新高考数学一轮复习讲练测专题4.1导数的概念、运算及导数的几何意义（讲）（含解析）

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专题4.1   导数的概念、运算及导数的几何意义新课程考试要求1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义.2. 会用基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（限于形如)的导数）.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象（例11）、逻辑推理（例1）、数学建模、直观想象（例5）、数学运算（多例）、数据分析等.考向预测（1）导数的运算将依然以工具的形式考查；（2）单独考查导数的运算题目极少.对导数的运算的考查，主要通过考查导数的几何意义、导数的应用来体现.（3）对导数的几何意义的考查，主要有选择题、填空题，也有作为解答题的第一问.常见的命题角度有：①求切线斜率、倾斜角、切线方程．②确定切点坐标问题．③已知切线问题求参数．④切线的综合应用．【知识清单】知识点1．导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.2．函数f(x)的导函数称函数为f(x)的导函数．知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1. 基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sin xf′(x)＝cosxf(x)＝cos xf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝ln xf′(x)＝2．导数的运算法则（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)． (4) 复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．知识点3．函数在处的导数几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．【考点分类剖析】考点一  导数的计算【典例1】（2021·河北石家庄市·高三二模）已知函数，其中，，，，为的导函数．若存在使得成立，则的最大值为__________．【答案】【解析】令，，可将化为，由此确定的范围；根据能成立的方程可构造不等式组，解不等式组可求得，从而利用三角函数值域的求解方法可求得所求最大值.【详解】，可设，，，，存在使得，，，，，当时，取得最大值.故答案为：.【典例2】（2021·内蒙古包头市·高三二模（文））设函数，若，则______．【答案】2【解析】先对求导，将代入即可求解.【详解】由可得，，所以，解得.故答案为：2.【规律方法】1.求函数导数的一般原则如下：(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.2.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决.①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.【变式探究】1. （2021·四川攀枝花市·高三一模（文））已知函数，则（    ）A． B． C．6 D．14【答案】C【解析】求导，代入，求得，然后将代入原函数求得函数值.【详解】，则，则，故选：C2．（2021·江苏常州市·高三一模）已知函数的导函数为，则__________；若，则__________．【答案】1；        【解析】求出，令可求；利用对数的运算性质对变形可求.【详解】解：，，令，得；，，.故答案为：1；.【总结提升】(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．高频考点二   求曲线的切线方程【典例3】（2019·全国高考真题（文））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．【典例4】（2021·河北高三其他模拟）已知是定义在上的奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】由奇函数的定义可得x＜0时f（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程．【详解】由是上的奇函数，当x＜0时，,f（x）＝f（﹣x）＝，则，可得，f（﹣1）＝0，故在处的切线方程为y﹣0＝（x+1），即x-y+1＝0，故答案为：．【规律方法】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．【变式探究】1.（2019·天津高考真题（文）） 曲线在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】，当时其值为，故所求的切线方程为，即。2. （2021·陕西西安市·交大附中高三其他模拟（理））曲线在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】根据求导法得出点处切线的斜率，再根据点的坐标，由点斜式得到该切线方程.【详解】，，，又，所求的切线方程为，即，故答案为：.【易错提醒】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．高频考点三：求切点坐标【典例5】（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为，若直线与抛物线相切于点，则点的坐标是___________.【答案】【解析】设出M的坐标，求出切线斜率，利用斜率公式求出的坐标，根据圆的性质建立方程进行求解即可.【详解】设，抛物线的焦点坐标，如图，过，，三点的圆的圆心为，圆心的纵坐标为，设，直线与抛物线相切于点，导数，即在处的切线斜率，即的斜率，即，即，得，即，，，，即，得，得或（舍，解得．，，，，即的坐标为，，故答案为：，．【典例6】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.【答案】.【解析】设点，则.又，当时，，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【方法总结】已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.【变式探究】1．（2021·重庆高三其他模拟）曲线在点处的切线恰好经过坐标原点，则___________.【答案】1【解析】先求出的导函数，则，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，即可得出答案.【详解】，则则切线方程为，代入原点可得：，即，解得（负根舍去）故答案为：12．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线上点P处的切线垂直，则点P的坐标为         ．【答案】（1，1）【解析】∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex.∴曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.设P(x0，y0)(x0＞0)，∵函数的导函数为，∴曲线在点P处的切线的斜率，由题意知k1k2＝－1，即1·（）＝－1，解得x＝1，又x0＞0，∴x0＝1.又∵点P在曲线上，∴y0＝1，故点P的坐标为(1,1).高频考点四：求参数的值(范围)
【典例7】（2021·全国高三其他模拟（理））与曲线和都相切的直线与直线垂直，则b的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求出直线的方程，再求出直线与曲线相切的切点坐标即可得解.【详解】因直线与直线垂直，则直线的斜率为3，设直线与曲线相切的切点，而，则，得，即直线过点(1，0)，方程为y=3x-3，设直线与曲线相切的切点P，有，由得，从而有点，而点P在直线：y=3x-3上，即，解得.故选：D【典例8】（2020届山东省青岛市三模）【多选题】已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（    ）A． B．3 C． D．【答案】AC【解析】由题可知，，则，可令切点的横坐标为，且，可得切线斜率，由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，且可知，则，即，解得：，的取值可能为，.故选：AC.【规律方法】根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．【变式探究】1. （2018年全国卷Ⅲ理）曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】【解析】则所以故答案为-3.2.（2020·山东省泰安市模拟）若曲线在点处的切线与直线平行，则_________.【答案】【解析】因为.所以,所以 .因为曲线在点处的切线与直线平行,即.故答案为:.考点五：切线的斜率与倾斜角【典例9】（2021·山东济南市·高三其他模拟）函数的图像的切线斜率可能为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】求出函数的导数，判断出导函数的范围，即可得答案【详解】解：由，得，因为，，所以，所以函数的图像的切线斜率大于，故选：A【典例10】（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为___________.【答案】【解析】利用导数求得，然后利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得的值.【详解】，则，故，故.故答案为：.【变式探究】1．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】先设切点，根据导数的几何意义求切线方程，再代入点M，得到A，均满足得到一元二次方程，即得到直线的方程和斜率，结合斜率为2解得参数即可.【详解】抛物线，即，则由切线斜率，设切点，则，又，所以切线方程为，即 ，同理切线方程为，两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为，故.故选：C.2．（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．【答案】【解析】设切点坐标为，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入，求切点坐标，切线的斜率．【详解】由，设切线斜率为，切点横坐标为，则，得，所以故答案为：考点六：导数的概念【典例11】（2021·河南新乡市·高三三模（文））已知函数，若，则（    ）A．36 B．12 C．4 D．2【答案】C【解析】根据函数在处的导数的定义将变形为即可求解.【详解】解：根据题意，，则，则，若，则，则有，即，故选：C.【规律方法】1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：①求函数的增量；②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限.2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数【变式探究】若，则（     ）A．                B．              C．               D．【答案】B【解析】法一（注重导数概念的应用的解法）：因为，所以，选B；法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为，所以（其中：），故选B.