新高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十）直线的倾斜角与斜率、直线的方程（含解析）

课时跟踪检测（四十）  直线的倾斜角与斜率、直线的方程

一、基础练——练手感熟练度

1．直线l的方程为 x＋3y－1＝0，则直线l的倾斜角为(　　)

A．150°　　　　　　　　　　 B．120°

C．60°  D．30°

解析：选A　由直线l的方程为x＋3y－1＝0可得直线l的斜率为k＝－，设直线l的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－，所以α＝150°.故选A.

2．过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是的直线方程为(　　)

A．3x－5y＋10＝0

B．3x－4y＋8＝0

C．3x＋4y＋10＝0

D．3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0

解析：选D　设所求直线的倾斜角为α，则sin α＝，∴tan α＝±，∴所求直线方程为y＝±x＋2，即为3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0.故选D.

3．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)

解析：选B　由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a＞0，b＞0时，－a＜0，         －b＜0.选项B符合．

4．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)

A．y＝x＋2  B．y＝x－2

C．y＝x＋  D．y＝－x＋2

解析：选A　∵直线x－2y－4＝0的斜率为，

∴直线l在y轴上的截距为2，

∴直线l的方程为y＝x＋2，故选A.

5．已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点(m∈R)，那么直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A．[0，π)   B.∪

C.   D.∪

解析：选B　直线l的斜率k＝＝1－m2，因为m∈R，所以k∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是∪.

6．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝(x－1)ex＋3e的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则直线l的横截距为________．

解析：因为f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，所以切线l的斜率为f′(1)＝e，由f(1)＝3e知切点坐标为(1,3e)，所以切线l的方程为y－3e＝e(x－1)．令y＝0，解得x＝－2，故直线l的横截距为－2.

答案：－2

二、综合练——练思维敏锐度

1．已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C在同一条直线上，则k的值为(　　)

A．12  B．9

C．－12  D．9或12

解析：选A　由kAB＝kAC，得＝，

解得k＝12.故选A.

2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)

A.  B．－

C．－   D.

解析：选B　依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得从而可知直线l的斜率为＝－.故选B.

3．过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　)

A．x＝2  B．y＝1

C．x＝1  D．y＝2

解析：选A　∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为，依题意，所求直线的倾斜角为－＝，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.

4．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点(　　)

A．(1，－2)  B．(1,2)

C．(－1,2)  D．(－1，－2)

解析：选A　因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．

5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)

A．x＋2y＋3＝0  B．2x＋y＋3＝0

C．x－2y＋3＝0  D．2x－y＋3＝0

解析：选C　因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中点为(1,2)，kAB＝－2，故AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，故选C.

6．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是(　　)

A.

B.

C．(－∞，－1)∪

D．(－∞，－1)∪

解析：选D　设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.

7．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)

A．[－2,2]  B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．[－2,0)∪(0,2]  D．(－∞，＋∞)

解析：选C　令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，

所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，

因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．

8．(多选)已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1,0)，B(3,1)，则下列结论正确的是(　　)

A．直线l恒过定点(0,1)

B．当m＝0时，直线l的斜率不存在

C．当m＝1时，直线l的倾斜角为

D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直

解析：选CD　直线l：mx＋y＋1＝0，故x＝0时，y＝－1，故直线l恒过定点(0，         －1)，选项A错误；

当m＝0时，直线l：y＋1＝0，斜率k＝0，故选项B错误；

当m＝1时，直线l：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，故倾斜角为，选项C正确；

当m＝2时，直线l：2x＋y＋1＝0，斜率k＝－2，kAB＝＝，故k·kAB＝－1，故直线l与直线AB垂直，选项D正确．

9．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段 AB没有交点，则a的取值范围是(　　)

A.∪

B.

C.

D.∪

解析：选B　易知直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a.

因为kMA＝＝－，

kMB＝＝，

由图可知－a＞－且－a＜，所以a∈.

10．(2021·河北七校联考)直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，实数a的值是(　　)

A．1   B.

C．2  D．3

解析：选D　当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝，

令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋.

因为a＞1，所以a－1＞0.

所以t≥5＋2 ＝9.

当且仅当a－1＝，

即a＝3时，等号成立．

11．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为____________________．

解析：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为y＝－2x，即2x＋y＝0；

②当在坐标轴上截距不为0时，

∵在坐标轴上截距互为相反数，∴设x－y＝a，将A(－2,4)代入得，a＝－6，

∴此时所求的直线方程为x－y＋6＝0.

答案：2x＋y＝0或 x－y＋6＝0

12．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________．

解析：由已知，得BC的中点坐标为，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝－，故BC边上的中线所在直线方程为y＋＝－，即x＋13y＋5＝0.

答案：x＋13y＋5＝0

13．曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为____________．

解析：记曲线上点P处的切线的倾斜角是θ，

因为y′＝3x2－1≥－1，所以tan θ≥－1，

所以θ为钝角时，应有θ∈；

θ为锐角时，tan θ≥－1显然成立．

综上，θ的取值范围是∪.

答案：∪

14．若过点P(1－a,1＋a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的取值范围是________．

解析：设直线的倾斜角为α，斜率为k，则k＝tan α＝＝，又α为钝角，所以<0，即(a－1)·(a＋3)<0，故－3<a<1.关于a的函数m＝3a2－4a的图象的对称轴为a＝－＝，所以3×2－4×≤m<3×(－3)2－4×(－3)，所以实数m的取值范围是.

答案：

15．菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1)．求：

(1)AD边所在直线的方程；

(2)对角线BD所在直线的方程．

解：(1)kBC＝＝2，

∵AD∥BC，∴kAD＝2.

∴AD边所在直线的方程为y－7＝2(x＋4)，

即2x－y＋15＝0.

(2)kAC＝＝－.

∵菱形的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD＝.

∵AC的中点(1,1)也是BD的中点，

∴对角线BD所在直线的方程为y－1＝(x－1)，

即5x－6y＋1＝0.

16．过点P(2,1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：

(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；

(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；

(3)求|PA|·|PB|的最小值及此直线l的方程．

解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得A，B(0,1－2k)．∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，∴⇒k<0.

于是S△AOB＝·|OA|·|OB|

＝··(1－2k)＝

≥＝4.

当且仅当－＝－4k，即k＝－时，△AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.

(2)∵A，B(0,1－2k)(k<0)，

∴截距之和为＋1－2k＝3－2k－≥3＋2 ＝3＋2.

当且仅当－2k＝－，即k＝－时，等号成立．

故截距之和最小值为3＋2，此时l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－2－2＝0.

(3)∵A，B(0,1－2k)(k<0)，

∴|PA|·|PB|＝ ·＝

≥ ＝4.

当且仅当＝4k2，即k＝－1时上式等号成立，故|PA|·|PB|最小值为4，此时，直线l的方程为x＋y－3＝0.