣＝，
∴N（，），
综上所述，点N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．



11．（2023•单县一模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过A（﹣2，0），B（4，0）两点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入解析式，得：
，
解得：，
所以抛物线解析式是y＝﹣x2+x+3；

（2）如图1，作线段CA的垂直平分线，交y轴于点M1，交AC于点N，连接AM1，

则△AM1C是等腰三角形，
∵AC＝＝，
∴CN＝，
∵△CNM1∽△COA，
∴＝，即＝，
∴CM1＝，
∴OM1＝OC﹣CM1＝3﹣＝，
∴M1的坐标为（0，）；
当CA＝CM2＝，则△AM2C是等腰三角形，
则OM2＝3+，
所以点M2的坐标是（0，3+）；
当CA＝AM3＝时，则△AM3C是等腰三角形，
则OM3＝3，
所以点M3的坐标为（0，﹣3）；
当CA＝CM4＝时，则△AM4C是等腰三角形，
则OM4＝﹣3，
所以点M4的坐标为（0，3﹣）；
综上，点M的坐标为（0，）或（0，3+）或（0，﹣3）或（0，3﹣）；

（3）如图2，当点P在y轴或y轴右侧时，设直线与BC交于点D，

∵OB＝4，OC＝3，
∴S△BOC＝6，
∵BP＝BO﹣OP＝4﹣t，
∴＝，
∵△BPD∽△BOC，
∴＝（）2，
∴＝（）2，
∴S＝S△BPD＝t2﹣3t+6（0≤t＜4）；
如图3，当点P在y轴的左侧时，

设直线与AC交于点E，
∵OP＝﹣t，AP＝t+2，
∴＝，
∵＝（）2，
∴＝（）2，
∴S△APE＝，
∴S＝S△ABC﹣S△APE＝9﹣＝﹣t2﹣3t+6（﹣2＜t＜0）．
12．（2023•郓城县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣5与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝ax2+4ax+c经过点A、点B．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标；
（2）若在第三象限的抛物线上有一动点M，当点M到直线AB的距离最大时，求点M的坐标；
（3）点C，D分别为线段AO，线段AB上的点，且BD＝AC，连接CD．将线段CD绕点D顺时针旋转90度，点C旋转后的对应点为点E，连接OE．当线段OE的长最小时，请直接写出直线DE的函数表达式．


【答案】（1）y＝x2+4x﹣5，顶点为（﹣2，﹣9）；
（2）M（﹣，﹣）；
（3）y＝x﹣．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x﹣5与x轴交于点A（﹣5，0），与y轴交于点B（0，﹣5），
将A、B代入y＝ax2+4ax+c，
∴，
解得
∴y＝x2+4x﹣5，
∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴顶点为（﹣2，﹣9）；
（2）过点M作MN∥y轴交AB于点N，
设过M点的直线解析式为y＝﹣x+b，
设M（m，m2+4m﹣5），
∴y＝﹣x+m2+5m﹣5，
联立方程组，
整理得，x2+5x﹣5m﹣m2＝0，
Δ＝25﹣4（﹣5m﹣m2）＝0，
解得m＝﹣，
此时M（﹣，﹣）；
（3）设AC＝t，
∵A（﹣5，0），
∴C（t﹣5，0），
∵BD＝AC，
∴BD＝t，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝45°，
∴DK＝BK＝t，
∴D（﹣t，t﹣5），
过点C作CG∥y轴，过点E作EH∥y轴，过点D作x轴的平行线交CG于点G，交HE于点H，
∵∠CDE＝90°，
∴∠CDG+∠EDH＝90°，
∵∠CDG+∠DCG＝90°，
∴∠EDH＝∠DCG，
∵CD＝DE，
∴△CDG≌△DEH（AAS），
∴CG＝DH，GD＝EH，
∴E（5﹣2t，﹣t），
∴OE＝，
∴当t＝2时，OE有最小值，
此时E（1，﹣2），D（﹣2，﹣3），
设直线DE的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣．

八．菱形的判定与性质（共1小题）
13．（2023•牡丹区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥DC，CE∥DA．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）连接DE，若，△ADE是等边三角形，求BC的长．

【答案】（1）见解析；
（2）2．
【解答】（1）证明：∵AE∥DC，CE∥DA，
∴四边形ADCE是平行四边形．
在Rt△ABC中，D为AB的中点，
∴．
∴四边形ADCE是菱形．
（2）解：∵△ADE是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，
∵四边形ADCE是菱形，
∴∠CAB＝30°；
∵，
∴；
九．正方形的性质（共1小题）
14．（2023•鄄城县一模）如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点G，点E、F分别在边BC、CD上，求证：BE＝CF．

【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵正方形ABCD中，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴∠GBE+∠CFB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BGE＝90°，
∴∠GBE+∠GEB＝90°，
∴∠GEB＝∠CFB，
∴△ABE≌△BCF（AAS）．
∴BE＝CF．
一十．四边形综合题（共2小题）
15．（2023•牡丹区一模）点P是正方形ABCD所在平面内一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得线段CQ，连接BP，DQ．

（1）如图①，当P在CD边上时，直接写出BP与DQ之间的关系是 　BP＝DQ，BP⊥DQ　；
（2）如图②，当P在正方形内部时，BP与DQ之间有怎样的关系？请说明理由；
（3）射线BP交DQ于E，若四边形PCQE是正方形，BC＝2，CP＝1，直接写出BE＝　+1或﹣1　．

【答案】（1）BP＝DQ，BP⊥DQ；
（2）BP＝DQ，BP⊥DQ，理由见解答；
（3）+1或﹣1．
【解答】解：（1）如图①，延长BP交DQ于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°，
由旋转得CP＝CQ，∠PCQ＝90°，
∵点P在CD边上，
∴∠DCQ＝∠PCQ＝90°，
∴∠BCD+∠DCQ＝180°，
∴B、C、Q三点在同一条直线上，
在△BCP和△DCQ中，
，
∴△BCP≌△DCQ（SAS），
∴BP＝DQ，∠CBP＝∠CDQ，
∴∠CBP+∠Q＝∠CDQ+∠Q＝90°，
∴∠BEQ＝90°，
∴BP⊥DQ，
故答案为：BP＝DQ，BP⊥DQ．
（2）BP＝DQ，BP⊥DQ，
理由：如图②，点P在正方形ABCD内部，延长BP分别交DQ、DC于点E、点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°，
由旋转得CP＝CQ，∠PCQ＝90°，
∴∠BCP＝∠DCQ＝90°﹣∠PCD，
在△BCP和△DCQ中，
，
∴△BCP≌△DCQ（SAS），
∴BP＝DQ，∠CBP＝∠CDQ，
∵∠BFC＝∠DFE，
∴∠CDQ+∠DFE＝∠CBP+∠BFC＝90°，
∴∠DFE＝90°，
∴BP⊥DQ.
（3）如图③，四边形PCQE是正方形，且点P在正方形ABCD内部，
∵BC＝2，EP＝CP＝1，∠CPE＝90°，
∴∠BPC＝180°﹣∠CPE＝90°，
∴BP＝＝＝，
∴BE＝BP+EP＝+1；
如图④，四边形PCQE是正方形，且点P在正方形ABCD外部，
∵BC＝2，EP＝CP＝1，∠P＝90°，
∴BP＝＝＝，
∴BE＝BP﹣EP＝﹣1，
综上所述，BE＝+1或BE＝﹣1，
故答案为：+1或﹣1．




16．（2023•郓城县一模）实践与探究
操作一：如图①，将矩形纸片ABCD对折并展开，折痕PQ与对角线AC交于点E，连结BE，则BE与AC的数量关系为 　BE＝AC　．
操作二：如图②，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连结AF，M为AF的中点，连结DM、ME．求证：DM＝ME．
拓展延伸：如图③，摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，连结AF，M为AF的中点，连结DM、ME、DE．已知正方形纸片ABCD的边长为5，正方形纸片ECGF的边长为2，则△DME的面积为 　　．

【答案】操作一：BE＝AC；
操作二：见解析；
拓展延伸：．
【解答】操作一：解：由折叠可知，AE＝BE，
∵P是CD的中点，PE∥AD，
∴E是AC的中点，
∴AE＝EC，
∴BE＝EC＝AE，
∴BE＝AC，
故答案为：BE＝AC；
操作二：证明：延长EM与AD交于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90°，
∵四边形ECGF是正方形，
∴∠FEC＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠ADE＝∠DEF，
∴AD∥EF，
∴∠DAM＝∠MFE，∠ANM＝∠FEN，
∵M是AF的中点，
∴AM＝MF，
∴△AMN≌△FME（AAS），
∴MN＝ME，
∵∠NDE＝90°，
∴DM＝NE＝MN＝ME，
∴DM＝ME；
拓展延伸：解：连接AC，
∴∠DCA＝45°，
∵∠ECF＝45°，
∴E点在AC上，
∴∠FEA＝90°，
在Rt△ADF中，M是AF的中点，
∴AM＝MF＝DM，
∴∠DAM＝∠ADM，
∴∠DMF＝2∠DAM，
在Rt△AEF中，M是AF的中点，
∴AM＝FM＝ME，
∴DM＝ME，
∴∠MAE＝∠MEA，
∴∠FME＝2∠MAE，
∴∠DME＝2∠DAM+2∠MAE＝90°，
∴△DME是等腰直角三角形，
∵AD＝5，
∴AC＝5，
∵EC＝2，
∴AE＝3，
在Rt△AEF中，AF＝＝，
∴ME＝，
∴△DME的面积为，
故答案为：．


一十一．切线的性质（共1小题）
17．（2023•鄄城县一模）如图，在⊙O中，弦CD与直径AB交于点F，弦DC的延长线与过点A的⊙O的切线交于点E，连接AD，AC，BC，且AC＝CF．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若AC＝，tanB＝，求AE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【解答】（1）证明：∵AC＝CF，
∴∠AFC＝∠CAF，
∵AE切圆于A，
∴直径AB⊥AE，
∴∠FAE＝90°，
∴∠EAC+∠FAC＝∠E+∠AFE＝90°，
∴∠E＝∠EAC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠CAE，
∴∠B＝∠E，
∵∠D＝∠B，
∴∠D＝∠E，
∴AD＝AE；
（2）解：作CH⊥AF于H，
∵tanB＝＝，AC＝，
∴BC＝2，
∴AB＝＝5，
∵AB•CH＝AC•BC，
∴5CH＝×2，
∴CH＝2，
∵AC＝FC，CH⊥AB，
∴AH＝HF，
∵∠E＝∠EAC，
∴CA＝CE，
∴CE＝FC，
∴CH是△FAE的中位线，
∴CH＝AE，
∴AE＝2×2＝4．

一十二．圆的综合题（共1小题）
18．（2023•郓城县一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE⊥AB；
（2）求证：DF2＝FH•FC；
（3）若DH＝9，tanC＝，求半径OA的长．

【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）10．
【解答】解：（1）∵D是的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠AFE＝90°，
∴∠E+∠EAF＝90°，
∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，
∴∠CAE＝∠AOE，
∴∠E+∠AOE＝90°，
∴∠EAO＝90°，
∴AE⊥AB；
（2）∵OD＝OB，
∴∠B＝∠FDH，
∵∠C＝∠B，
∴∠C＝∠FDH，
∵∠DFH＝∠CFD，
∴△DFH∽△CFD，
∴＝，
∴DF2＝FH•CF；
（3）连接AD，在Rt△ADH中，
∵∠DAC＝∠C，
∴tan∠DAC＝tanC＝，
∵DH＝9，
∴AD＝12，
在Rt△BDA中，∵tanB＝tanC＝，
∴sinB＝，
∴AB＝20，
∴OA＝AB＝10．

一十三．相似三角形的判定与性质（共2小题）
19．（2023•曹县一模）（1）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：BD＝CE．
（2）如图2，△ABC和左△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED，，连接BD，CE，求的值．

【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵，
设BC＝4x，则AB＝3x，
∵△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，
∴，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∴，∠DAE＝∠BAC，
∴，∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC，
∴，
即的值为．
20．（2023•定陶区一模）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，△ABD沿直线BD翻折，点A恰好落在腰CD上的点E处．
（1）如图，当点E是腰CD的中点时，求证：△BCD是等边三角形；
（2）延长BE交线段AD的延长线于点F，联结CF，如果CE2＝DE•DC，求证：四边形ABCF是矩形．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【解答】证明：（1）由折叠得：∠ADB＝∠BDE，∠A＝∠DEB＝90°，
∵点E是腰CD的中点，
∴BE是DC的垂直平分线，
∴DB＝BC，
∴∠BDE＝∠C，
∴∠BDE＝∠C＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠C＝180°，
∴∠BDE+∠C+∠ADB＝180°，
∴∠BDE＝∠C＝∠ADB＝60°，
∴△BCD是等边三角形；
（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，

∴∠DHB＝∠DHC＝90°，
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD＝BH，AB＝DH，
由折叠得：∠A＝∠DEB＝90°，AB＝BE，
∴∠BEC＝180°﹣∠DEB＝90°，DH＝BE，
∵∠BEC＝∠DHC＝90°，∠BCE＝∠DCH，
∴△BCE≌△DCH（AAS），
∴DC＝BC，CE＝CH，
∵AD∥BC，
∴∠DFE＝∠EBC，∠FDE＝∠ECB，
∴△FDE∽△BCE，
∴＝，
∵CE2＝DE•DC，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝CE，
∴CH＝DF，
∴AD+DF＝BH+CH，
∴AF＝BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABCF是矩形．
一十四．相似形综合题（共1小题）
21．（2023•定陶区一模）已知，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC于H，P是AB上一动点，AD⊥CP，BE⊥CP，HD与BE两延长线交于点F．
（1）当AB＝AC时，求∠BFH的度数；
（2）当∠ABC＝30°时，探求BF与CD的数量关系，说明理由；
（3）当∠ABC＝α时，直接用α的代数式表示的值．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∵AH⊥BC，AD⊥CP，
∴∠ADC＝∠AHC＝90°，△ACH是等腰直角三角形，
∴A、C、H、D四点共圆，∠CAH＝45°，
∴∠CDH＝∠CAH＝∠EDF＝45°，
∵BE⊥CP，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠BFH＝45°；
（2）BF＝CD，理由如下：
过点B作BG∥CD交FH的延长线于G，如图1所示：
则∠G＝∠GDC，
∵∠BAC＝∠AHC＝90°，
∴∠CAH+∠ACB＝∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠CAH＝∠ABC＝30°，
同（1）得：A、C、H、D四点共圆，
∴∠CDH＝∠CAH＝∠EDF＝30°，
∴∠G＝∠GDC＝∠EDF＝∠CAH＝∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC＝4CH，
∴BH＝3CH，
∴，
∵BG∥DE，
∴△CDH∽△BGH，
∴，
∴BG＝3CD，
∵∠DEF＝90°，BG∥CP，
∴∠GBF＝90°，
∴BG＝BF，
即3CD＝BF，
∴；
（3）过点B作BG∥CD交FH的延长线于G，如图1所示：
同（2）得：∠G＝∠GDC＝∠EDF＝∠CAH＝∠ABC＝α，△CDH∽△BGH，△ACH∽△BAH，
∴tanα＝＝，＝，＝，
∴BH＝，
∴＝＝＝，
∴CD＝×BG＝，
∵＝＝＝tanα．

一十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
22．（2023•牡丹区一模）小明和他的学习小组开展“测量樟树的高度”的实践活动，他们按拟定的测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：
课题
测量樟树的高度
测量工具
测角仪和皮尺
测量示意图及说明

说明：BC为水平地面，樟树AB垂直于地面，斜坡CD的坡度i＝3：4，在斜坡CD上的点E处测樟树顶端A的仰角∠1的度数．
测量数据
BC＝8米，CE＝5米，∠1＝48°．
参考数据
Sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11．
请你根据以上测量报告中的数据，求樟树AB的高度．（结果精确到0.1米）

【答案】樟树AB的高度约为16.3米．
【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，
则四边形EFBG是矩形，
∴EF＝GB，EG＝FB，
在Rt△EGC中，斜坡CD的坡度i＝＝，CE＝5米，
设EG＝3x米，则CG＝4x米，
∴CE＝＝＝5x（米），
∴5x＝5，
∴x＝1，
∴EG＝3米，CG＝4米，
∴BG＝BC+CG＝8+4＝12（米），BF＝EG＝3米，
∴EF＝BG＝12米，
在Rt△AEF中，tan∠1＝，
∴AF＝EF•tan∠1＝EF•tan48°≈12×1.11＝13.32（米），
∴AB＝AF+BF≈13.32+3≈16.3（米），
答：樟树AB的高度约为16.3米．

一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
23．（2023•曹县一模）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，BD＝150米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东45°方向，求步道AE的长．

【答案】米．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AE交AE于点F，
则DF＝AC＝200米，AF＝CD，

根据题意得：∠DEF＝45°，∠ABC＝∠EAB＝30°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴米，EF＝DF＝200米，
∵AC＝200米，
∴米，
∴米，
∴米，
答：步道AE的长米．
一十七．方差（共1小题）
24．（2023•定陶区一模）某创业公司的月工资情况见下表：
某公司全体职工月工资

总经理
副总经理
项目经理
核心骨干
核心成员
科研骨干
普通员工
普通技工
卫生保洁
月工资：元
48000
45000
40000
30000
20000
12000
8000
5000
3000
人数
1
2
3
3
6
10
15
6
4
（1）求该公司全体职工月工资的平均数、中位数、众数；
（2）平均数、中位数、众数哪一个更能反映该公司的工资水平？
（3）由于公司效益较好，工资普涨2000元，请直接指出在初中学过的统计量
“平均数、中位数、众数、方差”中，哪个量的大小没发生变化？
【答案】（1）15000元；中位数为10000，众数为8000；
（2）众数代表该公司员工的月工资水平更为合适．因为8000出现的次数最多，能代表大部分人的工资水平；
（3）方差没发生变化．
【解答】解：（1）这家公司的员工月平均工资为：（48000×1+45000×2+40000×3+30000×3+20000×6+12000×10+8000×15+5000×6+3000×4）÷（1+2++3+3++6+10+15+6+4）＝15000（元）；中位数为＝10000，众数为8000；
（2）众数代表该公司员工的月工资水平更为合适．因为8000出现的次数最多，能代表大部分人的工资水平；
（3）工资普涨2000元后，平均数、中位数、众数都发生变化，方差没发生变化．