新高考数学一轮复习单元复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ《真题模拟卷》(含解析)

02卷第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ《真题模拟卷》

－2022年高考一轮数学单元复习

第I卷（选择题）

一、单选题

1．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】

由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】

函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

2．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【详解】

因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或

解得或，

所以满足的的取值范围是，

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.

3．设函数,则（    ）

A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减

C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减

【答案】A

【分析】

根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，

再根据函数的单调性法则，即可解出．

【详解】

因为函数定义域为，其关于原点对称，而，

所以函数为奇函数．

又因为函数在上单调递增，在上单调递增，

而在上单调递减，在上单调递减，

所以函数在上单调递增，在上单调递增．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．

4．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．

【详解】

时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．

如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．

【点睛】

易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．

5．已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【详解】

试题分析：因为，代入条件等式再相加，得．故选B．

考点：函数奇偶性的应用．

6．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

试题分析：设这两年年平均增长率为，因此解得．

考点：函数模型的应用．

7．为实数，表示不超过的最大整数，则函数在R上为（　　）

A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数

【答案】D

【详解】

表示不超过的最大整数,则,

所以,

即是周期为1的周期函数.

故选：D．

8．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A．

考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．

点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．

9．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.

详解：因为是定义域为的奇函数，且，

所以,

因此，

因为，所以，

，从而，选C.

点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

10．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

是奇函数，故 ；又 是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.

【点睛】

解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为

，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.

11．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【详解】

当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.

【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

12．设函数，则的值为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为时，

所以；

又时，，

所以故选A.

本题考查分段函数的意义,函数值的运算.

13．函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，解得答案．

【详解】

解：由函数为奇函数，得，

不等式即为，

又在单调递减，所以得，即，

故选：D.

14．已知函数的定义域为，则的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由计算出的取值范围，由此可计算出函数的定义域.

【详解】

对于函数，，可得，

因此，函数的定义域是.

故选：C.

15．设为定义在上的奇函数，且满足，，则（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【分析】

先利用奇偶性和周期性求出和，即得结果.

【详解】

解：是定义在上的奇函数，，满足，

，又，.

故选：B.

【点睛】

本题考查了利用奇偶性和周期性求函数值，属于基础题.

16．已知函数，其中表示不超过x的最大整数.设，定义函数，则下列说法正确的有（    ）个.

①的定义域为；

②设，，则；

③；

④，则M中至少含有8个元素.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】

先对分两段和化简，再对各项分析判断正误：

对①，由，分段解不等式，求得函数的定义域，判断正误；

对②，由题中的对应法则，求出集合，判断正误；

对③，计算得到其周期性，计算得到，判断正误；

对④，综合①②③的分析，判断正误.

【详解】

当时，；当时，，

则

对①，有，则或，得，

即定义域为，故①正确；

对②，当时，成立；

当时， 成立；

当时， 成立，

 所以 故②项正确。

对③，，，

，

 一般地

即有

故③正确。

对④，由①可知, 所以 则 所以 ，

由②知, 对 恒有 所以 则，

由③知 ，对 恒有 所以

综上所述, ，所以中至少含有8个元素，故④正确。

故选：D.

【点睛】

本题考查了函数的概念及性质的应用，考查了新定义函数的理解与应用，考查了学生分析理解能力，逻辑推理能力，难度较大.

17．已知是定义在，上的偶函数，且在，上为增函数，则的解集为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在，上为增函数，在，上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，可求．

【详解】

解：是定义在，上的偶函数，

，

，

在，上为增函数，

在，上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，

由可得，且，且，

解得，

故不等式的解集为．

故选：．

【点睛】

本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．

18．设是R上的奇函数，且，当时，，则=（    ）

A．1.5 B．-1.5 C．0.5 D．-0.5

【答案】D

【分析】

根据与是R上的奇函数,可将中转换到中进行求解即可.

【详解】

由有,

又是R上的奇函数则.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了函数性质求解函数值的方法,属于基础题型.

第II卷（非选择题）

二、填空题

19．函数的定义域是_____.

【答案】.

【分析】

由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.

【详解】

由已知得,

即

解得，

故函数的定义域为.

【点睛】

求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

20．已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．

【答案】

【分析】

由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.

【详解】

分类讨论：①当时，即：，

整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当时，，则；

②当时，即：，整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当或时，，则；

综合①②可得的取值范围是，故答案为.

点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

21．已知为奇函数，，则      ．

【答案】

【分析】

根据题意，得到，再由奇函数性质，即可得出结果.

【详解】

由得，所以，

又为奇函数，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记奇函数性质即可，属于基础题型.

22．    设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.

【答案】

【详解】

因为函数f(x)＝为奇函数，

经检验符合题意.

故答案为.

23．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.

【答案】

【分析】

先求，再根据奇函数求

【详解】

，因为为奇函数，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.

24．已知奇函数的定义域为且在上连续.若时不等式的解集为，则时的解集为______.

【答案】

【分析】

当时，易得的解集为；利用奇函数的性质可得当时，的解集为，令即可得解.

【详解】

由题意可得当时，的解集为，

由奇函数的性质可得当时，的解集为，

令，则的解集为，

即当时，的解集为，

所以的解集为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算能力和推理能力，属于中档题.

25．设函数 ，则使得 成立的的取值范围是__________.

【答案】

【分析】

先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用函数的性质解不等式，即可求解.

【详解】

因为，所以，所以函数的定义域为且，

又，∴为偶函数.

当时，令，

∵ ，∴在上是增函数，

易知函数在上是增函数，∴在上是增函数.

又为偶函数，∴，

∴由，得，

解得，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性与单调性及其应用，其中解答中根据根据的解析式得到函数的奇偶性和单调性是解答的关键，着重考查化归与转化能力和运算求解能力，属于中档试题．

26．若且满足，令，则M的最大值为__________．

【答案】

【分析】

由得，代入第二个等式整理后，作为关于的方程有实数解，由得的取值范围，此方程作为的二次方程有实数解，同样由得的范围，如果消去代入得二次方程，由得取值范围，可确定值．最后比较大小确定最大值.

【详解】

因为，所以，　代入整理得，作为的二次方程它有实数解，

所以，解得，

此方程整理为，关于的方程有实数解，则，解得，

若由代入整理得，同理由得，

∵，

∴由得的最大值是，此时或．

故答案为：．

【点睛】

本题考查新定义，理解新定义数是解题关键，解题时通过消元法得一个一元二次方程，利用一元二次方程有实数解，判别式分别求出的取值范围，然后求得最大值，只要取这个最大值时，有对应的取值即可．

27．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数)，若该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，则该食品在33℃的保鲜时间是___________

【答案】6.

【分析】

根据该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，由 求得函数，再令求解.

【详解】

因为该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，

所以 ，

解得，

所以，

当时，.

故答案为：6

【点睛】

本题主要考查函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

28．设函数，若恒成立，则实数的值为_____.

【答案】

【分析】

因为恒成立，所以，解得或，验证和，即可得出的值.

【详解】

因为恒成立，所以

即，解得：或

当时，，，则不满足条件

当时，，，则满足条件

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了求解析式中参数的值，属于基础题.

29．已知，则不等式的解集为______．

【答案】

【解析】

当时，，解得 ；当时，，恒成立，解得：，合并解集为 ，故填：.

30．函数，若，则

【答案】9.

【分析】

把看成一个奇函数和常数2的和，根据奇函数的性质求值.

【详解】

令，则是奇函数，

∵，

∴

故答案为9.

【点睛】

本题考查根据函数的奇偶性求值.关键在于原函数的拆分.

31．已知函数,对任意实数都有成立，若当时，恒成立，则的取值范围是       .

【答案】

【详解】

故答案为.

三、解答题

32．函数，，其中表示不超过的最大整数，例，.

（1）写出的解析式；

（2）作出相应函数的图象；

（3）根据图象写出函数的值域.

【答案】（1）；（2）图象见解析；（3）.

【分析】

（1）根据题意，分别求出，，时的，代入解析式即可得答案；

（2）根据解析式，作出图象即可；

（3）根据图象，直接可得到的值域.

【详解】

（1）当时，，所以，

当时，，所以，

当时，，所以，

综上；

（2）图象如图所示：；

（3）由图象可得的值域为

33．函数是定义在上的奇函数，且.

（1）确定的解析式；

（2）判断在上的单调性，并用定义证明；

（3）解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）增函数，证明见解析；（3）.

【分析】

（1）由函数是奇函数，根据，求得，进而根据，求得，即可求得函数的解析式；

（2）利用函数的单调性的定义，即可得到函数的单调性；

（3）把不等式转化为，列出不等式组，即可求解.

【详解】

（1）由函数是定义在上的奇函数，

可得，解得，

经检验，时，是上的奇函数，满足题意

又，解得

故.

（2）函数在上为增函数.

证明如下：

在任取且，

则，

因为，

所以，即，

所以在上为增函数.

（3）因为为奇函数所以，

不等式可化为，即，

又在上是增函数，所以 ，解得

所以关于的不等式解集为.

【点睛】

本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及利用函数的单调性与奇偶性求解不等式问题，其中解答中熟记函数的单调性的定义，合理应用函数的单调性与奇偶性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

34．设，求证

（1）；

（2）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）将代入，化简即可证明结论；（2）将代入，化简即可证明结论.

试题解析：（1），.

(2)，.

四、双空题

35．在实数集中定义一种运算，满足下列性质：

①对任意的，；

②对任意的，，；

③对任意的，，，；

则______，函数的最小值为______．

【答案】12    6   

【分析】

利用新定义运算，转化，再由性质③，①可得；

这样可得，函数，再由基本不等式可得最小值．

【详解】

根据定义可得；

，当且仅当时等号成立．

故答案为：12；6．

【点睛】

本题考查新定义运算，解题关键是正确理解新定义运算，利用定义把新运算转化为熟悉的运算：加减乘除、乘方、开方．

36．已知函数，则值为______；若的值为______.

【答案】2    19   

【分析】

利用对数的运算性质求和即可；由对两两组合求和即可得解.

【详解】

；

.

故答案为：2；19

【点睛】

本题考查对数的运算性质、函数值求和，属于基础题.