山东省青岛市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份山东省青岛市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共41页。试卷主要包含了之间的函数关系如图中抛物线所示，【图形定义】，问题提出，，解答下列问题等内容，欢迎下载使用。

山东省青岛市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．抛物线与x轴的交点（共1小题）
1．（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
二．二次函数的应用（共1小题）
2．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

三．二次函数综合题（共1小题）
3．（2023•青岛）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2＝S1，求m的值．

四．三角形综合题（共3小题）
4．（2022•青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．

【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝　 　；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝　 　，S△CDE＝　 　；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝　 　．

5．（2022•青岛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当EQ⊥AD时，求t的值；
（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

6．（2021•青岛）问题提出：
最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）
问题探究：
为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1．按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为（1，1，1），有1个，所以总共有1×1＝1个整数边三角形．
表①
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
1
1
（1，1，1）
1
1个1
1×1
（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2．根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为（2，1，2），有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为（2，2，2），有1个，所以总共有1+1＝1×2＝2个整数边三角形．
表②
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
2
1
（2，1，2）
1
2个1
1×2
2
（2，2，2）
1
（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：
表③
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长
整数边三角形个数
计算方法
算式
3
1
（3，1，3）
1
2个2
2×2
2
（3，2，2），（3，2，3）
2
3
（3，3，3）
1
（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：
表④
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
4
1
（4，1，4）
1
3个2
2×3
2
（4，2，3），（4，2，4）
2
3
（4，3，3），（4，3，4）
2
4
（4，4，4）
1
（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：
表⑤
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，三边长
整数边三角形个数
计算方法
算式
5
1
（5，1，5）
1
　 　
　 　
2
（5，2，4）（5，2，5）
2
3
　 　
　 　
4
（5，4，4）（5，4，5）
2
5
（5，5，5）
1
问题解决：
（1）最长边长为6的整数边三角形有 　 　个．
（2）在整数边三角形中，设最长边长为n，总结上述探究过程，当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为n的整数边三角形的个数．
（3）最长边长为128的整数边三角形有 　 　个．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有 　 　个．
五．平行四边形的性质（共2小题）
7．（2023•青岛）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠DCB的平分线交AD于点F，点G，H分别是AE和CF的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接EF．若EF＝AF，请判断四边形GEHF的形状，并证明你的结论．

8．（2021•青岛）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．

六．四边形综合题（共3小题）
9．（2022•青岛）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）连接AE，CF，已知 　 　（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD＝30°；
条件②：AB＝BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）

10．（2023•青岛）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝10cm，BD＝4cm．动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s．以AP，AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC交于点E．设运动时间为t（s）（0＜t≤5），解答下列问题：
（1）当点M在BD上时，求t的值；
（2）连接BE．设△PEB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式和S的最大值；
（3）是否存在某一时刻t，使点B在∠PEC的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

11．（2021•青岛）已知：如图，在矩形ABCD和等腰Rt△ADE中，AB＝8cm，AD＝AE＝6cm，∠DAE＝90°．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM∥BE，交AD于点H，交DE于点M，过点Q作QN∥BC，交CD于点N．分别连接PQ，PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当PQ⊥BD时，求t的值；
（2）设五边形PMDNQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）当PQ＝PM时，求t的值；
（4）若PM与AD相交于点W，分别连接QW和EW．在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠AWE＝∠QWD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
12．（2023•青岛）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，DE＝1.5m，EC＝5m．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽AB的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.41）

13．（2021•青岛）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°．试求大楼BC的高度．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）

八．频数（率）分布直方图（共2小题）
14．（2023•青岛）今年4月15日是我国第八个“全民国家安全教育日”．为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组：A组（60≤x＜70），B组（70≤x＜80），C组（80≤x＜90），D组（90≤x≤100），绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为 　 　°；
（3）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如A组：60≤x＜70的中间值为65）来代替，试估计小明班级的平均成绩；
（4）小明根据本班成绩，估计全市参加竞赛的所有8000名学生中会有800名学生成绩低于70分，实际只有446名学生的成绩低于70分．请你分析小明估计不准确的原因．
15．（2022•青岛）孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好的老师．阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐…各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：
学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表
组别
时长t（单位：h）
人数累计
人数
第一组
1≤t＜2
正正正正正正
30
第二组
2≤t＜3
正正正正正正正正正正正正
60
第三组
3≤t＜4
正正正正正正正正正正正正正正
70
第四组
4≤t＜5
正正正正正正正正
40
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第 　 　组；
（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为 　 　，对应的扇形圆心角的度数为 　 　°；
（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2h，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？

九．游戏公平性（共1小题）
16．（2021•青岛）为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．


山东省青岛市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．抛物线与x轴的交点（共1小题）
1．（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【答案】（1）m＝1．
（2）二次函数图象与x轴有2个交点．理由见解答．
【解答】解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
二．二次函数的应用（共1小题）
2．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？

【答案】（1）y1与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；（2）y2与x的函数关系式为y2＝﹣5x2+40x；（3）高度差的最大值为70米．
【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得：，
∴y1与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；
（2）∵x＝6时，y1＝5×6+30＝60，
∵y2的图象是过原点的抛物线，
设y2＝ax2+bx，
∴点（1.35），（6.60）在抛物线y2＝ax2+bx上，
∴，
解得：，
∴y2＝﹣5x2+40x，
答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣5x2+40x；
（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，
由﹣5x2+40x＝0得，x＝0或x＝8，
①1＜x≤6时，
y＝y2﹣y1＝﹣5x2+40x﹣5x﹣30＝﹣5x2+35x﹣30＝﹣5（x﹣）2+
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，
又∵1＜x≤6，
∴当x＝时，y的最大值为；
②6＜x≤8时，y＝y1﹣y2＝5x+30+5x2﹣40x＝5x2﹣35x+30＝5（x﹣）2﹣，
∵a＝5＞0，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴是直线x＝，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
∵6＜x≤8，
∴当x＝8时，y的最大值为70，
∵＜70，
∴高度差的最大值为70米．
三．二次函数综合题（共1小题）
3．（2023•青岛）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2＝S1，求m的值．

【答案】（1）y＝﹣0.1x2+1；
（2）10；
（3）m＝2．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝ax2+c，
由题意得，点A的坐标为：（2，0.6）、点C（0，1），
则，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣0.1x2+1①；

（2）由点A的坐标得，直线OA的表达式为：y＝0.3x②，
联立①②得：0.3x＝﹣0.1x2+1，
解得：x＝2（舍去）或﹣5，
即点F（﹣5，﹣1.5），
则EF＝5×2＝10；

（3）平移后的抛物线表达式为：y＝﹣0.1（x﹣m）2+1，
令x＝0，则y＝﹣0.1m2+1，此时抛物线与y轴的交点为D（0，﹣0.1m2+1），
∵平移前后抛物线和x轴交点间的距离不变，若S2＝S1，
则OD＝OC，
即﹣0.1m2+1＝×1，
解得：m＝±2（舍去负值），
即m＝2．
四．三角形综合题（共3小题）
4．（2022•青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．

【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝　3：4　；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝　　，S△CDE＝　　；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝　　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，
∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4，
故答案为：3：4；

（2）∵BE：AB＝1：2，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2，
∵S△ABC＝1，
∴S△BEC＝；
∵CD：BC＝1：3，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3，
∴S△CDE＝S△BEC＝×＝；
故答案为：，；

（3）∵BE：AB＝1：m，
∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m，
∵S△ABC＝a，
∴S△BEC＝S△ABC＝；
∵CD：BC＝1：n，
∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n，
∴S△CDE＝S△BEC＝•＝，
故答案为：．
5．（2022•青岛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当EQ⊥AD时，求t的值；
（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图：

在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，
∴AD＝AB＝5，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，∠AED＝∠ACB＝90°，
∵EQ⊥AD，
∴∠AQE＝∠AED＝90°，
∵∠EAQ＝∠DAE，
∴△AQE∽△AED，
∴＝，即＝，
∴AQ＝，
∴t＝＝；
答：t的值为；
（2）过P作PN⊥BC于N，过C作CM⊥AD于M，如图：

∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，
∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠CAM＝90°，
∵∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠CAM，
∵∠ACB＝90°＝∠AMC，
∴△ABC∽△CAM，
∴＝，即＝，
∴CM＝，
∴S△ACD＝AD•CM＝×5×＝8，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+8＝14，
∵∠PBN＝∠ABC，∠PNB＝90°＝∠ACB，
∴△PBN∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴PN＝t，
∴S△BCP＝BC•PN＝×3×t＝t，
∴S＝S四边形ABCD﹣S△BCP﹣S△APQ
＝14﹣t﹣（5﹣t）•t
＝t2﹣t+14；
答：S与t之间的函数关系式是S＝t2﹣t+14；
（3）存在某一时刻t，使PQ∥CD，理由如下：
过C作CM⊥AD于M，如图：

由（2）知CM＝，
∴AM＝＝＝，
∴DM＝AD﹣AM＝5﹣＝，
∵PQ∥CD，
∴∠AQP＝∠MDC，
∵∠PAQ＝∠CMD＝90°，
∴△APQ∽△MCD，
∴＝，即＝，
解得t＝，
答：存在时刻t＝，使PQ∥CD．
6．（2021•青岛）问题提出：
最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）
问题探究：
为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1．按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为（1，1，1），有1个，所以总共有1×1＝1个整数边三角形．
表①
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
1
1
（1，1，1）
1
1个1
1×1
（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2．根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为（2，1，2），有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为（2，2，2），有1个，所以总共有1+1＝1×2＝2个整数边三角形．
表②
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
2
1
（2，1，2）
1
2个1
1×2
2
（2，2，2）
1
（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：
表③
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长
整数边三角形个数
计算方法
算式
3
1
（3，1，3）
1
2个2
2×2
2
（3，2，2），（3，2，3）
2
3
（3，3，3）
1
（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：
表④
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
4
1
（4，1，4）
1
3个2
2×3
2
（4，2，3），（4，2，4）
2
3
（4，3，3），（4，3，4）
2
4
（4，4，4）
1
（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：
表⑤
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，三边长
整数边三角形个数
计算方法
算式
5
1
（5，1，5）
1
　3个3　
　3×3　
2
（5，2，4）（5，2，5）
2
3
　（5，3，3）（5，3，4）（5，3，5）　
　3　
4
（5，4，4）（5，4，5）
2
5
（5，5，5）
1
问题解决：
（1）最长边长为6的整数边三角形有 　12　个．
（2）在整数边三角形中，设最长边长为n，总结上述探究过程，当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为n的整数边三角形的个数．
（3）最长边长为128的整数边三角形有 　4160　个．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有 　295　个．
【答案】（1）12；
（2）n是奇数时，三角形的个数是：，
n是偶数时，三角形的个数是：；
（3）4160；
拓展延伸
295．
【解答】解：（1）最长边 三角形个数
1 1×1
2 1×2
3 2×2
4 2×3
5 3×3
6 3×4
.....．
故答案为：12；
（2）最长边是奇数时 算式
1 1×1
3 2×2
5 3×3
7 4×4
.....．
n ，
最长边是偶数时 算式
2 1×2
4 2×3
6 3×4
.....．
n ；
（3）当n＝128时，
＝＝4160；
故答案是4160；
拓展延伸：
当侧棱是9时，
底边三角形的最长边可以是1，2，3，4，5，6，7，8，
∴直三棱柱个数共：1+2+4+6+9+12+16+20＝70，
当9是底的棱长时，
×9＝225，
70+225＝295，
故答案是295．
五．平行四边形的性质（共2小题）
7．（2023•青岛）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠DCB的平分线交AD于点F，点G，H分别是AE和CF的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接EF．若EF＝AF，请判断四边形GEHF的形状，并证明你的结论．

【答案】（1）见解答；
（2）四边形FGEH是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，∠DAE＝∠AEB，∠DFC＝∠BCF，
∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠DCF＝∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△BAE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△DCF（ASA）．
（2）证明：∵△BAE≌△DCF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
∵点G、H分别为AE、CF的中点，
∴GE∥FH，GE＝FH，
∴四边形FGEH是平行四边形
∵EF＝AF，G为AE的中点，
∴GF⊥AE，
∴四边形FGEH是矩形．
8．（2021•青岛）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；
（2）矩形，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE＝∠CBE，
∵E为CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
（2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
由（1）得：△BCE≌△FDE，
∴BC＝FD，BE＝FE，
∴FD＝AD，
∵GD＝DE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝∠ABF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB，
∵BE＝FE，
∴AE⊥FE，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFG是矩形．
六．四边形综合题（共3小题）
9．（2022•青岛）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）连接AE，CF，已知 　①　（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD＝30°；
条件②：AB＝BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）

【答案】（1）见解析；
（2）①（答案不唯一），理由见解析．
【解答】（1）证明：∵BE＝FD，
∴BE+EF＝FD+EF，
∴BF＝DE，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF和△CDE中，

∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：若选择条件①：
四边形AECF是菱形，理由如下：

由（1）得，△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAF＝90°，BE＝EF，
∴AE＝，
∵∠BAF＝90°，∠ABD＝30°，
∴AF＝，
∴AE＝AF，
∴▱AECF是菱形；
若选择条件②：
四边形AECF是菱形，理由如下：
连接AC交BD于点O，

由①得：△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
即EF⊥AC，
∴▱AECF是菱形．
故答案为：①（答案不唯一）．
10．（2023•青岛）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝10cm，BD＝4cm．动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s．以AP，AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC交于点E．设运动时间为t（s）（0＜t≤5），解答下列问题：
（1）当点M在BD上时，求t的值；
（2）连接BE．设△PEB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式和S的最大值；
（3）是否存在某一时刻t，使点B在∠PEC的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）t＝；
（2）S＝﹣t2+4t（0＜t≤5），S的最大值为10；
（3）存在，t＝．
【解答】解：（1）由题意得：DQ＝10﹣2t，PM＝2t，PB＝10﹣t，QM＝AP＝t，
如下图，点M在BD上时，

∵QM∥PB，PM∥QD，
∴∠DQM＝∠DAB＝∠MPQ，∠DMQ＝∠MBP，
∴△DQM∽△MPB，则，
即，
解得：t＝；

（2）如上图，
∵AD∥PM，
∴∠AEP＝∠EAQ，
∵四边形ABCD是菱形，
则∠QAE＝∠EAP，
∴∠AEP＝∠EAP，
∴△APE为等腰三角形，则PE＝AP＝t，
过点D作DH⊥AB于点H，
则S△ABD＝AB•DH＝AO•DB，
即10•DH＝×4，
解得：DH＝8，
则sin∠DAH＝＝＝，
设△PEB中PB边上的高为h，
则S＝PB•h＝（20﹣t）×sin∠DHA×AE＝（20﹣t）×＝﹣t2+4t（0＜t≤5），
∵﹣＜0，故S由最大值，
当t＝5时，S的最大值为10；

（3）存在，理由：
如下图，过点B作BR⊥PE于点R，

当点B在∠PEC的平分线上时，则BR＝OB＝2，
在Rt△PBR中，sin∠EPB＝sin∠DAB＝＝＝，
解得：t＝．
11．（2021•青岛）已知：如图，在矩形ABCD和等腰Rt△ADE中，AB＝8cm，AD＝AE＝6cm，∠DAE＝90°．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM∥BE，交AD于点H，交DE于点M，过点Q作QN∥BC，交CD于点N．分别连接PQ，PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当PQ⊥BD时，求t的值；
（2）设五边形PMDNQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）当PQ＝PM时，求t的值；
（4）若PM与AD相交于点W，分别连接QW和EW．在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠AWE＝∠QWD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）．
（2）S＝t2+t（0＜t＜8）．
（3）．
（4）存在，t＝．
【解答】解：（1）如图1中，

由题意，BP＝DQ＝t（cm），
在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝AD＝6cm，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝10（cm），
∵PQ⊥BD，
∴∠PQB＝90°，
∴cos∠PBQ＝＝，
∴＝，
∴t＝，
答：当PQ⊥BD时，t的值为．

（2）如图2中，过点P作PO⊥QM于点O．

在等腰Rt△ADE中，AD＝AE＝6，∠EAD＝90°，
∴BE＝AB+AE＝8+6＝14（cm），
∵QM∥BE，
∴∠POH＝∠PAH＝∠OHA＝90°，
∴四边形OPAH是矩形，
∴PO＝AH，
∵QM∥EB，
∴∠DQM＝∠DBE，
∵∠QDM＝∠QDM，
∴△DQM∽△DBE，
∴＝，
∴＝，
∴QM＝t（cm），
∵QN∥BC，
∴∠DNQ＝∠C＝90°，
∵∠CDB＝∠CDB，
∴△NDQ∽△CDB，
∴＝，
∴＝＝，
∴DN＝t（cm），QN＝t（cm）．
∴S＝S四边形DQPM+S△DNQ
＝（PO+DH）•QM+QN•ND
＝（HA+DH）•QM+QN•ND
＝•AD•QM+QN•ND
＝×6×t+×t×t
＝t2+t．
∴S与t之间的函数关系式为：S＝t2+t（0＜t＜8）．

（3）如图3中，延长NQ交BE于点G．

由（1）（2）可知DC∥AB，∠DNQ＝90°，PO⊥QM，
∵∠DNQ＝∠NGA＝∠BAD＝90°，
∴四边形NGAD是矩形，
∴BG＝CN＝（8﹣t）（cm），
同理可证，四边形PGQO是矩形，
∴QO＝PG＝BP﹣CN＝t﹣（8﹣t）＝（t﹣8）（cm），
∴×t＝t﹣8，
∴t＝，
答：当PQ＝PM时，t的值为．

（4）存在．
理由：如图4中，

由（2）得DN＝t，QM＝t，
∵QN∥BC，QM∥BE，
∴∠DNQ＝∠NQH＝∠NDH＝90°，
∴四边形NQHD是矩形，
∴QH＝DN＝t，且∠QHD＝90°，
∴∠QHA＝∠DAE＝90°，
∵∠AWE＝∠QWD，
∴△HQW∽△AEW，
同理可证△MHW∽△PAW，
∴＝，＝，
∴＝，
∴＝，
∴t＝，
经检验，t＝是分式方程的解，
答：在运动过程中，t的值为时，∠AWE＝∠QWD．
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
12．（2023•青岛）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，DE＝1.5m，EC＝5m．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽AB的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.41）

【答案】1.4m．
【解答】解：过点B作BH⊥DC于点H，过点B作BF⊥OC于点F，如图，

依题意得：OC⊥DC，∠BDH＝37°，∠NEH＝45°，
又BH⊥DC
∴△BEH和△OEC均为等腰直角三角形，
∴EH＝BH，EC＝OC，
∵DE＝1.5m，EC＝5m，
∴OC＝EC＝5m，
∵BH⊥DC，BF⊥OC，OC⊥DC，
∴四边形BHCF为矩形，
∴BF＝CH，BH＝CF，BF∥CH，
∴∠OBF＝∠NEH＝45°，
∴△OBF为等腰直角三角形，
∴BF＝OF＝CH，
设BF＝xm，则OF＝CH＝xm，
∴EH＝BH＝EC﹣CH＝（5﹣x） m，
∴DH＝DE+EH＝1.5+5﹣x＝（6.5﹣x） m，
在Rt△BDH中，tan∠BDH＝，
即：tan37°＝，
∴，
解得：x＝0.5，
检验后知道x＝0.5是原方程得根．
∴BF＝OF＝0.5（m），
在等腰Rt△OBF中，由勾股定理得：OB＝≈0.5×≈0.5×1.41＝0.705（m），
∵点O为AB的中点，
∴AB＝2OB≈2×0.705≈1.4（m），
答：太阳能电池板宽AB的长度约为1.4m．
13．（2021•青岛）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°．试求大楼BC的高度．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin42.6°≈，cos42.6°≈，tan42.6°≈）

【答案】约为96米．
【解答】解：延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，如图所示：
则四边形AMCN是矩形，
∴NC＝AM，AN＝MC，
在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，
∵sin∠EDM＝，cos∠EDM＝，
∴EM＝ED×sin37°≈20×＝12（米），DM＝ED×cos37°≈20×＝16（米），
∴AN＝MC＝CD+DM＝74+16＝90（米），
在Rt△ANB中，∠BAN＝42.6°，
∵tan∠BAN＝，
∴BN＝AN×tan42.6°≈90×＝81（米），
∴BC＝BN+AE+EN＝81+3+12＝96（米），
答：大楼BC的高度约为96米．

八．频数（率）分布直方图（共2小题）
14．（2023•青岛）今年4月15日是我国第八个“全民国家安全教育日”．为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组：A组（60≤x＜70），B组（70≤x＜80），C组（80≤x＜90），D组（90≤x≤100），绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为 　36　°；
（3）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如A组：60≤x＜70的中间值为65）来代替，试估计小明班级的平均成绩；
（4）小明根据本班成绩，估计全市参加竞赛的所有8000名学生中会有800名学生成绩低于70分，实际只有446名学生的成绩低于70分．请你分析小明估计不准确的原因．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）36；
（3）85.5；
（4）小明班级的这个样本只能代表小明学校，可以用来估计小明学校的学生成绩，不能用来估计全市所有学校学生的成绩，因此小明的估计不准确（答案不唯一，只要合理即可）．
【解答】解：（1）由频数分布直方图可知：C组是10人，
由扇形统计图可知：C组占班级人数的20%，
∴班级人数为：10÷25%＝40（人），
∴B组的人数为：40﹣4﹣10﹣18＝8（人），
∴补全频数分布直方图如图所示：

（2）由频数分布直方图可知：C组是4人，
∴A组人数占班级人数的百分比为：4÷40＝10%，
∴A组所对应的圆心角的度数为：360°×40%＝36°．
故答案为：36．
（3）∵A组中间值为65分，A组有4人，B组中间值为75分，B组有8人，C组中间值为85分，C组有10人，D组中间值为95分，D组有18人，
∴班级的平均成绩为：（65×4+75×8+85×10+95×18）＝85.5（分），
答：估计小明班级的平均成绩为85.5分．
（4）∵小明班级低于70分的人数占班级人数的10%，
∴8000×10%＝800（人），
因此小明估计全市低于70分的人数有800人．
其实这样估计是不准确，其原因是：小明班级的这个样本只能代表小明学校，可以用来估计小明学校的学生成绩，不能用来估计全市所有学校学生的成绩，因此小明的估计不准确（答案不唯一，只要合理即可）．
15．（2022•青岛）孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好的老师．阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐…各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：
学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表
组别
时长t（单位：h）
人数累计
人数
第一组
1≤t＜2
正正正正正正
30
第二组
2≤t＜3
正正正正正正正正正正正正
60
第三组
3≤t＜4
正正正正正正正正正正正正正正
70
第四组
4≤t＜5
正正正正正正正正
40
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第 　三　组；
（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为 　30%　，对应的扇形圆心角的度数为 　108　°；
（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2h，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）补全频数分布直方图如下：

（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第三组，
故答案为：三；
（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为：；
对应的扇形圆心角的度数为：360°×30%＝108°，
故答案为：30%；108；
（4）2200×＝330（人），
答：估计该校学生中有330人需要增加自主发展兴趣爱好时间．
九．游戏公平性（共1小题）
16．（2021•青岛）为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意画树状图如下：

∵共有12种等可能的结果，其中数字之积小于4的有5种结果，
∴合唱《大海啊，故乡》的概率是，
∴合唱《红旗飘飘》的概率是，
∵＜，
∴游戏不公平．