新高考数学一轮复习讲练测专题1.1集合（讲）（含解析）

专题1.1  集合

【知识清单】

1.元素与集合

（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．

（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．

（4）五个特定的集合及其关系图：

 N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．

2.集合间的基本关系

(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.

(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.

(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.   

(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA.

4.集合的运算性质

(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.

(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.

(3)A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.

特别提醒:

1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.

2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.

3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB.

4. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).

【考点分类剖析】

考点一   集合的基本概念

例1.(2018课标II理2)已知集合，则中元素的个数为 （   ）

A．9    B．8    C．5    D．4

【答案】A

方法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.

【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略

(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.

(2)根据元素与集合的关系求参数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

(3)集合中的元素与方程有关时注意一次方程和一元二次方程的区别.

【变式探究】（2020·巴楚县第一中学高三二模）已知集合，，则集合中元素的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】

根据集合列举求解.

【详解】

因为集合，，

所以集合，

故选：C

【领悟技法】

与集合元素有关问题的思路：

（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．

（2）看这些元素满足什么限制条件．

（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性

考点二：集合间的基本关系

例2.（2012·湖北省高考真题（文））已知集合，则满足条件的集合的个数为（  ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】

求解一元二次方程，得

，易知.

因为，所以根据子集的定义，

集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，

原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.

【方法技巧】

(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．

(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．

(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．

【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

【变式探究】

1.（2021·赤峰二中高三一模（文））已知集合，且，则满足条件的集合的个数（    ）

A．8 B．9 C．15 D．16

【答案】A

【解析】

先求得集合，根据，结合集合子集个数的计算，即可求解.

【详解】

由不等式，解得，即

又由，可得满足条件的集合的个数为.

故选：A.

2．（2020·全国高一课时练习）若集合A={1，3，x}，B={x2，1}，且B⊆A，则满足条件的实数x的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

根据集合的包含关系可得x2=3或x2=x，解方程由集合的互异性即可求解.

【详解】

解析由B⊆A，知x2=3或x2=x，

解得x=±，或x=0，或x=1，

当x=1时，集合A，B都不满足元素的互异性，故x=1舍去.

故选：C

考点三：集合的基本运算

例3.（2019·北京高考真题（文））已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=（    ）

A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）

【答案】C

【解析】

∵ ，

∴ ，

故选C.

例4．（2020·全国高考真题（文））已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（    ）

A． B．{–3，–2，2，3）

C．{–2，0，2} D．{–2，2}

【答案】D

【解析】

解绝对值不等式化简集合的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.

【详解】

因为，

或，

所以.

故选：D.

例5.（2020·全国高考真题（理））已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（    ）

A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3}

【答案】A

【解析】

首先进行并集运算，然后计算补集即可.

【详解】

由题意可得：，则.

故选：A.

例6.（2020·全国高考真题（理））已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】C

【解析】

采用列举法列举出中元素的即可.

【详解】

由题意，中的元素满足，且，

由，得，

所以满足的有，

故中元素的个数为4.

故选：C.

【规律方法】

如何解集合运算问题

(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.

(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决.

(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.

(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.

【变式探究】

1．（2020·福建省高三其他（文））设全集集合则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

故选：D.

2.（2020·河南省高三月考（文））已知集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，B＝{x|0＜x≤2}，则A∩B＝（     ）

A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|0＜x＜5} C．{0，1，2} D．{1，2}

【答案】D

【解析】

∵集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，

B＝{x|0＜x≤2}，

∴A∩B＝{1，2}．

故选：D．

3．（2020·浙江省高三二模）已知集合集合则（    ）

A．{0} B．{3} C．{0，2，3} D．

【答案】B

【解析】

因为集合，集合，

所以，

故选：B

4. （2021·湖南高三月考）已知集合，，则中的元素个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

化简集合，根据补集和交集的概念求出，可得结果.

【详解】

或，

，所以，

所以中的元素个数为.

故选：C

考点四：利用集合的运算求参数

例7.（2020·全国高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（    ）

A．–4 B．–2 C．2 D．4

【答案】B

【解析】

由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.

【详解】

求解二次不等式可得：，

求解一次不等式可得：.

由于，故：，解得：.

故选：B.

例8.已知集合， ，且，若，则实数的取值范围是(　　)

A．       B．     C．         D．

【答案】D

【解析】由于，所以，又因为B≠，所以有解得，故选D．

点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．

（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．

（3）防范空集．在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解．

【方法规律】

利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法

①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；

②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．

【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．

【变式探究】

1.（2017·江苏省高考真题）已知集合，，若，则实数的值为________

【答案】1

【解析】

由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1．

2.（2020·上海高三三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是________

【答案】

【解析】

集合，，

若，则、有公共元素，

所以

故答案为：

考点五：集合的新定义问题

例9.（2015·湖北高考真题（理））已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（    ）

A．77    B．49    C．45    D．30

【答案】C

【解析】

因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．

【方法技巧】

解决集合新定义问题的方法

(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.

(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用.

(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的.

【变式探究】

1．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合是非空集合，定义且，已知，，则=__________.

【答案】或

【解析】

如图所示：

，

因为，

所以.

故答案为：.

【方法技巧】

解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．