新高考数学一轮复习讲练测专题3.7函数的图象（讲）（含解析）

专题3.7  函数的图象

【知识清单】

1．利用描点法作函数的图象

步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；

y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；

y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；

y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.

(3)伸缩变换

y＝f(x)y＝f(ax).

y＝f(x)y＝Af(x).

(4)翻转变换

y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；

y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.

【考点分类剖析】

考点一 ：作图

【典例1】（2021·全国高一课时练习）在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，并利用图象求不等式的解集．

【答案】作图见解析；．

【解析】

根据幂函数与一次函数的性质，画出两函数的图象，结合图象，即可求解.

【详解】

由题意，函数与，画出图象，如图所示：

根据，解得．

利用图象知不等式的解集．

【典例2】(2018年全国卷Ⅲ理)设函数．

（1）画出的图象；

（2）当，，求的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1） 的图象如图所示．

（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．

【规律方法】

函数图象的画法

(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．

(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．

【变式探究】

1.（2020·全国高一）已知是定义在上的奇函数，且当时，

（1）在给定坐标系下画出的图像，并写出的单调区间.

（2）求出的解析式.

【答案】（1）图像见详解，单调递减区间为，单调递增区间为，；

（2）

【解析】

（1）的图像如图所示：

可得其单调递减区间为，单调递增区间为，；

（2）当时，，且为奇函数，

可得当时，

故可得的解析式为：.

2.（2020·全国高一）在学习函数时，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题“的学习过程，在画函数图象时，我们通过列表、描点、连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习过绝对值的意义．

结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：

在函数中，当时，；当时，．

（1）求这个函数的表达式；

（2）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出此函数的图象并写出这个函数的两条性质；

（3）在图中作出函数的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．

【答案】（1）；（2）图象、性质见解析；（3）．

【解析】

（1）将点、的坐标代入函数的解析式，得，解得,

所以，函数的解析式为；

（2）图象如下：

函数的图象关于直线对称，该函数的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为；

（3）图象如下，

观察图象可得不等式的解集为：．

考点二：图象的变换

【典例3】（2021·浙江绍兴市·高三三模）函数的图象可能是（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】B

【解析】

根据，得到的图象关于对称，再利用特殊值判断.

【详解】

因为，

所以的图象关于对称，

又，

故选：B

【典例4】分别画出下列函数的图象：

【答案】见解析

【解析】 (1)首先作出y＝lg x的图象C1，然后将C1向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y＝|lg(x－1)|.如图1所示(实线部分).

(2)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图2所示.

(3) 第一步作y＝lgx的图像．

第二步将y＝lgx的图像沿y轴对折后与原图像，同为y＝lg|x|的图像．

第三步将y＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得y＝lg|x－1|的图像

第四步将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上翻折，得的图像，如图3．

【规律方法】

1．平移变换

当m>0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到．

2．对称(翻折)变换

y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于y轴上方的部分不变，而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到．

【变式探究】

1.（2021·北京高三二模）已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.

【详解】

由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数，

又因为，所以，，整理可得，

因为且，解得.

故选：D.

2．（2020·上海高一课时练习）已知的图像如图①，则的图像是_________；的图像是_________；的图像是_________；的图像是________．

【答案】④    ③    ⑤    ②   

【解析】

因为的图像与的图像关于轴对称，故的图像是④

因为的图像与的图像关于轴对称，故的图像是③

当时，的图像与的图像相同，然后是偶函数，

故的图像是⑤

保留图像在轴上方的部分，将轴下方的部分翻折到轴上方，得到的图像就是的图像

故的图像是②

故答案为：④，③，⑤，②

考点三：图象的识别

【典例5】（2021·四川高三三模（理））函数及，则及的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

讨论、确定的单调性和定义域、在y轴上的截距，再讨论、，结合的单调性，即可确定函数的可能图象.

【详解】

当时，单调递减，单调递减，所以单调递增且定义域为，此时与y轴的截距在上，排除C.

当时，单调递减，单调递增，所以单调递减且定义域为，此时与y轴的截距在上.

∴当时，单调递增；当时，单调递减，故只有B符合要求.

故选：B.

【典例6】（2019·全国高考真题（理））函数在的图像大致为

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．

【典例7】（2021·云南高三三模（理））函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

判断图像类问题，首先求定义域，其次判断函数的奇偶性；再次通过图像或函数表达式找特殊值代入求值，时，即，此时只能是；也可通过单调性来判断图像.主要是通过排除法得解.

【详解】

函数的定义域为，

因为，

并且，

所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除；

当时，即，此时只能是，

而的根是，可排除.

故选:

【总结提升】

识图的三种常用方法

1．抓住函数的性质，定性分析：

（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；

（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

2．抓住函数的特征，定量计算：

从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．

3．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：

(1)根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；

(2)根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．

【变式探究】

1.（2021·全国高三其他模拟（文））函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

根据函数奇偶性排除AB，利用时函数值的为正排除C，即可求解.

【详解】

由题可得函数的定义域为，且，

所以函数是奇函数，由此可排除选项A、B；

当时，，由此可排除选项C，

故选：D

2.（2019·山东济南外国语学校高考模拟（文））若函数在R上为减函数，则函数的图象可以是(     )

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【解析】

由函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，

故0＜a＜1．函数y＝loga（|x|﹣1）是偶函数，定义域为x＞1或x＜﹣1，

函数y＝loga（|x|﹣1）的图象，x＞1时是把函数y＝logax的图象向右平移1个单位得到的，

故选：D．

3. （山东省高考真题）函数的图象大致是（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

因为2、4是函数的零点，所以排除B、C；

因为时，所以排除D,故选A

考点四：从图象到解析式

【典例8】（2021·河南高三月考（理））已知函数，，则下列图象对应的函数可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

A.当时，，不符合题意；

B.其图象不关于轴对称，不符合题意；

C.其图象不关于轴对称，不符合题意；

D.其图象关于轴对称，当时，，符合题意.

【详解】

A.，当时，，不符合题意；

B.，其图象不关于轴对称，不符合题意；

C.，其图象不关于轴对称，不符合题意；

D.，其图象关于轴对称，当时，，符合题意.

故选：D.

【典例9】（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数与的部分图象如图1，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

根据奇函数、偶函数的图象特征，结合奇偶函数的性质逐一判断即可.

【详解】

由图1可知：函数关于纵轴对称，因此该函数是偶函数，即.

函数的图象关于原点对称，因此该函数是奇函数，即.

由图2可知：该函数关于原点对称，因此该函数是奇函数.

A：设，因为，

所以是偶函数，不符合题意；

B：设，因为，

所以是奇函数，符合题意；

C：设，因为，

所以是偶函数，不符合题意；

D：由图1可知：，因为函数在时没有意义，故不符合题意，

故选：B

【规律方法】

根据图象找解析式，一般先找差异，再验证.

【变式探究】

1．（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】B

【解析】

利用指数函数的图象与性质即可得出结果.

【详解】

根据函数与关于对称，可知①④正确，

函数为单调递增函数，故③正确.

所以②不是已知函数图象.

故选：B

2.（2021·福建高三三模）若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案

【详解】

解：由图可知，当时，，

取，则对于B，，所以排除B，对于D，，所以排除D，

当时，对于A，，此函数是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以时，恒成立，而图中，当 时，可以小于1，所以排除A,

故选：C

考点四：用图

【典例10】（山东省春季真题））奇函数的局部图像如图所示，则（   ）

A.     B.

C.     D.

【答案】A

【解析】因为奇函数，所以,

因为>0>，所以,即，

选A.

【典例11】（2021·吉林白山市·高三三模（理））如图，函数的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，的零点为，若不等式对恒成立，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

由条件可知，的图象是由向左平移个单位长度得到，再利用数形结合，分析图象的临界条件，得到的取值范围.

【详解】

当时，，图象过点和，即，

解得：，，即，

当时，设抛物线，代入点得，，即，

所以 ，

的图象是由向左平移个单位长度得到，因为，对恒成立，所以的图象恒在的上方，当两图象如图所示，相切时，

抛物线，，

与直线相切，即，解得：，，

切点代入得，

得，所以，解得：或.

故选：A

【典例12】（2019·北京高考模拟（理））已知函数f（x）=2x（x＜0）与g（x）=ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

在同一直角坐标系中作出函数f（x）=2x（x＜0）与g（x）=ln（x+a）的图象，

当y=lnx向左平移a（a＞0）个单位长度，恰好过（0，1）时，函数f（x）与g（x）就不存在关于y轴对称的点，所以0＜a＜e，

当y=lnx向右平移（a＜0）个单位长度，函数f（x）与g（x）总存在关于y轴对称的点，

当a=0时，显然满足题意，综上：a＜e，

故选：B．

【典例13】（2020·全国高三其他（文））已知函数在区间的值域为，则（   ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【解析】

在上为奇函数，图象关于原点对称，是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以图象关于对称，则，故选.

【总结提升】

函数图象应用的常见题型与求解策略

【变式探究】

1.（2019·陕西高考模拟（理））已知函数，若且，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，

∵1＜a＜b且f（a）＝f（b），

则b＞2，1＜a＜2，

∴，即，

可得：ab﹣a﹣b＝0．

那么：a．

则2a+b，当且仅当b时取等号．满足b＞2，

故选：A．

2.（2019·四川高三高考模拟（理））已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有解的和为（　　）

A． B．1 C．3 D．5

【答案】C

【解析】

∵是定义在R上的奇函数，且当时，

∴当时，

则

即

则

作出的图象如图：

∵的图象与的图象关于对称

∴作出的图象，由图象知与的图象有三个交点

即有三个根，其中一个根为1，另外两个根a，b关于对称

即

则所有解的和为

故选：C．

3. （2021·全国高三其他模拟）已知定义域为的函数的部分图像如图所示，且，函数，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】

由题意可得是偶函数，然后结合单调性可解出答案.

【详解】

由题意知，且函数的定义域为，所以是偶函数．

由图知，且函数在上为增函数，

则不等式等价于，即，

所以，解得．

故实数的取值范围为．

故答案为：

4．（2020·浙江省高一期末）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

关于的不等式在上有解，即关于的不等式在上有解，作出两函数图象，其中由与相切得；

由过点得.

由图可知，

故答案为：