新高考数学一轮复习讲练测专题3.1函数的概念及其表示（讲）（含解析）

专题3.1  函数的概念及其表示

【知识清单】

1．函数的概念

2．函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.

3．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

【考点分类剖析】

考点一   函数的概念

【典例1】【多选题】（2021·浙江高一期末）在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】ACD

【解析】

根据同一函数的要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分别进行判断，得到答案.

【详解】

A选项，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，故A符合题意；

B选项，，与定义域相同，对应法则也相同，所以二者是同一函数，故B不符合题意；

C选项，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数， 故C符合题意；

D选项，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，故D符合题意；

故选：ACD.

【规律方法】

函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．

【变式探究】

（2021·浙江高一期末）下列函数中，与函数是相等函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

依次判断各个选项的解析式和定义域是否和相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果.

【详解】

的定义域为；

对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，A错误；

对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；

对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误；

对于D，，与解析式不同，不是同一函数，D错误.

故选：B.

【易混辨析】

1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．

2.从图象看，直线x=a与图象最多有一个交点.

考点二：求函数的定义域

【典例2】（2019·江苏高考真题）函数的定义域是_____.

【答案】.

【解析】

由已知得,

即

解得，

故函数的定义域为.

【典例3】（2021·全国高一课时练习）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；

（2）已知的定义域为，求的定义域；

（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

利用抽象函数的定义域求解.

【详解】

（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．

∴，

∴，

即的定义域为．

（2）由题意知中的，

∴.

又中的取值范围与中的x的取值范围相同，

∴的定义域为．

（3）∵函数的定义域为，

由，得，

∴的定义域为．

又，即，

∴函数的定义域为.

【规律方法】

1.已知函数的具体解析式求定义域的方法

(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．

(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．

2．抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

【变式探究】

1.函数的定义域为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

故答案选C

2．（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数定义域是 ，则的定义域是（    ）

A．[0,] B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为函数定义域是

所以

所以，解得：

故函数的定义域是[0,]

故选：A

【特别提醒】

求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．

高频考点三：求函数的解析式

【典例4】（2021·全国高一课时练习）已知f=x2+，则函数f(x)=_______，f（3）=_______．

【答案】    11   

【解析】

利用换元法可求出，进一步可得.

【详解】

令，则，

所以，所以，

所以.

故答案为：；.

【典例5】（2021·全国高三专题练习）如图所示，函数的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函数的解析式．

【答案】

【解析】

根据图象分段求出解析式，再写成分段的形式即可得解.

【详解】

设线段所对应的函数解析式为，

将与代入，

得，得，

所以，

同理，线段所对应的函数解析式为，

所以.

【规律方法】

1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．

2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．

3.已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法．

4.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．

5.应用题求解析式可用待定系数法求解．

【变式探究】

1.已知单调函数，对任意的都有，则(    )

A. 2    B. 4    C. 6    D. 8

【答案】C

【解析】

设，则，且，

令，则，

解得，

∴，

∴．

故选C．

2．（2021·全国高一课时练习）已知二次函数满足，．

（1）求的解析式．

（2）求在上的最大值．

【答案】（1）；（2）3．

【解析】

（1）设，，代入求解，化简求解系数．

（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．

【详解】

（1）设，，则

，

∴由题，恒成立

∴，，得，，，

∴.   

（2）由（1）可得，

所以在单调递减，在单调递增，且，

∴.

考点四：求函数的值域
【典例6】函数的值域为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

当时，，（当且仅当，即时取等号），

的值域为.

故选：.

【典例7】【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数的定义域为，值域为，则（    ）

A．函数的定义域为 B．函数的值域为

C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是

【答案】BC

【解析】

根据抽象函数的定义域即可判断选项A，根据值域为，即可判断选项B，令，

求得范围即为定义域，由可得值域，即可判断选项C，由的值域为可得，但无法判断定义域，可判断选项D，进而可得正确选项.

【详解】

对于选项A：令可得，所以函数的定义域为，

故选项A不正确；

对于选项B：因为值域为，，所以的值域为，可得函数的值域为，故选项B正确；

对于选项C：令，因为可得恒成立，所以函数的定义域为，因为，所以函数的值域为，故选项C正确；

对于选项D：若函数的值域是，则，此时无法判断其定义域是否为，故选项D不正确，

故选：BC

【典例8】（2021·浙江高一期末）函数的定义域是_________，函数的值域为__________．

【答案】       

【解析】

①由解不等式，即可求出定义域；②利用换元法，令，，将原函数转化为关于的二次函数，求值域即可.

【详解】

①由，得，解得，

故函数的定义域是.

②令，，则，

所以原函数可化为，其对称轴为，

所以函数在上单调递增，所以，

所以函数的值域为.

故答案为：①；②

【规律方法】

函数值域的常见求法：

(1)配方法

配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．

(2)数形结合法

若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法．

(3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题）

(4)利用函数的单调性

①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即

若y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则y最小＝f(a)，y最大＝f(b)；

若y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则y最小＝f(b)，y最大＝f(a)．

②形如y＝ax＋b＋的函数，若ad＞0，则用单调性求值域；若ad＜0，则用换元法．

③形如y＝x＋(k＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x＞0时，函数y＝x＋(k＞0)的单调减区间为(0，]，单调增区间为[，＋∞)．一般地，把函数y＝x＋(k＞0，x＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(，2)，至于x＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决．

*(5)导数法

利用导函数求出最值，从而确定值域．

高频考点五：分段函数及其应用

【典例9】（2021·河南新乡市·高三月考（理））如图，在正方形中，点从点出发，沿向，以每个单位的速度在正方形的边上运动；点从点出发，沿方向，以每秒个单位的速度在正方形的边上运动.点与点同时出发，运动时间为(单位：秒)，的面积为(规定共线时其面积为零，则点第一次到达点时，的图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

根据题意，分别求出当,，，对应的函数解析式，进而得答案.

【详解】

根据题意，当,的面积为；

当,的面积为；

当,的面积为；

当,的面积为；

所以

所以根据分段函数的解析式即可得在区间上的函数图像为选项A.

故选:A.

【典例10】（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数若，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

设，且，结合图象有，从而得到求解.

【详解】

函数的图象如图所示：

设，且，

则，

所以，

，

，

令，则，

其对称轴为，

所以在上递增，在上递增，

所以，，

所以的取值范围是，

故答案为：

【典例11】（2021·全国高一课时练习）对于任意的实数，表示中较小的那个数，若，，则集合_______；的最大值是_______.

【答案】    1   

【解析】

作出函数的图象，解出方程可得，由图可得，然后可得其最大值.

【详解】

函数的图象如下，

令，即

解得或

则集合

由题意及图象得

由图象知，当时，最大，最大值是1.

故答案为：，1

【典例12】（江苏高考真题）已知实数，函数，若，则a的值为________

【答案】

【解析】

分当时和当时两种分别讨论求解方程，可得答案.

【详解】

当时，，所以，

解得，不满足，舍去；

当时，，所以解得，满足.

故答案为：.

【总结提升】

1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；

2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.

【变式探究】

1.（2021·全国高一课时练习）已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（    ）

A．a2+1 B．a+

C．a- D．a-

【答案】D

【解析】

先化简函数的解析式得再分类讨论，求出每一段的最小值，即得函数的最小值.

【详解】

函数f(x)=x2+|x-a|=

当x≥a>时，

函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=-，函数在[a，+∞)上单调递增，其最小值为a2；

当x<a时，

f(x)=x2-x+a的对称轴方程为x=，当x=时函数求得最小值为a-.

因为a2-=a2-a+=>0.

所以a2>a-.

所以函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.

故选：D

2.（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x)则f（1）=_______，若f(f(0))=a，则实数a=_______.

【答案】5       

【解析】

结合函数由内到外逐层计算，可得出关于的等式，进而可解得实数的值．

【详解】

，，

所以，

解得

故答案为：5，