山东省枣庄市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题

这是一份山东省枣庄市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题，共30页。试卷主要包含了2﹣25＝0；，计算，先化简，再求值，的关系如表，，C是抛物线与y轴的交点，在x轴上方的抛物线对称轴上运动等内容，欢迎下载使用。

山东省枣庄市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023•市中区一模）（1）解方程 （x+2）2﹣25＝0；
（2）计算：2sin45°+4cos230°﹣tan260°．
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2023•滕州市一模）计算：
（1）化简：；
（2）解不等式组：，并写出它的最大整数解．
三．分式的化简求值（共3小题）
3．（2023•峄城区一模）先化简，再求值：，其中．
4．（2023•山亭区一模）先化简，再求值：，其中．
5．（2023•薛城区一模）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式＝①；
＝②；
＝③；
＝…
（1）上面的运算过程中第 　 　步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程，并求出当时该分式的值．
四．一次函数的应用（共1小题）
6．（2023•薛城区一模）大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量y件与销售的天数x（x为整数）的关系如表：
x（天）
1
2
3
…
50
y
118
116
114
…
20
销售单价m（元/件）与x满足：当1≤x≤24时，m＝x+60；当24＜x≤50时，m＝85．
（1）直接写出销售量y与x的函数关系．
（2）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少元？
（3）求出该超市暑假期间利润不低于3000元的天数．
五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
7．（2023•山亭区一模）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象：
①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　 　；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2




0
1
2
…
y
…


﹣1
﹣2
﹣3
3
2
m


…
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
（2）探究函数性质：
①函数值y随x的增大而减小；
②函数图象关于原点对称；
③函数图象与直线x＝﹣1没有交点；
④此函数图象是轴对称图形；
以上结论正确的是（把正确结论的序号写在横线上）：　 　．

六．反比例函数的应用（共1小题）
8．（2023•滕州市一模）电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加．
（1）当10≤x≤30时，求y与x之间的关系式；
（2）电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？

七．二次函数综合题（共2小题）
9．（2023•薛城区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+12经过两点A（﹣2，0），B（6，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N在y轴正半轴上运动，是否存在点N使得△AON与△OBC相似，如果存在，请求出点N的坐标；
（3）点P的横坐标为m，且在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式和S的最大值．

10．（2023•市中区一模）如图①，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于两点A，B（4，0）（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为2的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．

（1）求抛物线的关系式；
（2）在线段PQ运动过程中，当PC+PA的值最小时，求此时点P的坐标；
（3）如图②过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．
八．矩形的判定与性质（共1小题）
11．（2023•市中区一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥CD于点E，F是BC的中点，FG⊥CD于点G．
（1）求证：四边形OEGF是矩形；
（2）若OE＝3，EG＝4，求AC•BD的值．

九．切线的判定（共1小题）
12．（2023•薛城区一模）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）如果PE＝BE，求证：∠P＝30°；
（3）若⊙O的半径为5，CF＝2EF，求PD的长．

一十．圆的综合题（共1小题）
13．（2023•山亭区一模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：AC2＝AD•AB；
（3）若，，求线段BC的长．

一十一．作图—基本作图（共1小题）
14．（2023•薛城区一模）如图，在△ABC中，AB＝BC．
（1）尺规作图：在边AC上作出一点E，使点E到AB、BC边的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的结果下，若AC＝2，BC＝5，求△BCE的周长．

一十二．相似三角形的判定与性质（共1小题）
15．（2023•市中区一模）如图，将①∠BAD＝∠C；②∠ADB＝∠CAB；③AB2＝BD•BC；④＝；⑤＝中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题．
（1）条件是　 　，结论是　 　；（注：填序号）
（2）写出你的证明过程．

一十三．解直角三角形的应用（共1小题）
16．（2023•市中区一模）如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知AB＝20cm，BC＝14cm，当AB，BC转动到∠BAE＝70°，∠ABC＝65°时，求点C到直线AE的距离．（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，1.41）

一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
17．（2023•滕州市一模）请根据对话和聪聪的做法，解决问题
聪聪的做法是：
第一步：在教学楼前5米的M点处测得大楼顶端的仰角为75°；
第二步：在图书馆D处测得教学楼顶端的仰角为30°，（B、M、D三点共线，A、B、M、D、C在同一竖直的平面内，测倾仪的高度忽略不计）；
第三步：计算出教学楼与图书馆之间BD的距离．
请你根据聪聪的做法，计算出教学楼与图书馆之间BD的距离？（结果精确到1米）．
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41，≈1.73）


一十五．频数（率）分布直方图（共1小题）
18．（2023•滕州市一模）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），其中A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x＜100，并绘制了如下不完整的统计图．
（1）本次调查一共随机抽取了 　 　名学生的成绩，频数分布直方图中m＝　 　，扇形统计图中A组占 　 　%；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，求优秀学生所在扇形对应圆心角的度数．

一十六．列表法与树状图法（共1小题）
19．（2023•市中区一模）为了培养学生的创新精神和实践能力，某校组织学生到技师学院开展了为期一周的社会实践活动．每位同学可以在“A（机器人），B（面塑），C（电烙画），D（摄影）”四门课程中选择一门．为公平起见，学校制作了如图所示的转盘，学生转动转盘一次，指针指到的课程即自己参加的实践课程．
（1）乐乐是该校的一名学生，乐乐参加“D（摄影）”实践课程的概率是 　 　；
（2）果果和贝贝是好朋友，他们想参加相同的实践课程，请你用画树状图或列表的方法求他们参加相同实践课程的概率．（四门课程用所对应的字母表示）


山东省枣庄市2023年各地区中考考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023•市中区一模）（1）解方程 （x+2）2﹣25＝0；
（2）计算：2sin45°+4cos230°﹣tan260°．
【答案】（1）x1＝﹣7，x2＝3；
（2）．
【解答】解：（1）（x+2）2﹣25＝0，
则（x+2）2＝25，
故x+2＝±5，
解得：x1＝﹣7，x2＝3；

（2）原式＝2×+4×（）2﹣（）2
＝+4×﹣3
＝+3﹣3
＝．
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2023•滕州市一模）计算：
（1）化简：；
（2）解不等式组：，并写出它的最大整数解．
【答案】（1）；
（2）3．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2），
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜4，
故原不等式组的解集为：1≤x＜4，
则其最大的整数解是：3．
三．分式的化简求值（共3小题）
3．（2023•峄城区一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解答】解：÷（1﹣）
＝÷
＝•
＝，
当a＝﹣2时，原式＝＝．
4．（2023•山亭区一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，原式＝﹣1﹣．
【解答】解：
＝÷﹣
＝•﹣
＝﹣
＝
＝，
当时，原式＝＝＝﹣＝﹣1﹣．
5．（2023•薛城区一模）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式＝①；
＝②；
＝③；
＝…
（1）上面的运算过程中第 　③　步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程，并求出当时该分式的值．
【答案】（1）③；（2）见解析，1．
【解答】解：（1）第③步应为：，
故答案为：③；
（2）原式＝[]•
＝[]•
＝
＝
＝
＝；
∵x＝（）0﹣2
＝1﹣2
＝﹣1，
∴原式＝
＝1．
四．一次函数的应用（共1小题）
6．（2023•薛城区一模）大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量y件与销售的天数x（x为整数）的关系如表：
x（天）
1
2
3
…
50
y
118
116
114
…
20
销售单价m（元/件）与x满足：当1≤x≤24时，m＝x+60；当24＜x≤50时，m＝85．
（1）直接写出销售量y与x的函数关系．
（2）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少元？
（3）求出该超市暑假期间利润不低于3000元的天数．
【答案】（1）y＝﹣2x+120；
（2）超市第20天获得利润最大，最大利润3200元；
（3）一共有17天．
【解答】解：（1）设销售量y件与销售的天数x的函数解析式为y＝kx+b，
代入（1，118），（2，116）得，，
解得，
因此销售量y件与销售的天数x的函数解析式为y＝﹣2x+120；
（2）设销售利润为w元，
当1≤x≤24时，w＝（60+x﹣40）（﹣2x+120）＝﹣2x2+80x+2400，
即：w＝﹣2（x﹣20）2+3200，
当x＝20时，w最大为3200；
当24＜x≤50时，w＝（85﹣40）（﹣2x+120）＝﹣90x+5400，
当x＝25时，w最大为3150；
所以超市第20天获得利润最大，最大利润3200元；
（3）求出该超市暑假期间利润不低于3000元的天数，
令w＝3000，
当1≤x≤24时，w＝﹣2（x﹣20）2+3200，
即有：w＝﹣2（x﹣20）2+3200＝3000，
解得x1＝10，x2＝30，
又∵1≤x≤24，抛物线开口向下，
∴10≤x≤24，即此时共15天；
当24＜x≤50时，w＝﹣90x+5400，
即有：w＝﹣90x+5400≥3000，
解得：，
又∵24＜x≤50，且y随x 的增大而减小，
∴，
∴此时有2天，
∴一共有17天．
五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
7．（2023•山亭区一模）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象：
①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　1　；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2




0
1
2
…
y
…


﹣1
﹣2
﹣3
3
2
m


…
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
（2）探究函数性质：
①函数值y随x的增大而减小；
②函数图象关于原点对称；
③函数图象与直线x＝﹣1没有交点；
④此函数图象是轴对称图形；
以上结论正确的是（把正确结论的序号写在横线上）：　③④　．

【答案】（1）①；②见解答；（2）③④．
【解答】解：（1）①x＝0时，y＝＝1，
∴m＝1，
故答案为：1；
②（点如图所示）；③（图象如图所示）．

（2）根据函数图象可得：
①每一个分支上，函数值y随x的增大而减小，故①错误；
②图象关于（﹣1，0）对称，故②错误；
③x＝﹣1时，无意义，函数图象与直线x＝﹣1没有交点，故③正确；
④此函数图象是轴对称图形，故④正确；
故答案为：③④．
六．反比例函数的应用（共1小题）
8．（2023•滕州市一模）电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加．
（1）当10≤x≤30时，求y与x之间的关系式；
（2）电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？

【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）设y＝．
∵过点（10，6），
∴m＝xy＝10×6＝60．
∴当10≤x≤30时，y与x的关系式为：y＝；
（2）将x＝30℃代入上式中得：y＝，y＝2．
∴温度在30℃时，电阻y＝2（kΩ）．
∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ，
∴当x≥30时，
y＝2+（x﹣30）＝x﹣6，
把y＝5代入y＝，
得x＝12；
把y＝5时代入，
得；
答：当时，电阻不超过5kΩ．
七．二次函数综合题（共2小题）
9．（2023•薛城区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+12经过两点A（﹣2，0），B（6，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N在y轴正半轴上运动，是否存在点N使得△AON与△OBC相似，如果存在，请求出点N的坐标；
（3）点P的横坐标为m，且在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式和S的最大值．

【答案】（1）y＝﹣x2+4x+12；
（2）N（0，4）或者N（0，1）；
（3）S＝﹣3（m﹣3）2+27，27．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（6，0）代入抛物线y＝ax2+bx+12，
可得：，
解得：，
∴y＝﹣x2+4x+12；
（2）存在点N使得△AON与△OBC相似，
由（1）可知OC＝12，OA＝2，OB＝6，
第一种情况：，
解得：ON＝4，
∴N（0，4），
第二种情况：，
解得：ON＝1，
∴N（0，1），
∴N（0，4）或N（0，1）；
（3）连接OP，

∵P的横坐标为m且在第一象限，
∴6＞m＞0，
∴P的纵坐标为﹣m2+4m+12，
∵，，S△COB＝×12×6＝36，
∴S△PCO＝S△PCO+S△POB﹣S△COB＝﹣3m2+18m，
∴S＝﹣3m2+18m，
∴S＝﹣3（m﹣3）2+27，
当m＝3时，最大值为27．

10．（2023•市中区一模）如图①，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于两点A，B（4，0）（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为2的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．

（1）求抛物线的关系式；
（2）在线段PQ运动过程中，当PC+PA的值最小时，求此时点P的坐标；
（3）如图②过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．
【答案】（1）抛物线的关系式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）点P的坐标为（，）；
（3）Q的坐标是（，5）或（，）或（，）．
【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C（0，4），
∴c＝4，
∴﹣16+4b+4＝0，
∴b＝3，
∴抛物线的关系式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）令y＝0，
∴﹣x2+3x+4＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∵C（0，4），
连接BC交抛物线的对称轴l于P，此时PC+PA的值最小，如图①，

∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，
∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线对称轴直线为x＝，
当x＝时，y＝﹣+4＝，
∴点P的坐标为（，）；
（3）由抛物线对称轴直线x＝，
设Q（，t），则P（，t+2），M（0，t+2），N（，0），
∵B（4，0），C（0，4）；
∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣2|，
∵∠CMP＝∠QNB＝90°，
当△CPM和△QBN相似时，＝或＝，
①当＝时，＝，
解得t＝5或t＝，
∴Q（，5）或（，）；
②当＝时，＝，
解得t＝或t＝（舍去），
∴Q（，），
综上所述，Q的坐标是（，5）或（，）或（，）．
八．矩形的判定与性质（共1小题）
11．（2023•市中区一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥CD于点E，F是BC的中点，FG⊥CD于点G．
（1）求证：四边形OEGF是矩形；
（2）若OE＝3，EG＝4，求AC•BD的值．

【答案】（1）证明见解析；
（2）96．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵F是BC的中点，
∴OF是△DBC的中位线，
∴OF∥CD，
∵OE⊥CD，FG⊥CD，
∴∠OEG＝90°，OE∥FG，
∴四边形OEGF是平行四边形，
又∵∠OEG＝90°，
∴平行四边形OEGF是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形OEGF是矩形，OF是△DBC的中位线，
∴OF＝EG＝4，CD＝2OF＝8，
∵OE⊥CD，
∴S△OCD＝CD•OE＝×8×3＝12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴S菱形ABCD＝4S△OCD＝4×12＝48，
又∵S菱形ABCD＝AC•BD＝48，
∴AC•BD＝96．
九．切线的判定（共1小题）
12．（2023•薛城区一模）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）如果PE＝BE，求证：∠P＝30°；
（3）若⊙O的半径为5，CF＝2EF，求PD的长．

【答案】（1）（2）证明见解析部分；
（3）．
【解答】（1）证明：如图，连接OE．
∵CD是圆O的直径，
∴∠CED＝90°．
∵OC＝OE，
∴∠1＝∠2．
又∵∠PED＝∠C，即∠PED＝∠1，
∴∠PED＝∠2，
∴∠PED+∠OED＝∠2+∠OED＝90°，即∠OEP＝90°，
∴OE⊥EP，
又∵点E在圆上，
∴PE是⊙O的切线；

（2）证明：∵AB，CD是直径，
∴∠AEB＝∠CED＝90°，
∴∠3＝∠4，
∵AE∥CD，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠4，
∵∠CEF+∠4＝90°，
∴∠1+∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝∠EFP＝90°，
∴BE⊥CD，
∵CD是直径，
∴EF＝FB，
∵EP＝EB，
∴PE＝2EF，
∴∠P＝30°；

（3）解：设EF＝x，则CF＝2x，
∵⊙O的半径为5，
∴OF＝2x﹣5，
在Rt△OEF中，OE2＝OF2+EF2，即52＝x2+（2x﹣5）2，
解得x＝4，
∴EF＝4，
∴BE＝2EF＝8，CF＝2EF＝8，
∴DF＝CD﹣CF＝10﹣8＝2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝10，BE＝8，
∴AE＝6，
∵∠BEP＝∠A，∠EFP＝∠AEB＝90°，
∴△AEB∽△EFP，
∴＝，即＝，
∴PF＝，
∴PD＝PF﹣DF＝﹣2＝．

一十．圆的综合题（共1小题）
13．（2023•山亭区一模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：AC2＝AD•AB；
（3）若，，求线段BC的长．

【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）3．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：

∵CD切⊙O于C，
∴CO⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴AC平分∠BAD；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
∵∠DAC＝∠CAO，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AD•AB；
（3）解：由（2）得：△ADC∽△ACB，
∴∠ACD＝∠B，
∴sin∠ACD＝，
∵AD＝，
∴AC＝4，
∵AC2＝AD•AB，
∴AB＝＝5，
在Rt△ABC中，BC＝＝3．
一十一．作图—基本作图（共1小题）
14．（2023•薛城区一模）如图，在△ABC中，AB＝BC．
（1）尺规作图：在边AC上作出一点E，使点E到AB、BC边的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的结果下，若AC＝2，BC＝5，求△BCE的周长．

【答案】（1）作图见解答过程；
（2）．
【解答】解：（1）如图所示，点E即为所求．


（2）由题意可知，BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴，∠BEC＝90°．
在Rt△BCE中，，
∴△BCE的周长是．
一十二．相似三角形的判定与性质（共1小题）
15．（2023•市中区一模）如图，将①∠BAD＝∠C；②∠ADB＝∠CAB；③AB2＝BD•BC；④＝；⑤＝中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题．
（1）条件是　①　，结论是　③④　；（注：填序号）
（2）写出你的证明过程．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为若∠BAD＝∠C，则△ABC∽△DBA，故AB2＝BD•BC；＝；
故答案为：①，结论是③或④；
（2）∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△ABC，
∴，＝；
∴AB2＝BD•BC．
一十三．解直角三角形的应用（共1小题）
16．（2023•市中区一模）如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知AB＝20cm，BC＝14cm，当AB，BC转动到∠BAE＝70°，∠ABC＝65°时，求点C到直线AE的距离．（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，1.41）

【答案】8.9cm．
【解答】解：过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
∴∠AMB＝∠BME＝∠CNM＝∠CDM＝∠CDB＝90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴DM＝CN，
在Rt△ABM中，∠BAE＝70°，AB＝20cm，
∴∠ABM＝90°﹣∠BAE＝20°，
BM＝AB•sin70°≈20×0.94＝18.8（cm），
∵∠ABC＝65°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABM＝45°，
∴∠BCD＝90°﹣∠CBD＝45°，
在Rt△BCD中，BC＝14cm，
∴BD＝BC•sin45°≈14×＝9.87（cm），
∴DM＝BM﹣BD＝18.8﹣9.87≈8.9（cm），
∴DM＝CN＝8.9cm，
∴点C到AE的距离为8.9cm．

一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
17．（2023•滕州市一模）请根据对话和聪聪的做法，解决问题
聪聪的做法是：
第一步：在教学楼前5米的M点处测得大楼顶端的仰角为75°；
第二步：在图书馆D处测得教学楼顶端的仰角为30°，（B、M、D三点共线，A、B、M、D、C在同一竖直的平面内，测倾仪的高度忽略不计）；
第三步：计算出教学楼与图书馆之间BD的距离．
请你根据聪聪的做法，计算出教学楼与图书馆之间BD的距离？（结果精确到1米）．
（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41，≈1.73）


【答案】教学楼与图书馆之间BD的距离约为32米．
【解答】解：根据题意可得∠ABM＝90°，
在Rt△ABM中，BM＝5，∠AMB＝75°，
∴tan∠AMB＝≈3.73，
∴AB≈3.73×5＝18.65（米），
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
∴tan∠ADB＝＝，
∴BD＝AB≈1.73×18.65≈32（米），
∴教学楼与图书馆之间BD的距离约为32米．
一十五．频数（率）分布直方图（共1小题）
18．（2023•滕州市一模）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），其中A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x＜100，并绘制了如下不完整的统计图．
（1）本次调查一共随机抽取了 　400　名学生的成绩，频数分布直方图中m＝　60　，扇形统计图中A组占 　5　%；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，求优秀学生所在扇形对应圆心角的度数．

【答案】（1）400，60，5；
（2）图形见解析；
（3）201.6°．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生总人数为：96÷24%＝400（名），
∴B组的人数为：400×15%＝60（名），
∴m＝60，
∵A组的人数为20人，
∴扇形统计图中A组占的百分比为：×100%＝5%．
故答案为：400，60，5；
（2）E组的人数为：400﹣20﹣60﹣96﹣144＝80（人），
补全学生成绩频数分布直方图如下：

（3）360°×＝201.6°．
答：优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为201.6°．
一十六．列表法与树状图法（共1小题）
19．（2023•市中区一模）为了培养学生的创新精神和实践能力，某校组织学生到技师学院开展了为期一周的社会实践活动．每位同学可以在“A（机器人），B（面塑），C（电烙画），D（摄影）”四门课程中选择一门．为公平起见，学校制作了如图所示的转盘，学生转动转盘一次，指针指到的课程即自己参加的实践课程．
（1）乐乐是该校的一名学生，乐乐参加“D（摄影）”实践课程的概率是 　　；
（2）果果和贝贝是好朋友，他们想参加相同的实践课程，请你用画树状图或列表的方法求他们参加相同实践课程的概率．（四门课程用所对应的字母表示）

【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵共有四门课程，分别是机器人、面塑、电烙画、摄影，
∴乐乐参加“D（摄影）”实践课程的概率是，
故答案为：；
（2）根据题意列表如下：

A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
共有16种等可能的结果，其中他们参加相同实践课程的有4种，
则他们参加相同实践课程的概率是＝．