新高考数学一轮复习课时跟踪检测（三十六）直线、平面平行的判定与性质（含解析）

课时跟踪检测（三十六）  直线、平面平行的判定与性质

1．(多选)已知直线a，b，l，平面α，β，则下列命题中错误的选项为(　　)

A．若α⊥β，l⊥α，则l∥β　　 B．若a⊥l，b⊥l，则a∥b

C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β  D．若l⊥α，l⊥β，则α∥β

解析：选ABC　对于A，由α⊥β，l⊥α，可知l⊂β或l∥β，故A错误；对于B，当a⊥l，b⊥l时，直线a与b可能平行，也可能相交，还可能异面，故B错误；对于C，当α⊥β，l⊂α时，l可能与平面β平行，也可能斜交，故C错误；对于D，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故D正确．

2．(多选)已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线．给出下列命题，其中正确的命题是(　　)

A．若l上两点到α的距离相等，则l∥α

B．若l⊥α，l∥β，则α⊥β

C．若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β

D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n

解析：选BC　对于A，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等，此时l不与α平行，所以A错误；对于B，因为l∥β，所以存在直线m⊂β使得l∥m，因为l⊥α，所以m⊥α，又m⊂β，所以β⊥α，所以B正确；对于C，l∥α，故存在m⊂α使得l∥m，因为α∥β，所以m∥β，因为l∥m，l⊄β，所以l∥β，C正确；对于D，因为m⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以D错误，故选B、C.

3．(2021·潍坊期中)m，n是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A　由已知条件m∥α，结合线面平行的性质定理可得，过直线m作一平面β交α于直线l，则m∥l，从而存在l⊂α有m∥l，再由m∥n可得n∥l，从而有n∥α.反之，不一定成立，m，n可能相交、平行或异面．所以m∥n是n∥α的充分不必要条件，故选A.

4．若平面β截三棱锥所得的截面为平行四边形，则该三棱锥的所有棱中与平面β平行的棱有(　　)

A．0条  B．1条

C．2条  D．1条或2条

解析：选C　如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.

∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，

∴EF∥平面BCD，又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.

又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，

∴CD∥平面EFGH.同理，AB∥平面EFGH.故有2条棱与平面EFGH平行．因此选C.

5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，有以下四个命题：

①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；

②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；

③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；

④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.

其中真命题的序号是(　　)

A．②③  B．③④

C．①④  D．①②

解析：选A　对于命题①，直线m，n可以相交、平行或异面，故是错误的；易知②③正确；对于命题④，直线m，n可以相交、平行或异面，故是错误的．故选A.

6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)

A．AB∥m  B．AC⊥m

C．AB∥β  D．AC⊥β

解析：选D　m∥α，m∥β，则有m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，所以A成立；由于m∥l，l⊥AC，所以m⊥AC，所以B成立；AB∥l，且A∈α，A∉l，α∩β＝l，所以AB∥β，所以C成立；C点可以在平面β内，AC与直线l异面垂直，如图所示，此时AC⊥β不成立，所以D不一定成立．

7.如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．

解析：如图，设BC1∩B1C＝O，连接OD.

∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，

∵四边形BCC1B1是菱形，

∴O为BC1的中点，

∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.

答案：1

8．(2021·苏州调研)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m⊂α，n∥α，则m∥n；

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；

④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.

其中是真命题的是________(填序号)．

解析：①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．

答案：②

9．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．

解析：①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，

∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图)．

④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.

在②③中不能判定AB∥平面MNP.

答案：①④

10.(2021·武汉模拟)如图，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点．

(1)求证：PC∥平面BDE；

(2)平面BDE分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比．

解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，连接AC，设AC，BD的交点为O(图略)，则O是AC的中点．

又E是PA的中点，连接EO，

则EO是△PAC的中位线，所以PC∥EO，

又EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，所以PC∥平面EBD.

(2)设三棱锥E­ABD的体积为V1，高为h，四棱锥P­ABCD的体积为V，

则三棱锥E­ABD的体积V1＝×S△ABD×h，

因为E是PA的中点，所以四棱锥P­ABCD的高为2h，所以四棱锥P­ABCD的体积V＝×S四边形ABCD×2h＝4×S△ABD×h＝4V1，所以(V－V1)∶V1＝3∶1，

所以平面BDE分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3.

11.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：

(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

证明：(1)如图，连接AE，

则AE必过DF与GN的交点O，

连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.

又BE⊄平面DMF，

MO⊂平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，

又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，

所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，

又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，

所以平面BDE∥平面MNG.

12．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.

若BE＝1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且AP＝λPD，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

解：AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF，此时λ＝.

理由如下：

当λ＝时，AP＝PD，可知＝，

如图，过点P作MP∥FD交AF于点M，连接EM，PC，

则有＝＝，

又BE＝1，可得FD＝5，

故MP＝3，

又EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MP綊EC，

故四边形MPCE为平行四边形，所以CP∥ME，

又ME⊂平面ABEF，CP⊄平面ABEF，

故有CP∥平面ABEF.