新高考数学一轮复习讲练测专题3.3函数的奇偶性与周期性（讲）（含解析）

专题3.3  函数的奇偶性与周期性

【知识清单】

1．函数的奇偶性

2．函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

【考点分类剖析】

考点一 ：函数奇偶性的判断

【典例1】【多选题】（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高一月考）已知函数的定义域都是R，且是奇函数，是偶函数，则（    ）

A．是奇函数 B．是奇函数

C．是偶函数 D．是偶函数

【答案】AD

【解析】

由奇偶性的定义逐一证明即可.

【详解】

对于A，，，即是奇函数，故A正确；

对于B，，，即是偶函数，故B错误；

对于C，，，即是奇函数，故C错误；

对于D，，，即是偶函数，故D正确；

故选：AD

【典例2】【多选题】（2021·浙江高一期末）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．

【详解】

解：根据题意，依次分析选项：

对于，，偶函数，且在为增函数，符合题意；

对于，，不是偶函数，不符合题意；

对于，，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意；

对于，，是偶函数，且在为增函数，符合题意；

故选：．

【知识拓展】

(1)奇、偶函数定义域的特点．

由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)奇、偶函数的对应关系的特点．

①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0)；

②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0)．

(3)函数奇偶性的三个关注点．

①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；

②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；

③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．

(4)奇、偶函数图象对称性的应用．

①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；

②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．

【变式探究】

1.（2019·天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

易知和为奇函数，为偶函数.

令，则，即且.

所以为非奇非偶函数.

故选D.

2.（2021·上海高三二模）设，则“图象经过点”是“是偶函数”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】C

【解析】

直接利用函数奇偶性的定义进行判定，结合充分条件，必要条件的定义即可判断.

【详解】

若函数图象经过点时，

则或为偶函数．

若为偶函数，

①时为奇函数，

②时为非奇非偶函数，

③时为偶函数，

∴若为偶函数时，

∴函数图象经过点是为偶函数的充要条件．

故选：C．

考点二：函数奇偶性的应用

【典例3】（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，

则当x<0时，f(x)= （  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

是奇函数，x≥0时，．

当时，，，得．故选D．

【典例4】（2021·黑龙江哈尔滨三中高三三模（文））已知函数为奇函数，当时，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由奇函数对称性可得，代入已知解析式解得.

【详解】

函数为奇函数，.

又，则，解得.

故选：B.

【典例5】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·高三三模（理））已知实数，满足，则___________.

【答案】

【解析】

由，可得，构造函数，由函数的奇偶性单调性，计算即可得出结果.

【详解】

因为，

所以，

令，则在上为单调递增的奇函数，

又，所以，所以.

故答案为：4

【总结提升】

函数奇偶性的应用

(1)求函数解析式

①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．

(2)求参数值

在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．

【变式探究】

1.（2019·江西江西师大附中高三高考模拟（文））若函数为奇函数，则实数的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

为奇函数   

当时，   

又时，   

本题正确选项：

2.【多选题】（2021·全国高一课时练习）设f(x)为偶函数，且在区间(-∞，0)内单调递增，f(-2)=0，则下列区间中使得xf(x)<0的有（    ）

A．(-1，1) B．(0，2)

C．(-2，0) D．(2，4)

【答案】CD

【解析】

由偶函数的性质以及f(-2)=f（2）=0画出函数f(x)的草图，由xf(x)<0⇒或，结合图象得出解集.

【详解】

根据题意，偶函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，又f(-2)=0，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f(-2)=f（2）=0，函数f(x)的草图如图

又由xf(x)<0⇒或

由图可得-2<x<0或x>2

即不等式的解集为(-2，0)∪(2，+∞).

故选：CD

3.（2021·上海高三二模）已知函数为奇函数，若，则___________．

【答案】

【解析】

利用奇函数的性质，代入1和-1，即可求得函数值.

【详解】

由题知：，又为奇函数，

则，

故，

故答案为：

考点三：函数周期性及其应用

【典例6】（2021·广德市实验中学高三月考（文））已知对，，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

根据已知条件先分析出为周期函数并求解出周期，然后根据周期性将转化为进行计算即可.

【详解】

∵，

∴，

∴为周期函数且一个周期为．∴．

故选：B.

结论点睛：结论点睛：周期性常用的几个结论如下：

（1）对时，若或（）恒成立，则是的一个周期；

（2）对时，若或或（）恒成立，则是的一个周期；

（3）若为偶函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数；

（4）若为奇函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数.

【典例7】（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：

甲：是奇函数；

乙：的图象关于直线对称；

丙：在区间上单调递减；

丁：函数的周期为2.

如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】D

【解析】

由函数的奇偶性、周期性、对称性之间的相互关系可知，甲、乙、丁三者中必有一个错误，结合连续函数单调性的特征可知，丙、丁互相矛盾，进而可得结果.

【详解】

由连续函数的特征知：由于区间的宽度为2，

所以在区间上单调递减与函数的周期为2相互矛盾，

即丙、丁中有一个为假命题；

若甲、乙成立，即，，

则，

所以，即函数的周期为4，

即丁为假命题.

由于只有一个假命题，则可得该命题是丁，

故选：D.

【典例8】（2020·四川省石室中学高三一模（文））已知是定义域为的奇函数，满足,若，则(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由函数是定义域为的奇函数，所以，且，

又由，即，

进而可得，所以函数是以4为周期的周期函数，

又由，可得，，

则，

所以．

故选C．

【规律方法】

1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．

2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．

【变式探究】

1.（2020·六盘山高级中学高三三模（文））奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则＝（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

【答案】B

【解析】

由题意，奇函数的定义域为R，若为偶函数，

则，

即，则，

即是周期为4的周期函数，

，

，

则，

故选：B．

2.（2019·广东高考模拟（文））已知是定义在上的奇函数，满足，且，则（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为函数满足，

所以关于直线对称，所以，

又是定义在上的奇函数，所以，

又由可得，

所以，故，

因此，函数是以4为周期的周期函数，

所以，又

因此.

故选B

3.（2019·山东高考模拟（文））已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ）

A．2019 B．0 C．1 D．-1

【答案】B

【解析】

由得：的周期为

又为奇函数

，，，

即：

本题正确选项：

考点四：函数性质的综合应用

【典例8】（2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学高三二模（文））已知函数是定义在上的奇函数，且满足，数列是首项为､公差为的等差数列，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

利用函数的对称性首先求出函数是以2为周期的函数，且，而数列的通项公式为，则可将所求转化为，再根据函数的奇偶性可得，从而有，即可求得结果.

【详解】

∵，∴，

即是以2为周期的函数，

而，∴，

又∵数列是首项为､公差为的等差数列，∴，

∴

，

又∵是定义在上的奇函数，∴，

而，∴，∴，

∴.

故选：B.

【典例9】（2020·山西省高三其他（文））已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以，

则为，

因为函数在区间上单调递增，所以，解得，

则a的取值范围是，

故选：C.

【典例10】【多选题】（2020·山东省高三其他）已知偶函数满足，则下列说法正确的是（    ）．

A．函数是以2为周期的周期函数 B．函数是以4为周期的周期函数

C．函数为奇函数 D．函数为偶函数

【答案】BC

【解析】

对于选项,∵函数为偶函数，∴．

∵，

∴，

则，即，

∴，

故函数是周期为4的周期函数，由此可知选项A错误，选项B正确；

对于选项,令，则．

在中，将换为，得，

∴，∴，

则函数为奇函数，所以选项C正确．

对于选项,由题意不妨取满足条件的函数，

则为奇函数，

所以选项D错误．

故选：BC.

【典例11】（2020·重庆高三其他（文））定义在R上的奇函数满足：，且当时，，若，则实数m的值为（    ）

A．2 B．1 C．0 D．-1

【答案】B

【解析】

由为奇函数知，

∴，即，

∴，∴是周期为3的周期函数，

故，即，∴.

故选：B.

【典例12】（2021·湖南高三三模）函数的定义域为D，对D内的任意，当时，恒有，则称为非减函数．已知是定义域为的非减函数，且满足：①对任意，．②对任意．则的值为________．

【答案】2

【解析】

分析所给条件，得到的函数图像在关于对称，再由任意得出且，又为非减函数即可求得时，必有，据此即可得解.

【详解】

根据题意，由对任意，，

则的函数图像在关于对称，

令可得，

又因为对任意，

所以，又因为且是定义域为的非减函数，

所以当时，必有，

又由于的函数图像关于对称，

所以时，也有，

，

故答案为：2.

【规律方法】

函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略

(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．

（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．

【变式探究】

1.（2020·山西省高三其他（文））已知函数，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

，

由的解析式可知，在上是奇函数且单调递增，为偶函数，

当时，有，

任取，则，由不等式的性质可得，

即，所以，函数在上递增

再由，得，得

即，解得．

故选：B．

2.（2019·梅州市梅县区松口中学高三月考（理））设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（  ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

是R的偶函数，．

，

又在(0，+∞)单调递减，

∴，

，故选C．

3.（2020·广西壮族自治区南宁三中高三月考（文））定义在上的奇函数满足，当时，，则在上(    )

A．是减函数，且 B．是增函数，且

C．是减函数，且 D．是增函数，且

【答案】B

【解析】

定义在上的奇函数满足，

∴，

∴，即函数周期是4.

在上的图象和在上的图象相同，

当时，，

∴此时单调递增，且.

∵是奇函数，

∴当时，单调递增，且，

即当时，单调递增，且，

故选:B.

4.（2020·江西省高三其他（理））已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为____．

【答案】

【解析】

函数是定义域为的偶函数，

可转化为，

又在上单调递增，

，两边平方解得： ，

故的解集为．