新高考数学一轮复习讲练教案8.5 双曲线（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习讲练教案8.5 双曲线（含解析），共25页。

第五节　双曲线
核心素养立意下的命题导向
1.结合双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2．结合双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，考查求相关量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．


[理清主干知识]
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形


性 质
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2是双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2是双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a是双曲线的实半轴长，b是双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
3．常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)等轴双曲线
①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
②性质：a＝b；e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
(4)共轭双曲线
①定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．
②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.

[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(双曲线的定义)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且|PF1|＝5，则|PF2|＝(　　)
A．5　　　　　　　　　 B．3
C．7 D．3或7
解析：选D　∵||PF1|－|PF2||＝2，∴|PF2|＝7或3.
2．(双曲线的实轴)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选C　双曲线2x2－y2＝8的标准方程为－＝1，故实轴长为4.
3．(双曲线的渐近线)若双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线方程为3x＋2y＝0，则实数m＝(　　)
A. B．
C. D．
答案：A
4．(双曲线的标准方程)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为__________．
解析：设所求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由椭圆＋＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．
所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．
所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线标准方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
5．(双曲线的离心率)若双曲线－＝1(a＞0)的离心率为，则a＝________.
解析：设焦距为2c，则＝，即c2＝a2.由c2＝a2＋4得a2＝a2＋4，所以a2＝16，所以a＝4.
答案：4
二、易错点练清
1．(忽视双曲线定义的条件)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________________．
解析：由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1的下支．
答案：双曲线－＝1的下支
2．(忽视双曲线上的点到原点的最小距离)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
解析：设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，
则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，
又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝－1>2，故|PF2|＝6.
答案：6
3．(忽视焦点的位置)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．
解析：若双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线的方程为－＝1，
则渐近线的方程为y＝±x，
由题意可得＝tan＝，b＝a，可得c＝2a，
则e＝＝2；若双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线的方程为－＝1，
则渐近线的方程为y＝±x，
由题意可得＝tan＝，a＝b，
可得c＝a，则e＝.综上可得e＝2或e＝.
答案：2或

考点一　双曲线的定义及其应用
考法(一)　利用定义求轨迹方程
[例1]　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
[解析]　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2<6.
这表明动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义知，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，且a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
[答案]　x2－＝1(x≤－1)
考法(二)　求解“焦点三角形”问题
[例2]　已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．4
C．6 D．8
[解析]　由双曲线的方程得a＝1，c＝，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|
＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4.
[答案]　B
考法(三)　利用定义求最值
[例3]　已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[解析]　因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9.
[答案]　9
[方法技巧]
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[提醒]　在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．　　
[针对训练]
1．已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3图象上的点，则|OP|＝(　　)
A. B．
C. D．
解析：选D　由|PA|－|PB|＝2<|AB|＝4，知点P的轨迹是双曲线的右支，点P的轨迹方程为x2－＝1(x≥1)，又y＝3，所以x2＝，y2＝，所以|OP|＝＝ ＝，故选D.
2．(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)
A. B．3
C. D．2
解析：选B　法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2,0)，F2(2,0)．
又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，
所以△PF1F2是直角三角形，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.
不妨令点P在双曲线C的右支上，
则有|PF1|－|PF2|＝2，
两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，
所以|PF1|·|PF2|＝6，
则S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6＝3，故选B.
法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，
则由题意可知F1(－2,0)，F2(2,0)．
又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，
所以△PF1F2是直角三角形，所以S△PF1F2＝＝＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故选B.
考点二　双曲线的标准方程
[典例]　(1)经过点M(2，2)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　)
A.－＝1　　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D．－＝1
(2)已知曲线C的方程为－＝1(k∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4＋
B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为
C．存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
D．当k＝3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9相切
[解析]　(1)设所求双曲线的方程为－＝λ，将点M(2，2)代入得－＝λ，解得λ＝－6，所以双曲线方程为－＝1，故选D.
(2)对于A，当k＝8时，曲线C的方程为＋＝1，轨迹为椭圆，焦距2c＝2＝4，A错误；对于B，当k＝2时，曲线C的方程为－＝1，轨迹为双曲线，则a＝，c＝，∴离心率e＝＝，B正确；对于C，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解集为空集，∴不存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线，C错误；对于D，当k＝3时，曲线C的方程为－＝1，其渐近线方程为y＝±x，则圆(x－4)2＋y2＝9的圆心到渐近线的距离d＝＝＝≠3，∴双曲线的渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9不相切，D错误．故选B.
[答案]　(1)D　(2)B
[方法技巧]　待定系数法求双曲线方程的5种类型

类型一
与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)
类型二
若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)
类型三
与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)
类型四
过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)
类型五
与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2)

[针对训练]
1．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为(－3,0)，且C的离心率为，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：选C　由题意，可得c＝3，又由e＝＝，∴a＝2，
又b2＝32－22＝5，故C的方程为－＝1，故选C.
2．(2020·天津高考)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B．x2－＝1
C.－y2＝1 D．x2－y2＝1
解析：选D　法一：由题知y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，则过焦点和点(0，b)的直线方程为x＋＝1，而－＝1的渐近线方程为＋＝0和－＝0，由l与一条渐近线平行，与另一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1，故选D.
法二：由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直，则a＝b，即渐近线方程为x±y＝0，排除B、C.又知y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，l过点(1,0)，(0，b)，所以＝－1，b＝1，故选D.
考点三　双曲线的几何性质
考法(一)　求双曲线的渐近线方程
[例1]　(1)(2021·湖南长沙模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为双曲线上一点，若cos∠F1MF2＝，|MF1|＝2|MF2|，则此双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
(2)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)
A. B．3
C．2 D．4
[解析]　(1)由题意，得|MF1|－|MF2|＝2a，
又|MF1|＝2|MF2|，∴|MF1|＝4a，|MF2|＝2a，
∴cos∠F1MF2＝＝，
化简得c2＝4a2，即a2＋b2＝4a2，∴b2＝3a2，
又a>0，b>0，∴＝，
∴此双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.
(2)法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.故选B.
法二：因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则 ∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，
由得
所以M，所以|OM|＝ ＝，
所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.
[答案]　(1)A　(2)B
[方法技巧]
涉及双曲线渐近线的几个常用结论
(1)求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x，或令－＝0，得y＝±x.
(2)已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
[提醒]　两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称．　

考法(二)　求双曲线的离心率
[例2]　(1)若双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝1无交点，则C的离心率的取值范围为(　　)
A. B．
C. D．
(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
[解析]　(1)∵双曲线渐近线为bx±ay＝0与圆(x－3)2＋y2＝1无交点，
∴圆心到渐近线的距离大于半径，即＞1，
∴8b2＞a2，∴8(c2－a2)＞a2，即8c2>9a2，
∴e＝＞.故选C.
(2)法一：由＝，得A为F1B的中点．
又∵O为F1F2的中点，
∴OA∥BF2.
又·＝0，∴∠F1BF2＝90°.
∴|OF2|＝|OB|，
∴∠OBF2＝∠OF2B.
又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，
∴△OBF2为等边三角形．
如图所示，不妨设B为.
∵点B在直线y＝－x上，∴＝，
∴离心率e＝＝＝2.

法二：∵·＝0，∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c.如图，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得＝，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c,0)．
又∵＝，∴A为F1B的中点．
∴OA∥F2B，∴＝，∴c＝2a，∴离心率e＝＝2.
[答案]　(1)C　(2)2
[方法技巧]
1．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．
(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．
(4)通过特殊位置求出离心率．
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k>0时，k＝＝＝ ＝；当k<0时，k＝－＝－.　　
考法(三)　与双曲线有关的范围、最值问题
[例3]　(2021·晋中模拟)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若· <0，则y0的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
[解析]　由题意知a＝，b＝1，c＝，
设F1(－，0)，F2(，0)，
则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
因为·<0，所以(－－x0)(－x0)＋y<0，
即x－3＋y<0.
因为点M(x0，y0)在双曲线C上，
所以－y＝1，即x＝2＋2y，
所以2＋2y－3＋y<0，所以－ [答案]　A
[方法技巧]
1．求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法
(1)几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解．
(2)代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解．
(3)不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解．
2．解决与双曲线有关的范围(或最值)问题时的注意点
(1)双曲线上本身就存在最值问题，如异支双曲线上两点间的最短距离为2a(实轴长)．
(2)双曲线上的点到定点的距离最值，常用两点间的距离公式转化为区间上的最值问题，有时也用双曲线的参数方程转化为三角函数的最值问题．
(3)双曲线上的点到定直线的距离的最值解法同(2)所述，或用平行切线法．
(4)点在双曲线上，求相关式子(目标函数)的取值范围，常用参数方程转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识，或引入一个参数转化为函数问题解决．
(5)由直线和双曲线的位置关系，求直线或双曲线中某个参数的范围，常把所求参数作为函数中的因变量来求解．
(6)所构建的函数关系式中变量的取值范围往往受到双曲线自变量范围的影响．　　
[针对训练]
1．(多选)已知双曲线C过点(3，)，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)
A．C的方程为－y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点
解析：选AC　∵双曲线C过点(3，)，且渐近线方程为y＝±x，∴设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
∴－＝＝λ，
∴－＝，∴－y2＝1，∴A正确．
∴离心率e＝＝＝，∴B错误．
∵双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，
而曲线y＝ex－2－1经过点(2,0)，∴C正确．
联立得y2－2y＋2＝0.
Δ＝(－2)2－4×1×2＝8－8＝0.
∴直线x－y－1＝0与C只有一个公共点，
∴D错误，故选A、C.
2．(2021·安徽示范高中联考)已知直线l：y＝kx＋2过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，且与圆x2＋y2＝8交于点M，N，若|MN|≥2，则双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1， ] B．
C. D．[，＋∞)
解析：选C　设圆心到直线l的距离为d(d>0)，
因为|MN|≥2，所以2≥2，即0 又d＝，所以≤，
解得|k|≥.
由直线l：y＝kx＋2过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，得|k|＝.
所以≥，即≥，所以≥，
即1－≥，所以e≥，
于是双曲线的离心率e的取值范围是.
3．(2020·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
解析：设B(c，yB)，因为B为双曲线C：－＝1上的点，所以－＝1，所以y＝.因为AB的斜率为3，所以yB＝，＝3，所以b2＝3ac－3a2，所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝2a或c＝a(舍去)，所以C的离心率e＝＝2.
答案：2
4．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若的最大值为，则双曲线的渐近线斜率的取值范围为________．
解析：∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴＝＝＝≤＝，
当且仅当|PF2|＝，即|PF2|＝2a时，等号成立，此时|PF1|＝4a.∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即有6a≥2c，
∴9a2≥c2，∴8a2≥b2，解得0<≤2，
∴－2≤－<0.则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是[－2，0)∪(0,2]．
答案：[－2，0)∪(0,2]

一、创新思维角度——融会贯通学妙法
求双曲线离心率的方法
方法(一)　直接法
[例1]　下列曲线中，离心率为的是(　　)
A.－＝1　　　　　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D．－＝1
[解析]　依据双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率公式e＝可直接判断，选项B中，a2＝4，b2＝2，所以c2＝6，即a＝2，c＝，离心率e＝＝，故选B.
[答案]　B
[名师微点]
利用已知条件直接求出a，c的值，代入离心率公式e＝求解．　　
方法(二)　利用渐近线方程
[例2]　在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为________．
[解析]　由题意知＝，即b2＝3a2，
所以c2＝a2＋b2＝4a2，所以e＝＝2.
[答案]　2
[名师微点]
根据双曲线的渐近线与离心率之间的关系，可以利用渐近线方程中的确定双曲线的离心率e＝＝ .　　
方法(三)　利用双曲线的定义
[例3]　设F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为________．
[解析]　因为∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，所以10a2＝4c2，即＝，故e＝＝.
[答案]　
[名师微点]
双曲线上的点A与两个焦点构成一个直角三角形，结合直角三角形的属性和双曲线的定义，建立关系即可求出双曲线的离心率．　　
方法(四)　利用关于a，c的齐次方式
[例4]　已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　　　 B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
[解析]　若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.
[答案]　B
[名师微点]
根据题意建立a，c之间的关系，结合e＝建立关于e的一元二次方程或不等式求解．　　

二、创新考查方式——领悟高考新动向

1.一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔(如图所示)．作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M(长杆OB绕O转动)，画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为(　　)
A.　　　　 B. C.　　　　 D.
解析：选D　设|MB|＝t，则由题意，可得|MO|＝12－t，|MA|＝8－t，有|MO|－|MA|＝4＜|AO|＝10，由双曲线的定义可得动点M的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的焦距2c＝10，实轴长2a＝4，即c＝5，a＝2，所以e＝＝.故选D.
2．(多选)对于渐近线方程为x±y＝0的双曲线，下列结论正确的是(　　)
A．实轴长与虚轴长相等
B．离心率是
C．过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等
D．顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离的比值为
解析：选ABC　依题意，不妨设渐近线方程为x±y＝0的双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因此实轴长与虚轴长均为2，所以A正确；由于实轴长与虚轴长相等，所以离心率为，所以B正确；过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为2，而双曲线的实轴长也为2，所以C正确；由相似三角形可知，顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离的比值为＝，所以D错误．故选A、B、C.
3.青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一．如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的最小直径为16 cm，瓶口直径为20 cm，瓶高20 cm，则该双曲线的离心率为________．
解析：以花瓶最细处所在直线为x轴，花瓶的竖直对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意可知a＝8，图中的A点坐标为(10,10)．将a＝8，(10,10)代入双曲线方程，可得b＝，所以＝，所以e＝＝.
答案：

一、基础练——练手感熟练度
1．双曲线－y2＝1的实轴长为(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．2
C．2 D．2
解析：选D　由题知a2＝2，∴a＝，故实轴长为2a＝2，故选D.
2．双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：选C　双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0，整理得y2＝2x2，
解得y＝±x，故选C.
3．已知双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为x±y＝0，则b＝(　　)
A．2 B．
C. D．12
解析：选A　因为双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，又渐近线方程为y＝±x，所以＝，b＝2，故选A.
4．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，一条渐近线为y＝x，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选A　因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，所以2b＝4，b＝2，
因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，所以＝⇒a＝2b＝4，
所以双曲线M的方程为－＝1，故选A.
5．若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1,2)
解析：选C　由题意得双曲线的离心率e＝，
即e2＝＝1＋.
∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.
6．(2020·北京高考)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．
解析：双曲线C：－＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3,0)．C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，即x±y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝＝.
答案：(3,0)　

二、综合练——练思维敏锐度
1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
解析：选D　由0 2．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)
A．± B．±
C．±1 D．±
解析：选C　由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C.∵A1B⊥A2C，∴·＝－1，整理得a＝b.∵渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.
3．已知双曲线－＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则 △APF周长的最小值为(　　)
A．4(1＋) B．4＋
C．2(＋) D．＋3
解析：选A　设双曲线的左焦点为F′，易得点F(，0)，△APF的周长l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使△APF的周长最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知当A，P，F′三点共线时取到最小值，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋)．故选A.
4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B．－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选D　因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D.
5．(2020·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：选B　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.
6．已知双曲线C：－＝1的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
解析：选D　由－＝0可得y＝±x，即渐近线的方程为y＝±x，又一条渐近线l的倾斜角为，
所以＝tan＝.
因为双曲线C的一个焦点(c,0)到l的距离为，
所以＝b＝，
所以a＝1，
所以双曲线的方程为x2－＝1.
7．(2021·黄山一诊)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1等于(　　)
A. B．
C. D．
解析：选C　因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝2a，所以cos∠AF2F1＝＝＝，故选C.
8．(多选)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则下列说法正确的是(　　)
A．|F2P|＝b
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为y＝±x
D．点P在直线x＝a上
解析：选ABD　由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，
设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(a>0，b>0，c>0)，
因为过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，
所以|F2P|＝＝＝b，故A正确；
因为|OP|＝＝＝a，所以|PF1|＝|OP|＝a，cos∠F1OP＝cos(180°－∠F2OP)＝－cos∠F2OP＝－＝－，
在三角形OPF1中，根据余弦定理可知cos∠F1OP＝＝＝－，解得3a2＝c2，即离心率e＝或e＝－(舍去)，故B正确；
因为e＝ ＝，解得＝，所以渐近线的方程为y＝±x，故C错误；
因为点P在直线y＝x上，可设P(x，x)(x>0)，由|OP|＝a可知，|OP|＝＝x＝a，解得x＝a，故D正确．
9．已知双曲线C：－＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为P，Q，若△POQ为直角三角形，则|PQ|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C　对于双曲线C：－＝1，右焦点为F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，由过点F的直线交两渐近线于P，Q，不妨设点P在第一象限，点Q在第四象限，∠OPQ＝90°，如图所示，
则在Rt△POQ中，∠POQ＝60°.
又∠POF＝30°，|OF|＝4，∴|OP|＝2，
∴|PQ|＝|OP|＝6.故选C.
10．已知曲线＋＝1，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是________；当曲线表示双曲线时k的取值范围是________．
解析：当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2－k＞2，
所以k＜－1或k＞2；
当曲线表示双曲线时，k2－k＜0，所以0＜k＜1.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)　(0,1)
11．若点P是以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则|PA|＋|PB|＝________.
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|＞|PB|.
因为点P是双曲线与圆的交点，
所以由双曲线的定义知，|PA|－|PB|＝2，①
又|PA|2＋|PB|2＝36，②
联立①②化简得2|PA|·|PB|＝16，
所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝2.
答案：2
12．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若S△AOB＝2，则双曲线的离心率e＝________.
解析：由题意，知抛物线的准线方程是x＝－1，双曲线的渐近线方程是y＝±x.当x＝－1时，y＝±，即A，B或A，B.所以S△AOB＝×2××1＝2，即＝2，所以e＝ ＝.
答案：
13．已知双曲线C：x2－＝1，过左焦点F1的直线l与双曲线C的左支以及渐近线y＝2x交于A，B两点，若F1A―→＝AB―→，求直线l的斜率．
解：由题意知，双曲线C的左焦点F1(－3，0)，故设直线l的方程为y＝k(x＋3)，与y＝2x联立，得B，
由F1A―→＝AB―→，得A为F1B的中点，
由中点坐标公式得A.
∵点A在双曲线上，∴2－＝1.
即23k2－56k＋40＝0，解得k＝或k＝2(舍去)．
14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
所以x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，
即y0＝c，
所以x0＝c，所以点A的坐标为，
代入双曲线方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，
整理得c4－2a2c2＋a4＝0，
所以34－82＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因为e>1，所以e＝，所以双曲线的离心率为.

三、自选练——练高考区分度
1．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选C　直线l：y＝－x＋a与渐近线l1：bx－ay＝0交于B，l与渐近线l2：bx＋ay＝0交于C，A(a,0)，
所以＝，＝，
因为＝，所以b＝2a，所以c2－a2＝4a2，所以e2＝＝5，所以e＝，故选C.
2．设F1，F2分别为离心率e＝的双曲线C：－＝1的左、右焦点，A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，以F1，F2为直径的圆交双曲线的渐近线l于M，N两点，若四边形MA2NA1的面积为4，则b＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选A　由e＝＝，得＝2，故渐近线方程为y＝2x, 以F1，F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，联立得y＝±，由双曲线与圆的对称性知四边形MA2NA1为平行四边形，不妨设yM＝，则四边形MA2NA1的面积S＝2a×＝4，得ac＝，又＝，得a＝1，c＝，b＝2，故选A.
3．(多选)已知动点P在双曲线C：x2－＝1上，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，下列结论正确的是(　　)
A．C的离心率为2
B．C的渐近线方程为y＝±x
C．动点P到两条渐近线的距离之积为定值
D．当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为
解析：选AC　对于双曲线C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2,
所以双曲线C的离心率为e＝＝2，渐近线方程为y＝±x，A选项正确，B选项错误；
设点P的坐标为(x0，y0)，则x－＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为x－y＝0和x＋y＝0，
则点P到两条渐近线的距离之积为·＝＝，C选项正确；
当动点P在双曲线C的左支上时，|PF1|≥c－a＝1，|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，
所以＝＝＝≤＝，
当且仅当|PF1|＝2时，等号成立，所以的最大值为，D选项错误．故选A、C.